Методология науки. проблемы и история

го сознания. Не следует смешивать два значенин слова «форма» В выражениях «форма ИНТУИLlИИ') И «интуитивная форма.). Эти два зна­

ченин аналогичны значениям, имеюшим место в следуюшей фразе. «Статуя приняла свою форму.) и3 формы. в которой она была отлита

... Структура этих форм (слово структура употребляется в широком смысле) отвечает в некотором роде структуре внешнего мира.) (р. 63). Интуитивные формы могут быть сравнимы с частичными и схемати­ 'Iескими представлениями о реальности. Следует сказать, что роль

подобных схем на первых этапах науки чрезвычайно велика. В этой

связи представляет интерес следуюшее замечание дж. Максвелла:

(,Геометрия положения представляет собой пример математической

науки, созданной без помоши дифференuиального и интегрального исчислений. Фарадеевы линии сил занимают в науке об электромаг­

нетизме такое же положение, как пучки линии в геометрии положе­

ния. Они позволяют нам воспроизвести точный образ предмета, о котором мы рассуждаем... Начиная от прнмой линии Евклида 11 KOII- 'IШI силовыми J1ИНЮIМИ Фарадея - таков был всегда характер идс~i, которые двигали науку...•)'.

ФУНКUИОН,UlЬНа51 роль подобных схем проявляется в том, что, 130-

первых, они являются посредствуюшим звеном межлу теорией и эк­

СГlериментом, ПОСКОЛЬКУ они суть схематизаuии чувственных данных.

Во-вторых, что особенно важно, они служат предпосылкой реально­

го эксперимента, поскольку выделение объекта исследования из ха­ ОТИ'lеского скопления различных свойств, ШНlных нам интуитивно,

I1реДГlолагает схему, накладываемую на предмет. Поясним это при­ мером. Положим, предметом нашего изучения является кристалл, обладаюший наряду с прочими свойствами также протяженностью и формой. Чтобы уточнить и дополнить интуитивный пространствен­

HЫ~; образ кристалла, необходимо СОГlоставить его с абстрактном схе­

моВ. Hal1pl1Mep, мы можем сказать, что КРИСТ,L1Л - это полиэлр, реб­

ра которого суть прямые линии, а грани - ограниченные плоскости.

В этом случае имеет место противопоставление интуитивного образа

(ВОСГlриятия, представления) образу схематическому или геометри­ юваююму, Т.е. проеuирование на изучаемый объект абстрактной сетки.

Этим актом совершается подведение данного физического предмета под

определенное геометрическое понятие (кристалл есть полиэдр).

Тем самым в рамках пространственной интуиuии геометричес­

кие IЮНЯТИЯ связываются с вешами. Это имеет место ПОТОМУ, что в

самой очишенной схеме (абстрактной аксиоматике) всегда сохраня­ ется интуитивный остаток и точно так же 130 всякую ИНТУИUIIЮ ВХО­ IlIIТ уже элемент схематизаLlИII. <,Уже одного этого вывода, - Пllшет

151

Ж.Пиаже, - достаточно для того, чтобы стало совершенно ясно ...

почему всякой аксиоматике может соотвеТСТlювать эксперименталь­

ная наука, (соответственно, конечно, и наоборот).)6.

Проuесс схематизаuии чувственных данных в известных пределах

позволяет судить, насколько данный предмет соответствует понятию, Т.е. насколько совпадает чувственный образ предмета с геометричес­

кой схемой. дальнейшее уточнение этого соответствия предполагает

измерение (эксперимент), что требует введения системы возможно более плотных отметок, посредством которых качественные измене­

ния получают количественное выражение. Например, чтобы убедить­ ся в том, что понятие о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4,5

адекватно некоторому физическому треугольнику, необходимо разме­ тить его стороны (ввести градуированную шкалу) и затем путем пере­ счета этих отметок убедиться, что указанное соотношение сторон дей­

ствительно имеет место. «Введение отметок, - отмечает Ф.Гонсет, -

знаменует переход от интуиuии к экспериментированию».

Итак, переход от абстрактной схемы математической геометрии

к физической или экспериментальной геометрии показывает суше­ ственное единство трех аспектов геометрической деятельности: тео­

ретического, интуитивного и экспериментального.

