A_O_Melnik_Arkhitektura_komp_39_yuteriv

72

нарною точністю та 3777g для числа з подвійною точністю) та нульовою мантисою. Для представлення невизначеного значення також використовується максимальне значення порядку та ненульова мантиса. Невизначене значення називають "не числом" - Not a Nu­ mber (NaN). "Не число" використовується, щоб представити значення, яке не є дійсним числом і часто використовується як індикатор помилки, наприклад, коли відбулося ді­ лення 0 на 0. Якщо число є дуже малим, то воно представляється нульовим порядком та ненульовою мантисою. У табл. 2.7 наведено приклади представлення різних величин в форматі за стандартом ІЕЕЕ-754 для чисел з одинарною та подвійною точністю.

Таблиця 2.7

Тут знаком ? позначено несуттєве значення, а (1) - значення, яке не зафіксовується елементами пам'яті комп'ютера.

2 . 6 . 5 . Кодування алфавітно-цифрово) інформації

2.6.5.1. Двійково-кодовані десяткові числа

Вище було показано представлення в комп'ютері даних у двійковій системі числення. Далі розглянемо, як ці внутрішні дані можуть бути перетворені у форму, яка піддається інтерпретації людиною.

Двійково-кодоване десяткове число - це десяткове число, кожна цифра якого пред­ ставлена в двійковій формі. Одна з перших числова система кодування десяткових чисел двійковим кодом (Binary-coded decimal - B C D ) була використана в великих і середнього розміру комп'ютерних системах фірми I B M . Система B C D кодує кожну цифру десят­ кового числа 4-розрядним двійковим кодом. Коли використовується 8-розрядне число, тобто байт, то старші 4 біти називають зоною, а молодші - цифрою. Ця домовленість прийшла з часів перфокарт, де кожна колонка карти могла мати "зональний отвір" в од­ ній з двох верхніх стрічок і "цифровий отвір" в одній з десяти нижніх стрічок. Старші чотири розряди в байті B C D використовуються для представлення знаку, який може мати одне з трьох значень: число без знаку представляється кодом 1111; додатне число

73

представляється кодом 1100; від'ємне число представляється кодом 1101. Кодування для двійково-кодованих десяткових чисел показане в табл. 2.8.

Таблиця 2.8

Як видно з таблиці, шість можливих двійкових значень (від 1010 до 1111) не викорис­ товуються. Хоча втрачається приблизно 40 % можливих значень, але набуваються значні переваги в точності. Наприклад, десяткове число 0.3, перетворене в двійковий код та об­ межене 8-розрядною сіткою, при зворотному перетворенні має значення 0.296875, тобто похибка складає приблизно 1.05 %. В коді B C D число запам'ятається безпосередньо як 1111 0011, не допускаючи жодної помилки.

Цифри в коді B C D займають лише чотири розряди, тому можна зберегти місце і спростити обчислення, розмістивши поряд числа з одним знаком. Цей процес назива­ ється пакуванням, а сформовані числа - пакованими десятковими числами.

Приклад:

Подамо число -1265 трьома байтами, використовуючи паковані цифри коду B C D . Зонне десяткове кодування для числа 1265 є наступним:

1111 0001 1111 0010 1111 0110 1111 0101 Після пакування отримаємо:

0001 0010 0110 0101 Додавши знак після цифри молодшого розряду і заповнивши цифру старшого роз­

ряду одиницями до 3 байтів, отримаємо: 1111 0001 001001100101 1101.

Код B C D (або його іще називають кодом 8421) знайшов найбільше поширення в об­ числювальній техніці. Цей код зручний для виконання перетворення з десяткової сис­ теми у двійкову і навпаки. Цей код адитивний, тобто сума представлення двох ц и ф р є кодом їх суми.

