A_O_Melnik_Arkhitektura_komp_39_yuteriv

224

Розглянемо приклад. Нехай X = 0.10002 = 0.51 0 і Y = 0.11002 = 0.75І 0 . Тут виконана умова X<Y. Поетапні результати виконання ділення відповідно до блок-схеми алгоритму (рис. 6.22) наступні:

R0 = X = 0.1000;

R] = 2(R0 - р, х Y) = 2 (0.1000 - O x 0.1100) = 1.0000, q, = 1; R2 = 2(R, - p2 x Y) = 2 (1.0000- 1 x 0.1100) = 0.1000, q2 = 0; R3 = 2 ( R , - p 3 x Y ) = 2 (0.1000-0x0.1100) = 1.0000, q3 = 1; R4 = 2(R~ - p4 x Y) = 2 (1.0000 - 0 x 0.1100) = 1.0000, q, = 0; Таким чином маємо Q = q ^ ^ q , = 0.1010.

У методі ділення без відновлення залишку віднімання, що викликало появу від'єм­ ного залишку при визначенні значення розряду частки, еквівалентне двом відніманням при визначенні сусіднього молодшого розряду частки. Ділення виконується за тим же співвідношенням зі зсувом залишків ліворуч відповідно до рекурентної формули

R = 2(8,, - Р і У ) ,

де р = 1, якщо (R - У) > = 0, та р. = -1, якщо (R., - Y) < 0, RQ = X, і=1,2,...п. При цьому і-й розряд частки визначається з виразу q. = Sign R..

Ділення чисел, які представлені в оберненому та доповняльному кодах, можна ви­ конувати за правилами ділення в прямих кодах при відповідному перетворенні операндів в цей код. Розглянемо виконання операції ділення без відновлення залишків чисел, представлених доповняльними кодами. У цьому випадку ділення зводиться до послідов­ ності додавань і віднімань дільника від діленого, а потім часток і часткових залишків і їх зсуву на розряд ліворуч за наступними виразами:

Як вже було показано в попередньому розділі, формат з рухомою комою передбачає на­ явність двох частин числа - порядку (Р) та мантиси (М). Числа X та Y, які мають відповідно мантиси Мх та М і порядки Рх та Р , можна представити у вигляді X = Мх 2 Р х , Y = Му 2Р у .

Для забезпечення однозначного і максимально точного представлення чисел при­ йнято представляти число з рухомою комою в так званому нормалізованому вигляді. Якщо виконується нерівність 1< |М| < 2 (старший двійковий розряд мантиси дорівнює 1), то відповідно до стандарту ІЕЕЕ-754 вважається, що число представлене в нормалі­ зованому вигляді (в багатьох попередніх комп'ютерах нормалізованим вважалося чис­ ло, коли 0.5 < |М| < 1). Таким чином, у двійкового нормалізованого числа у форматі з рухомою комою мантиса є двійковим числом, в якому перший розряд рівний одиниці, після якої розміщено дробове число (або лише дробове число, в старшому розряді якого

225

завжди стоїть 1). Потрібно зауважити, що ці твердження відносяться до двійкових чисел у форматі з рухомою комою, основою порядку яких є число 2. Якщо основою порядку є числа 4, 8, 16 і т. д., то в цьому випадку число є нормалізованим, коли ненульовим є його перший розряд в четвірковій, вісімковій або шістнадцятковій системі числення відповід­ но. Операція приведення числа до нормалізованого вигляду називається нормалізацією.

При виконанні додавання та віднімання двійкових чисел з рухомою комою порядки операндів вирівнюються, а мантиси додаються. Порядки вирівнюються збільшенням по­ рядку меншого операнду до значення порядку більшого операнду. Цей порядок є поряд­ ком результату. Щоб при вирівнюванні порядків величина операнда не змінилася, його мантиса одночасно зменшується шляхом зсуву вправо на відповідну збільшенню поряд­ ку кількість розрядів. Після виконання вирівнювання порядків виникають додаткові мо­ лодші розряди мантиси, які до, або після, додавання відкидаються чи заокруглюються.

Додавання та віднімання двійкових чисел з рухомою комою можна представити ви­ разом:

Оскільки перший операнд більший, порядок числа У приводиться до порядку числа Х:Му =0.011 1010; Ру =0110.

Далі мантиси додаються:

М 5 = М х + М у = 1.000 1000+0.011 1010 =10.0000010; Р5 =0110. Тепер проводиться нормалізація: М5 =1.000 0001; Р5 =0111.