Теоретический аспект наиболее 110ЛНО представлен ее формаль­ ным аксиоматическим построением. Интуитивный аспект соответ­

ствуетестественному видению пространства и опирается на чувствен­

нуюдеятельность, наконеи, экспериментальный аспект проявляется в чертеже, изготовлении моделей, измерении, в систематическом эк­

спериментировании в физическом мире. Ф.гонсет в ряде работ убе­

дительно показал неразрывную связь этих трех аспектов на материа­

ле элементарной геометрии. «Спеuифированные или нет, - пишет

он, - эти три аспекта тем не менее связаны каждый раз, когда при­

меняют геометрию в мире реальных вешеЙ.)7. Это, несомненно, так.

Однако Гонсет упустил при этом важный факт: в «Началах» Евклида,

ЗН,аменуюших собою первыВ этап аксиоматизаuии геометрии, ука­

занное единство трех аспектов дано налиuо, что свидетельствует о

наличии тесной связи «Начал.) С практически-экспериментальной

деятел ьностью.

Любопытную и во многом адекватную интерпретаuию евклидо­ вой геометрии дал И.Кант. Он весьма прониuательно уловил то, что

ускользало от внимания многих мыслителей: доказательства Евкли­

да, считавшиеся образuом математической дедукuии, на самом деле невозможны без помоши наглядного представления, однако чувствен­

ные компоненты математического мышления не имеют самодовле-

152

юшего характера, а служат исходным пунктом метода конструирова­

ния понятий, призванногодополнитьабстрактные и бессодержатель­ ные дефиниuии геометрии Евклида новыми свойствами, которые не заключаются в понятии (дефиниuии), но при надлежат ему.

Теория конструирования понятий с ее подчеркиванием роли чув­ ственной интуиuии является фактически обоснованием техники до­ казательств, принятых в евклидовых (.Началах». Но это обоснование дано с идеалистических позиuий. Одно из возможных объяснений

критического идеализма Канта состоит в том, что он столкнулся с

антиномией: всеобшие и необходимые предложения математики пря­

мо или косвенно основаны на чувственном созерuании, которое есть

знание единичного и случайного. Решение Кантом данной антино­

мии состоит в том, что объекты математики - .пространство и вре­

мя - объявляются чистыми (априорными) созерuаниями. Однако, как правильно отметил Л. Кутюра, обрашение к наглядному представ­

ЛСIIИЮ (хотя бы это представление и было априорным) дЛЯ I1СПIННО­ го метода не отличается от эмпирической констатаuии.

Априорный характер созерuаемых образов не дает нам никакого указания относительно того, какие свойства этих образов являются

необходимыми, а какие - случайными. Кант поэтому вынужден ис­

кать критерий, позволяюший отличить аподиктические предложения от случайных, исследуя генезис этих предложений, который он на­

звал методом конструирования понятиЙ. Однако при ближайшем

рассмотрении оказывается, что этот послеДНI1Й представляет собою идеалистически интерпретированный метод ИНДУКLlИИ, Т.е. метод

ЭМПИРИ'lеского обобшения математических фактов. Нельзя не согла­ ситься с П.Муи, что в философЮ1 Канта траНСLlендентальныii идеа­

ЛИJМ ограничен эмпирическим реализмом.

Нам представляется, что эмпирический реализм Канта имеет объективное основание в геометрии Евклида, включаюшей в себя три

неразрывно связанных аспекта: теореТИ'lеский (дедуктивный), инту­

итивный и экспериментальный. Интуитивному аспекту соответству­

ет естественное видение пространства, экспериментальному - гео­

метрические построения. В этой связи предложения (·Начал» Евкли­

да, основанные на конструировании геометрических фигур, можно

рассматривать как мысленные эксперименты, а геометрию - как

простейшую главу физики. Мысленный эксперимент в геометрии представляет собою результат некоторых конструктивных операLlИЙ,

посредством которых из элементарных абстрактных объектов - точ­ ки, прямой, окружности, плоскости - строятся более сложные кон­

структивные объекты. Конструктивное введение абстрактных объек-

153

тов более высоких порядков позволяет решить проблему их исклю­

чения вплоть до построения посредством технических средств опе­

рациональной и экспериментальной геометрии, обладающей (с из­

вестным приближением) структурой элементарной теоретической

геометрии. В связи с этим встает проблема конструктивного истол­

кования оснований геометрии. Относительно постулатов «Начал.)

этот вопрос, по общему мнению, совершенно ясен: постулаты пред­

ставляют собою конструктивные задачи, которые рассматриваются как решенные. Другие нерешенные задачи должны быть алгорит­

мически сведены к зада'!ам уже решенным.