Разом з тим, використання цього коду пов'язане з труднощами пошуку переносу в наступний десятковий розряд і важкістю переходу до оберненого та доповняльного коду для десяткових чисел. Це пояснюється тим, що код 8421 не є самодоповнюючим, тобто

74

інверсія його двійкових ц и ф р не дає коду доповнення десяткової цифри до 9. В табл. 2.9 наведено інші широко вживані двійково-десяткові коди, а саме код з надлишком 3 та код 2 з 5. Можна побудувати й інші двійково-десяткові коди, наприклад 2421, 5121 тощо.

Таблиця 2.9

Код з надлишком 3 зручний при виконанні арифметичних операцій над десятковими цифрами, оскільки він є самодоповнюючим. Крім того, легко визначається перенос, так як сума двох доданків, кожне з яких береться з надлишком 3, вийде з надлишком 6, що виключає лишні кодові комбінації. Для отршмання правильного коду суми з отриманого результату відкидається 3. У деяких випадках для використання суттєво, що код нуля містить 1 і тому легко відрізнити наявність коду нуля від пропадання коду цифри. Код з надлишком 3 не дуже зручний для перетворення чисел з однієї системи числення в іншу. В коді 2 з 5 десяткові цифри зображаються п'ятьма розрядами, причому кожне значення містить дві 1. Ця надлишковість використовується для контролю правильності передачі цифри. Будь-яка помилка в одному розряді перетворює 0 в 1 або 1 в 0, в результаті ви­ йде більше або менше двох 1, що вкаже на помилку. При одночасній появі двох помилок можливі випадки, коли їх можна не знайти (якщо 0 в одному розряді перетворюється в 1, а в іншому розряді 1 в 0).

2.6.4.2. Розширений двійково-кодований десятковий код обміну EBCDIC

Перед розробкою комп'ютерної системи I B M System/360, фірма I B M в и к о р и с т а л а 6-розрядну версію двійково-кодованого десяткового числа для представлення символів і знаків. Цей код мав суттєві обмеження, пов'язані з малою розрядністю двійково-кодо­ ваного десяткового числа. Проектувальникам System/360 була потрібна більша інформа­ ційна здатність коду так само як і узагальнений метод запам'ятовування і чисел, і симво­ лів. Для того, щоб підтримувати сумісність з попередніми комп'ютерами і периферійним устаткуванням, інженери I B M вирішили, що буде краще просто розширити код B C D від 6 бітів до 8 бітів. Відповідно, цей новий код було названо розширеним двійково-кодова­ ним десятковим кодом обміну (EBCDIC). Фірма I B M і тепер продовжує використовува­ ти код E B C D I C в мейнфреймах і обчислювальних системах середнього розміру. В табл. 2.10 код E B C D I C показано в зонально-цифровій формі.

75

Знаки представлені шляхом додавання бітів до зонних бітів. Наприклад, знаку а відповідає код 1000 0001, а цифрі 3 - код 1111 0011. Зауважимо, що єдина різниця між верхніми і нижніми символами полягає в позиції розряду 2, що дозволяє зробити пере­ творення від верхніх до нижніх символів (або навпаки) шляхом переключення одно­ го двійкового розряду. Зональні біти також роблять легшою для програміста перевірку правильності вхідних даних. Розшифрування абревіатур з табл. 2. 10 наведено в табл. 2.11.

Таблиця 2.11

2.6.4.3 Американський стандартний код інформаційного обміну ASCII

Американський стандартний код інформаційного обміну (American Standard Code for Information Interchange (ASCII)) з'явився завдяки зусиллям розробників покращити засоби передачі даних між системами. Міжнародна організація стандартизації ISO запропонувала цей 7-розрядний код взамін 5-розрядного коду, який використовувався в телетайпах.

Код ASCII визначає коди для 32 символів керування, 10 цифр, 52 букв, 32 спеціаль­ них символів (таких як $ та #), а також для символу інтервалу (табл. 2.12). Старший вось­ мий біт було введено для забезпечення перевірки на парність. Цей біт дозволяє виявля-

76

ти однократні помилки при передачі даних. Тут значення записані в десятковій системі числення.

Таблиця 2.12

Розшифрування абревіатур з табл. 2.12 наведено в табл. 2.13.