Множення чисел у форматі з рухомою комою описується наступним співвідно­ шенням:

В = X • У = Мх • 2Рх • Му • ї р \ = Мх • Му • 2Рх+Рг

При виконанні множення порядки операндів додаються, а мантиси перемножують­ ся. Після перемноження мантис виникають додаткові молодші розряди мантиси, які від­ кидаються або заокруглюються.

Розглянемо приклад:

М х = 1.000 1000; Рх =0110; Му =1.110 1001; Ру =0100.

Тоді М 0 = 1.000 1000- 1.110 1001=0.111 1011 1100 1000; Ро =0110+0100=1010. Після нормалізації: М с = 1.111 0111; Р„= 1001.

Ділення чисел у форматі з рухомою комою описується наступним співвідношенням:

При виконанні ділення порядки операндів віднімаються, а мантиси діляться. Розглянемо приклад:

Мх =1.111 1100; Р х =0111; Му =1.100 0000; Р у =0011 .

Тоді М с =1 . 111 1100/ 1.100 0000=0.10101; Ро =0111-0011=0100. Після нормалізації: М в =1 . 010 1000; Р о =0101 .

226

6.5. Операції обчислення елементарних функцій

Значна частина задач обробки даних розв'язується з використанням операцій обчис­ лення тригонометричних і гіперболічних функцій, функцій типу ехр X, ІП X, X2 й інших, операцій повороту вектора і перетворення координат з однієї системи в іншу, напри­ клад, з декартової в полярну. При цьому в деяких областях, наприклад, в радіонавігації, сейсморозвідці, гідроакустиці, вказані операції займають основну частина обчислень. Вирішення таких задач вимагає значних витрат часу Тому спочатку в спеціалізованих, а останнім часом і в універсальних комп'ютерах, до складу системи команд вводять опе­ рації обчислення елементарних функцій

В процесі розробки комп'ютерів та математичних методів обчислень було створено велику кількість методів обчислення елементарних функцій. Найчастіше в універсаль­ них комп'ютерах використовується обчислення елементарних функцій за допомогою різного виду апроксимуючих виразів та аналітичних ітераційних методів

6.5.ї. Розклад функції в ряд та використання ітеративних обчислень

Для обчислення елементарних функцій часто використовується їх розклад в нескін­ ченний ряд, який містить лише елементарні арифметичні та логічні операції, або вико­ ристовуються ітеративні співвідношення. Кількість членів ряду чи ітерацій вибирається залежно від необхідної точності, яка до того ж обмежується розрядною сіткою.

Для прикладу можна навести обчислення квадратного кореня за допомогою ітера­ тивної формули Ньютона

А6 = ( з ^ / 0 0 0 2 + 6.0002)/2 = 6.0000

6.5.2.Обчислення елементарних функцій методом "цифра за цифрою"

Протягом останніх десятиліть багато робіт було присвячено ефективному ітераційному алгоритму обчислення елементарних функцій, який найчастіше називають мето­ дом "цифра за цифрою". Обчислення елементарних функцій методом "цифра за цифрою" зводиться до виконання двох етапів. На першому етапі аргумент представляється або у вигляді суми п доданків 1п(1+£ а ' ) , або £ гхсЩ а', або £ аггЬ а1 , або в вигляді добутку п співмножників (1- £ а ' ) . Тут і - номер ітерації. На цьому етапі визначаються значення £,

227

які можуть бути рівні 0,1 або +1, - 1 . У першому випадку говорять про ітераційний про­ цес із знакопостійними приростами, в другому - із знакозмінними. На другому етапі, на підставі знайдених на першому етапі значень, визначається величина елементарної функції шляхом додавання або множення констант. Одночасне виконання двох описа­ них етапів методу "цифра за цифрою" називають методом Волдера, а послідовне - ме­ тодом Меджіта. Відміна методів Волдера і Меджіта, що полягає у величинах ітераційних кроків, значеннях констант і послідовності виконання етапів, істотним чином впливає на точність, швидкодію і структуру операційного пристрою. Детальний аналіз показав, що метод Меджіта має вищу точність, ніж метод Волдера, проте швидкодія його реалі­ зації нижча.