Не так просто обстоит дело с аксиомами. С одной стороны, ак­ сиомы, как известно, представляют собою логические правила выво­ да. С другой стороны, есть веские основания рассматривать их в ка­ честве конструктивных операций. Эта двойственная роль аксиом яв­

ляется непосредственным доказательством «диалектического

си нтеза.) дедуктивного и экспериментального аспектов элементарной

геометрии. Конечно, конструктивный характер аксиом далеко не o'le-

виден и легко маскируется самим фактом двойственной функции ак­

сиом. Однако тщательный анализ задач на построение легко приво­

дит к убеждению, что аксиомы являются общими правилами или за­

конами геометрических конструкuии. Без них были бы немыслимы не только теоремы, но и чистые задачи на построение. Чтобы осуше­

ствить построение, необходимо иметь руководящие принципы. ка­

ковыми являются условия равенства геометрических величин - ак­

сиомы. Например, в задаче построения равностороннего треуголь­ ника аксиома «равные одному И тому же равны между собою» и представляют собою руководящий принuип построения, в соответ­

ствии с которым строятся две стороны треугольника, равные третьей (заданной) стороне.

Это обстоятельство позволяет объяснить, почему аксиомы так

легко могут применяться в качестве правил вывода: они имплицит­

но заключены в самих построениях. Отсюда вполне правдоподоб­

ным кажется предположение, что геометрия в своей предаксиома­ тической интуитивной стадии использовала аксиомы в качестве ин­

туитивно ясных принuипов конструкuии. По мере аксиоматизаuии

они постепенно извлеклись из недр геометрических построений, их оперативная функuия все более заслонялась (под влиянием различ­ ных причин и платонизма в частности) их ролью в качестве средств

дедуктивного рассуждения. Таким образом, «Начала» Евклида пред­

ставляют собой пример конструктивно-аксиоматического постро­ ения науки. Впервые подобное истолкование аксимоматического

154

метода Евклида нашло отражение в трудах второго Всесоюзного со­ вещания по философским вопросам современного естеСТВОЗНi:lНИЯ

(Москва, 1970).

Все эти рассуждения имеют силу, когда речь идет о первой (со­

держательной) стадии i:lксиоматизаuии ('еометрии, осуществленной

Евклидом. Картина в значительной мере меняется на стадии фор­ мальной аксиоматизаuии геометрии типа «Оснований геометрии» Д.Гильберта, где природа объектов (точки, прямой) остается нео­

пределен ной. В качестве чистой математики геометрия преДСТi:lвляет

собою абстрактную аксиоматическую теорию, построенную следу­

ющим образом.

1. Постулируют существование некоторых исходных объектов и

отношений, которые имплиuитно определяются некоторым множе­

ством аксиом.

2. Все другие объекты вводятся посредством явных определений. 3. Доказательство состоит в выведении следствий (теорем) из

аксиом согласно правилам дедукuии.

4. Все другие высказывания, кроме аксиом и теорем, не принад­

лежат данной теории.

Поскольку аксиомы рассматриваются как неявные определения

пеРIШЧНЫХ терминов теории, постольку чистая геометрия трактуется

иногда как аналитическая и, следовательно, априорная наука. Такая

точка зрения получила широкое распространение среди представи­

телей логического позитивизма и весьма ясно выражена Р. Карнапом,

считающим, что математическая геометрия совершенно независима

от естественнонаучных исследований и имеет дело только с логичес­

кими следствиями из данной системы аксиомХ •

Можно указать несколько физических систем, выrlOЛННЮЩИХ аксиоматику евклидовой геометрии. Обычная физическан интерпре­

таuия геометрии является одной из возможных или, точнее, равно­

возможных ее интерпретаuиЙ. Ни одна из них не может быть выде­

лена в качестве «действительной» евклидовой геометрии, если ис­ ходитыолько из аксиом, устанавливающих абстрактные отношения между неопределенными объектами. Как можно определить прямую

или точку во всей полноте ее значенин'! Если взять идею, что акси­ омы геометрии Евклида нвш(ютсн ненвными определениями всех

геометрических поннтий, то непреложным нвляется тот факт, что существует несколько моделей, удовлетворяющих в IIОЛНОЙ мере

данной системе аксиом. Конечно, это не относится к первому :папу

аКСИОl\tатизаuии, который не выходит за рамки спеuифически ('ео­

метрических свойств.