Таблиця 2.13

З підвищенням надійності комп'ютерної техніки важливість біта парності знизилась, тому на початку 80-х років його стали використовувати для розширення набору кодова­ них символів в межах від 128! 0 до 255[ 0 . Це можуть бути, наприклад, математичні симво­ ли, або символи іноземних мов.

2.6.4.4. Стандарт кодування символів Unicode

Коди E B C D I C та ASCII забезпечили кодування букв латинського алфавіту. З ме­ тою забезпечення к о д у в а н н я букв інших алфавітів та підтримки мов народів світу в 1991 році було запропоновано код під назвою Unicode.

77

Unicode - це 16-розрядний алфавіт, сумісний з ASCII та погоджений з міжнародним алфавітом ISO/IEC 10646-1. Оскільки 16-ма розрядами можна закодувати 64К символів, цього достатньо для кодування всіх букв алфавітів народів світу.

Кодовий простір коду Unicode вміщує 5 частин, як це показано в табл. 2.14.

2.7. Короткий зміст розділу

У цьому розділі було показано, що в зв'язку з використанням у комп'ютерах елемен­ тів з двома станами, всі числа в них представляються у двійковій системі числення. Тому були висвітлені основні питання відображення чисел і символів у цій системі, а також її зв'язок з вісімковою, шістнадцятковою, та десятковою системами.

Було розглянуто особливості представлення чисел зі знаком спеціальними кодами: прямим, оберненим та доповняльним, які використовуються для спрощення виконання арифметичних операцій.

Оскільки числові дані в комп'ютері представляються у три способи: як цілі або дро­ бові числа з фіксованою комою, як числа з рухомою комою та як двійково-кодовані де­ сяткові числа, в цьому розділі було описано формати даних з фіксованою та з рухомою комою, включаючи стандарт ІЕЕЕ-754, та було детально проаналізовано характеристики цих форматів.

2.8. Література для подальшого читання

Еволюція сисем числення показана в роботі [1]. У роботах [2-5] описано позиційні системи числення та представлення даних у двійковому, вісімковому та шістнадцятковому кодах, показано переведення чисел із системи числення з основою к до десяткової, та переведення чисел із десяткової до системи числення з основою к, а також описано представлення чисел із знаком в прямому, оберненому та доповняльному кодах. Особли­ вості представлення чисел в форматі з рухомою комою, включаючи і стандарт ІЕЕЕ-754,

78

подано в роботі [6]. Детальна інформація про Unicode може бути знайдена на сторінці Unicode Consortium www.unicode.org, так само як в описі стандарту The Unicode Standard, Version 3.0 (2000). Сторінка International Standards Organization ISO може бути знайдена за адресою www. iso.ch. Багато інформації про стандарти є також на сторінці American National Standards Institute www.ansi.prg.

2.9. Література до розділу 2

1. Knuth, Donald Е. The Art of Computer Programming,3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.

2.Карцев M. А. Арифметика цифровых машин. - M . : Наука, 1969.

3.Каган Б. М. Электронные вычислительные машины и системы. - М.: Энергия, 1979.

4.Рабинович 3. Л., Раманаускас В. А. Типовые операции в вычислительных машинах. - К.: Техніка, 1980. - 308 с.

5.Корнейчук В. И., Тарасенко В. П. Основы компьютерной арифметики. - К. Корнейчук, 2002.

-176 с.

6.Goldberg, David. "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmet­ ic." A C M Computing Surveys 23:1 March 1991. pp. 5-47.

2. TO. Питання до розділу 2

1.Що таке система числення?

2.Що таке позиційна система числення?

3.Що таке основа системи числення?

4.Чому двійкові і десяткові системи числення названі позиційними?

5.Запишіть довільне число в позиційній системі числення та його кількісний еквівалент.

6.Поясніть зв'язок вісімкової та шістнадцяткової систем числення з двійковою системою числення.

7.Поясніть правило переведення чисел із системи числення з основою k до десяткової.