З урахуванням отриманих Вальтером результатів по уніфікації методу і шляхом об'єднання одержаних для різних функцій алгоритмів, єдиний обчислювальний алго­ ритм "цифра за цифрою" в двійковій позиційній системі числення можна представити в наступному вигляді:

X. , = X - p f . Y . 2 M

Тут ]h[ - ціла частина від h; |р| - модуль р; f. - двійкові оператори, що приймають

C - константи. В табл. 6.10 представлені функціональні можливості розглянутого алго­ ритму при різних значеннях параметрів р, R і різних початкових умовах X , Y , Z . Тут К. і Кг - коефіцієнти деформації відповідно тригонометричного і гіперболічного векторів,

228

Алгоритми обчислення окремих елементарних функцій методом "цифра за цифрою" мають меншу обчислювальну складність порівняно з уніфікованим алгоритмом, тому часто їх використання є доцільнішим.

6 . 5 . 3 . Табличний метод обчислення елементарних функцій

Ідея цього методу доволі проста: формується таблиця з наперед обчисленими зна­ ченнями функції для всіх значень аргументу. Тоді, коли виникає необхідність обчислен­ ня якоїсь функції, відбувається звертання до таблиці і зчитування з неї результату. Та­ блиця може мати, наприклад, наступний вигляд (табл. 6.11):

Таблиця 6.11

Часто застосовують комбінований підхід, коли деякі функції обчислюються таблич­ но, а інші - за допомогою розкладу в ряд чи ітераційних формул уже з використанням функцій, що обчислюються таблично.

6.5.4. Таблично-алгоритмічний метод обчислення елементарних функцій

Застосування табличного методу вимагає великої за розміром таблиці при обробці аргументів з великою розрядністю, що ускладнює зберігання значень функції та їх по­ шук в таблиці. Тому бажано стиснути інформацію, а потім відновити її з мінімальними втратами точності. Вирішення цієї задачі можливе шляхом застосування таблично-ал­ горитмічного методу обчислення елементарних функцій. Для таблично-алгоритмічно­ го методу характерна наявність арифметичних операцій, необхідних для обчислення поправки, яка додається до знайденого по таблиці значення, що залежить від старшої частини аргументу. Ч и м вищі вимоги до точності, тим більше арифметичних операцій необхідно виконати. При обчисленні поправки використовуються як загальний, так і частковий підходи. Загальний підхід застосовується для широкого класу функцій, а принципи використання часткового підходу ґрунтуються на застосуванні відомих то­ тожностей для кожної конкретної елементарної функції. При загальному підході вико­ ристовується співвідношення:

ДХ) = ДХв + Хп-в) = г В Д + Ф( Хп-в, Хе),

де Хе - число, утворене в старшими розрядами аргументу X, Хп-в - число, утворене (п-в) молодшими розрядами аргументу X, Ф(Хп-з, Хе) - поправка.

Як видно, при загальному підході поправка залежить як від молодшої, так і від стар­ шої частини аргументу. При частковому підході поправка в основному залежить тільки від молодшої частини аргументу. Обидва підходи передбачають використання таблич- но-апроксимаційного і таблично-ітераційного методів обчислень.

Це, зокрема, метод, що ґрунтується на представленні функції у виді суперпозиції двох підфункцій, де поправка задається*у вигляді усередненого значення шуканої функції на кінцях підінтервалів, на які розбивається область визначення функції. Однак застосуван-

229

ня цього методу доцільне лише в комп'ютерах, де вимоги до точності невисокі. Можли ­ вості варіювання обчислювальною складністю та об'ємом таблиць надають методи ку- сочно-лінійної і кусочно-поліноміальної апроксимації, а також методи, що ґрунтуються на розбивці аргументу X на складові X і X, утворені відповідно його старшими та молод­ шими розрядами, і розкладанні функції в ряд Тейлора та використанні схеми Горнера.

6.6.Операції перетворення даних

Для перетворення даних із формату з фіксованою у формат з рухомою комою та на­ впаки спочатку мають бути визначені параметри форматів представлення даних, напри­ клад, це перетворення даних із формату з одинарною точністю за стандартом ІЕЕЕ-754 до 32-розрядного формату з фіксованою комою.

При перетворенні даних із формату з фіксованою у формат з рухомою комою потріб­ но привести мантису до прийнятого в форматі з рухомою комою діапазону (за стандар­ том ІЕЕЕ-754 зробити її нормалізованою), та забезпечити обчислення порядку з тим, щоб не змінилося значення числа. Потрібно відзначити, що будь-яке число в форматі з фік­ сованою комою може бути представлено в форматі з рухомою комою. При цьому, якщо розрядність цього числа менша або рівна розрядності мантиси, воно буде представлено точно, якщо ж більша - наближено, оскільки частина молодших розрядів буде втрачена.