155

В абстрактной аксиоматике типа гильбертовской или какой-ни­

будь иной, ТО, что является прямой в одной модели, может быть кру­

гом в другой. <,Одних аксиом недостаточно, таким образом, чтобы

придать полную индивидуальность каЖдОМУ из этих двух понятий,)

(р. 90). С другой стороны, положение не является столь уж безвыход­

ным, поскольку мы обладаем средством дифференцировать различ­ ные модели, исходя из самой идеи прямой или круга, которые зало­

жены изначально в наших интуитивных представлениях, предшеству­

ющих абстрактной аксиоматизации.

Если мы желаем определить прямую посредством аксиом как логическое отношение, ничто не помешает нам это сделать. Но иногда

из этого определения выпадает идеализированный образ, Т.е. специ­

фически геометрические свойства, данные нам в интуиции, <,таким образом, понятие определения рассеивается в неопределенности. как

только ему хопlТ придать значение, независимое от процесса, посред­

СТВО\I которого создаются понятия ... ПодтвеРЖдается. таким обра­ зом, еще раз идея, что абстрактное не может требовать автономного существования: :ного достаточно, чтобы отбросить идею. согласно

которой аксиомы представляют собою конвенции, свободно поло­

женные духом. Наконец, пример геометрического ясно показывает,

что при конструировании аксиоматической схемы со]Дается одновре­ менно абстрактное и относительно этого последнего - конкретное.

Как только пройден первый этап аксиоматизации, геометрические вещи являются абстрактными по отношению к интуитивному. Тот же

феномен воспроизводится на втором этапе аксиоматизаЦИI1: именно теперь геометрическое и грает рол ь объекта по отношению к логичес­

кому. Имеется там как лицевая, так и обратная сторона единой опе­ рации. Когда говорят о схематизации часто видят только лицо, обра­

щенное к абстрактному. Полным образ включает не только наложе­

ние схемы на объект, подвергаемый схемаппации, но также отпечаток схемы на эти последние: они объективируют схему, ДОСТ<lВШIЮТ со­

гласно выражению, которое мы употребим, - реалюацию (р. 92).

Выше отмечалось, что введение системы возможно плотных от­ меток ведет к математической схематизации и измерению и знаме­

нует переход от интуиции к экспериментированию. Однако, как под­

черкивает Гонсет, роЛl, математики не исчерпывается введением шка­ лы чисел, не следует 'Забывать, что простейшие геометричеСКllе

110ЮIТlНI (прямой, ТО'IКИ) ЯВЛЯЮТС}I продолжением интуитивных дан­

ных. И если интуитивное качество есть форма восприятия, то мате­

матическая схематизация является формой эксперимента. Это ут-

156

верждение Гонсета направлено против сторонников бридженовского операционализма, который отводил математическому аспекту наук о

природе лишь второстепенную роль.

В этой связи показателен пример великого физика и астронома

Эддингтона, который считал, что определять расстояние довольно просто: стоит лишь очень точно описать серию физических опера­

ций, позволяющих его измерить. Именно его определение расстоя­

ния должно быть первичным, считал он. Впрочем, самого Эддингто­ на смущали довольно многочисленные факты, не вписывающиеся в

его операционализм. В частности, он затруднялся объяснить, как

можно на основе операционалистской методологии определить рас­

стояние. Основное возражение Гонсета, равно как и других антиопе­

рационалистов, сводится к тому, что этот метод принимает знание

лишь со стороны вещей. В то же время совершенно очевидно, что

расстояние может быть измерено бесчисленным числом способов. Можноли в таком случае утверждать, что две различные серии мани­ пуляций и вычислений определяют одно и то же понятие? Остается только объединить обе эти серии в единую теорию измерения величи­ ны. Таким образом, измерение расстояния, объемов и площадей дол­

жно находиться в зависимости от геометрической конструкции, ко­

торая одновременно направляет манипуляции и вычисления.