8.Поясніть правило переведення чисел із десяткової системи числення до системи числен­ ня з основою k.

9.Що означають слова біт, байт, слово?

10.Назвіть три способи представлення двійкових чисел із знаком в комп'ютерах, і поясніть їх відмінності.

11.Поясніть суть оберненого коду представлення двійкових чисел із знаком.

12.Поясніть суть доповняльного коду представлення двійкових чисел із знаком.

13.Поясніть суть прямого коду представлення двійкових чисел із знаком.

14.Яке саме з трьох цілочисельних представлень використовується частіше всього в комп'ю­

тері?

15.Який діапазон представлення двійкових чисел із знаком в прямому, оберненому та допо­ вняльному кодах?

16.Що таке переповнення, і як воно може бути виявлене?

17.Як переповнення для чисел без знаку відрізняється від переповнення для чисел із зна­

ком?

18.Назвіть три способи представлення числових даних в комп'ютері.

19.Що означає представлення числа з одинарною та з подвійною точністю?

20.Де розміщується кома при представленні чисел з фіксованою комою?

21.На якій позиції розміщується кома при представленні цілих чисел?

80

ми справа після коми:

a.36.78125

b.294.03125

c.498.796875

d.26.1240234375

7.Перевести наступні десяткові дробові числа в двійкові, обмежившись шістьма розряда­ ми справа після коми:

a.35.84375

b.47.55

c.50.90625

d.74.874023

8.Представити наступні десяткові числа 8-розрядними двійковими із знаком в обернено­ му і доповняльному кодах:

a.67

b.52

c.219

d.207

9.Використовуючи 3-розрядні слова, назвати всі можливі двійкові числа із знаком та їх десяткові еквіваленти при їх представленні в:

a.Прямому коді

b.Оберненому коді

c.Доповняльному коді

10.Використовуючи 4-розрядні слова, назвати всі можливі двійкові числа із знаком та їх десяткові еквіваленти при їх представленні в:

a.Прямому коді

b.Оберненому коді

c.Доповняльному коді

11.Визначити значення двійкового числа із знаком 1001, представленого в оберненому коді,

вдесятковій системі.

12.Для числа з рухомою комою, яке має 3-бітовий порядок і 5-бітову мантису із знаком знайти:

a.Найбільше додатне та найменше від'ємне нормалізовані числа.

b.Зміщення порядку, при якому всі значення порядку є від'ємними.

13.Використовуючи 14-розрядний формат числа, причому 5 розрядів - для представлення порядку, 8 розрядів - для представлення нормалізованої мантиси та один для її знаку:

a.Показати, як в цьому форматі будуть представлені числа 100.0 та 0.25.

b.Додати ці два числа в названому форматі.

14.Які найбільші та найменші додатні і від'ємні числа можуть бути представлені в форматі ІЕЕЕ-754?

15.Записати в десятковій системі 32-розрядне число F0ABCD78, представлене в форматі IEEE з рухомою комою. Тут для запису числа використана шістнадцяткова система.

16.Показати, як в форматі ІЕЕЕ-754 з рухомою комою можуть бути представлені наступні числа: + 1;-1; 356*233.

17.Записати число N = -1 в форматі ІЕЕЕ-754.

18.Записати число N = -1.5 в форматі ІЕЕЕ-754.

81

19.Описати діапазони представлення чисел при використанні форматів з фіксованою і ру­ хомою комою

20.Вибрати формат представлення даних який забезпечує точність до 8 десяткової цифри

та динамічний діапазон від 10 25 до 1025. Тут число в дужках показник степеня

21.Приведіть діапазони представлення чисел при використанні відмінної від 2 основи по­ рядку для формату з рухомою комою

22.Показати як в форматі ІЕЕЕ-754 з рухомою комою можуть бути представлені наступні числа:+1;-1; 356*2"

23.Вибрати формат представлення даних, який забезпечує точність до 12 десяткової цифри

1001111 1001000 1001110 0100000 1000100 1000101