При перетворенні даних із формату з рухомою у формат з фіксованою комою по­ трібно привести мантису до прийнятого в форматі з фіксованою комою діапазону при зведенні порядку до нульового значення з тим, щоб не змінилося значення числа.

Розглянемо кілька прикладів.

Нехай потрібно перетворити ціле число X = 79] 0 = 10011112, яке представлене в двій­ ковій формі в доповняльному 16-розрядному коді, як показано на рис. 6.24, у формат з рухомою комою розрядністю п=16 = т + к , де к=6 - розрядність порядку, а т = 1 0 - роз­ рядність мантиси.

- початкове значення порядку, рівне розрядності числа з фіксованою комою без враху­ вання знакового розряду, В - зміщення порядку. Тобто початкове значення експоненти рівне Е = 32+15 = 1011112. Послідовність перетворення даних із формату з фіксованою у формат з рухомою комою показана в табл. 6.12.

230

Таким чином, елементи числа з рухомою комою визначені. Його значення в заданих

Рис. 6.25. Перетворене число

Для перевірки правильності результату перетворимо показане на рис. 6.25 число в десяткове:

X = + 0,1001111 .23 9 32 = + 1001111,0(2) = +79( 1 0 ) .

Нехай потрібно перетворити число Х = - 3 2 7 6 8 ш = -10000000000000002 в формат з ру­ хомою комою в тій самій розрядній сітці п = 16 = т+1с, де 1с=6 - розрядність порядку, а т = 1 0 - розрядність мантиси.

00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рис. 6.26. Перетворюване число

Значення порядку числа визначається з виразу Ех = Р х + 0 , (Б = 2 к 1 = 32). Тобто по­ чаткове значення експоненти рівне Е = 32+15 = 1011112- Як видно з рис. 6.26, тут до­ статньо зсунути перетворюване число на один розряд праворуч, і, тим самим, отримати нормалізовану мантису, залишивши на місці знаковий розряд, та додати до початкового значення порядку одиницю. Тобто при від'ємному значенні мантиса зсувається право­ руч, а до порядку добавляється одиниця. Таким чином, елементи числа з рухомою комою визначені. Його значення в заданих межах представлено на рис. 6.27.

Рис. 6.27. Перетворене число

Для перевірки вірності результату перетворимо показане на рис. 6.27 число в десят­

231

6.6.2. Перетворення даних з двійково-десяткового коду в двійковий та навпаки

Як ми вже бачили в попередньому розділі, двійково-десяткова система числення - це система, у якій кожну десяткову цифру від 0 до 9 подають 4-розрядним (або більшої роз - рядності) двійковим еквівалентом. Для виконання перетворення можуть бути викорис­ тані відповідні таблиці. Розглянемо приклади.

Нехай потрібно перетворити десяткове число 3691] 0 в двійково-десятковий код. При перетворенні кожну цифру десяткового числа перетворюють на його двійковий

4-розрядний еквівалент.

сятковий еквівалент.

Кожна тетрада двійково-десяткового числа перетворюється на десятковий еквівалент:

Отже, 1000 0000 0111 00102 10 = 8072,0 .

Аналогічним чином здійснюється перетворення й інших кодів.

6 . 7 . Операції реорганізації масивів і визначення їх параметрів

Масив - це впорядкований скінчений набір даних одного типу, які зберігаються в послідовно розташованих комірках оперативної пам'яті і мають спільну назву. Масив складається з елементів. Кожний елемент має ім'я та індекси, за якими його можна зна­ йти в масиві. Кількість індексів елемента визначає розмір масиву. У математиці поняттю масив відповідають поняття вектора та матриці.

Характеристикою масиву є його розмір - загальна кількість елементів у масиві. Інша характеристика масиву - його розмірність, оскільки масиви можуть бути як одновимірні, так і багатовимірні, а також розміри в кожному з вимірів.

Над масивами можуть виконуватись наступні операції: сортування, пошук макси­ муму або мінімуму, вибір заданого масиву, зсув елементів масиву, стиск масиву, визна­ чення параметрів масиву.

Алгоритм сортування - це алгоритм для впорядкування елементів масиву. До алго­ ритмів сортування належать такі: сортування за методом бульбашки, сортування мето­ дом вставок, сортування злиттям, цифрове сортування, порозрядне сортування, двій­ кове дерево сортування, блокове сортування, сортування методом вибору, сортування методом Шелла та інші.