Гонсет завершает свое исследование геометрии кратким резюме,

которое сводится к тому, что ее понятия не могут рассматриваться

стати'!ески, они эволюционируют от умственных и схематических

образов ~Iзвестных реальностей физического мира к отвлеченным

ПОНSlТиям логики. При этом план чистой логики, процесс формаль­

ной аксиоматизации не имеет предопределенного смысла и не опре­

деляется функцией от предзаданного понятия логики. «Как раз на­

оборот, именно процесс абстракции определяет, подсказывая, созда­ вая, сообщая существо чистой логики, существо не совсем

определенное и находящееся в состоянии становления.> (р. 122). Свое учение об арифметике и логике он строит в полном соответствии с той парадигмой, каковой он рассматривает геометрию. Сущность

числа, например, не есть «вечный объект.), неизменный и предопре­ деленный, она изменяется соответственно степени абстракции, на которой останавливаются. Следует повторить по поводу числа то, что

уже roворилось о геометри и, неоднократно повторяет Гонсет. «Ч ИСЛО

В интуитивной стадии в качестве свойства, порожденного слухом в очень сложном ансамбле впечатлений более или менее воспринима­ емых, проистекающего из действия объекта на субъект и воздействия

субъекта на объект.> (р. 121). «Арифметика в стадии интуитивной есть

157

глава, одна из первых глав физики, той, которая занимается законами,

относящимся к группам объектов, объединению из двух или несколь­ ких групп в одну, разделение группы на частичные группы, преобразо­

вание (перемещение) объектов в группу и т.д. Число объектов, кото­ рые СОСПlВJНIЮТ группу, есть физическое свойство этой группы, каче­ ство, такое же, как качество цвета и факт занятия определенного места в пространстве. Некоторые части этой совсем элементарной физики

приписываются геометрии: ЭТО то, что относится клокализации объек­

тов. Выражения «справа», «слева», «между», «перед», «сзади», «около» имеют своей функцией описывать части пространства, которые может занимать объект» (р. 161). Например: 1. Если объект А есть справа от объекта В и слева от объекта С, то А находится между двумя другими. 2. Если объекты А и В симметричны по форме, и если объект С также по форме симметричен В, то А и С также симметричны.

Это есть два эмпирических закона объекта и наука о пространстве

есть с самого начала только каталог законов такого рода. Физика ле­

жит в основе математики, давая ей три исходные математические фор­

мы - объект, число и пространство. Они образуют фундамент логики,

арифметики и геометрии. Так число в первичном интуитивном смыс­ ле есть фюическое качество групп (множеств) объектов. Арифметика,

как и геомеТРИ}I. на этой стадии представляет собою одну из первых

глав физики. Логика на ранней стадии своего формирования также явл}!етс}! физикой некоторого объекта. Одним словом, логика должна

ПРИЮlТь вид естественной науки очень примитивного характера, что­ бы она могла бы, быть может, называться физикой какого-нибудь

объекта. Указанные науки эволюционируют от умственных схемати­

зированных объектов физической реальности до абстрактных ПОЮI­ тий формальной аксиоматики, обнаруживая единство трех аспектов -

интуитивного. теоретического и эксперименпUlЫЮГО. Единство ука­ занных трех аспектов Гонсет обосновывает исторически, исход}! 113 идеи, что абстрактное не существует без конкретного. Скюать, что мож­

но ограничить область математики изучением отношений структуры - это вернутьс}! к идее, что чиста}! форма существует вне и ПОМIIМО своих реалИ3aLIИЙ. что структуры }!вл}!ютс}! «вечными объектами», ::но при­

JIШТЬ, 'IТO их Jнание нам примо доступно. пишет Гонсет.

Именно против такого понимания природы и предмета матема­

тики направлен пафос книги Гонсета <·Математика и реальность».

Одна из основных проблем абстрактной математики, которую, как нам представл}!етс}!, УШUlOсьдетально и убедительно исследовать Гон­

сету, была СФОРМУЛllрована Феликсом Клейном. Знаменитый немеll­

КIIЙ математик обратил внимание на то, 'IТO неВОJМОЖНО JlОГИЧСl:КИМ

J5X

путем доказать применимость законов формальной аксиоматики к

конкретным объектам арифметики и геометрии, хорошо известных нам из эмпирического опыта. Логика бессильна доказать, что нео­ пределенные объекты могут быть отождествлены с реальными чис­ лами и фигурами, а сопряжения, которые мы проводим, - С реаль­

ными эмпирическими проuессами.

В связи с этим обширную задачу обоснования математики Клейн

дел ит на две части. « Первая часть представляет собою чисто логичес­

кую проблему установления независимых друг от друга основных положений, или аксиом, и доказательства их независимости и отсут­

ствия противоречия. Вторая часть задачи относится скорее к теории

познания и в известной мере выражает применение названных логи­

ческих исследований к реальным соотношения~» q •

Другими словами, вторая часть задачи может быть сформулиро­ вана как отношение чистой математики к реальности. Трудность этой задачи коренится в обших проблемах теории познания - в соотно­

шении абстрактного и конкретного, раuионального и реuльного, те­

оретического и ЭМПИРИ'lеского. Следовательно, решение указанных

проблем может быть достигнуто на пути теоретико-познавательного

исследования геометрии.

Напомним, что еще И.Кант в своем учении о трuнсuенденталь­

ной способности суждения ставил вопрос о применении правил рас­

судка к явлениям. «Если рассудок вообше провозглашается способ­

ностью устанавливать правила, то способность суждения есть уме­

ние подводить под правила, Т.е. различать, подчинено ли нечто

данному правилу (casus datac legis) или нет. Обшая логика не содер­

жит и не может содержать никаких предписаний lL/IЯ способности суж­

дения... ». Это дело трансuендентальной логики, исследуюшей про­

исхождение наших знаний о предметах и применение чистых форм к

эмпирическому содержанию.

Именно генетическая, точнее историко-генетическая проблема стоит в центре внимания современной философии математики, и Гон­

сет, несомненно, внес значительный вклад в прояснение этой про­

блемы. Второе важное достижение Гонсета связано с преодолением

пресловутой дихотомии между логикой, эпистемологией и психоло­

гией. Выше мы уже приводили высказывание швейuарского психо­ лога Жана Пиаже о плодотворности метода исследования, который

представлен эпистемологией математики Фердинанда Гонсета. R сво­

ей знаменитой книге он пишет: «Из предшествуюшего изложения

выяснилось, что вначале над нами долгое время довлел постулат не­

сводимости логических принuипов, которым вдохновлялисьсторон-

1-'9

ники «психологии мышления,). Изучение формированин операuий у

ребенка привело нас, напротив, к убеждению, что логика является

зеркалом мышления, а не наоборот.

Иными словами, логика - это аксиоматика разума, по отноше­

нию к которой психология интеллекта - соответствуюшая экспери­

ментальная наука... Одним словом: аксиоматика, как это хорошо по­ казал Ф.Гонсет, представляет собой «схему» реальности, и уже в силу

одного того, что всякая абстракuия ведет к схематизаuии, аксиома­ тический метод в uелом является продолжением самого интеллекта.

Но именно вследствие своего «схематического» характера акси­ оматика не может претендовать ни на то, чтобы образовать фунда­

мент, ни тем более на то, чтобы выступить в качестве замены соот­ ветствуюшей экспериментальной науки, т.е. науки, относяшейся к той области реальности, схематическим выражением которой является

аксиоматика. Так, например, аксиоматическая геометрия бессильна

показать нам, что представляет собой пространство реального мира (точно так же, как «чистая экономика» никогда не исчерпываетслож­ ности конкретных экономических фактов).

Аксиоматика не могла бы заменить соответствуюшую ей индук­ тивную науку по основной причине, что ее собственная чистота яв­ ляется лишь пределом, который полностью никогда не достигается.

Как это говорил еше Гонсет, в самой очишенной схеме всегда сохра­

няется интуитивный остаток (и точно так же во всякую интуиuию входит уже элемент схематизаuии). Уже одного этого вывода доста­ точно для того, чтобы стало совершенно ясно, почему аксиоматика НИ,когда не сможет «образовать фундамента» экспериментальной на­

уки и почему всякой аксиоматике может соответствовать экспери­

ментальная наука (соответственно, конечно, и наоборот)iO.

В связи с вышесказанным любопытно кратко рассмотреть кон­ uепuию арифметики известного советского математика И. В.Арнольда.

В своей «Теоретической арифметике» (М., 1939) Арнольд следуюшим образом определяет uель своего труда: «Мы пытаемся, прежде всего,

выяснить, какие именно соотношения действительности находят свое отражение в числовой характеристике совокупностей или множества

предметов»". «В простейших своих применениях к действительнос­

ти, - пишет он, - натуральное число является результатом счета фи­

зически сушествуюших предметов некоторой совокупности.

Проuесс счета требует условий их различимости и тождествен­

ности. Лиuо, производяшее счет, должно обладать способностью от­

личать эти предметы друг от друга и от других совокупностей. Опре­

деленные совокупности могутбыть поставлены во взаимно-однознач-

160