Теорія_ймовірностей
.pdf71
Відхилення випадкової величини від її математичного сподівання називається
центрованою випадковою величиною, позначатимемо її X . Таким чином,
ˆ ˆ
X X M ( X ) або X X mx .
На прикладі дискретної випадкової величини покажемо, що математичне сподівання центрованої випадкової величини дорівнює нулю.
|
n |
n |
n |
M ( X ) M ( X mx ) (xi mx ) pi xi pi mx pi |
|||
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
mx mx 0 .
Математичне сподівання квадрата центрованої випадкової величини
(дисперсію) можна обчислити іншими формулами, які відрізняються від формул
(1.28) (1.29) (1.30). Для дискретної випадкової величини:
n |
n |
n |
n |
D( X ) xi mx |
2 pi xi2 pi 2mx xi pi mx2 |
pi |
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
n |
n |
|
|
xi2 pi 2mx2 mx2 |
xi2 pi mx2 . |
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
Таким чином, дисперсія дорівнює математичному сподіванню квадрата
випадкової величини мінус квадрат її математичного сподівання:
|
n |
|
D( X ) M ( X 2 ) (M ( X ))2 |
xi2 pi mx2 . |
(2.16) |
i 1
Відповідно для неперервної випадкової величини мають місце такі формули:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) x2 f (x)dx (M ( X ))2 , |
|
|
(2.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) x2 f (x)dx (M ( X ))2 . |
|
|
(2.18) |
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Приклад 9. Група студентів складає |
іспит. |
Випадкова величина X |
||||||
(отримувана |
оцінка) |
набуває |
значення x1 2 , |
x2 3 , |
x3 4 , |
x4 5 . |
||
Ймовірність |
|
отримання цих оцінок навчальною групою відповідно |
дорівнює |
|||||
p1 0,1; |
p 2 0,4; |
p3 0,3; |
p 4 0,2 . |
Знайти математичне сподівання |
||||
випадкової величини X , дисперсію і середнє квадратичне відхилення.
72
Розв’язання Закон розподілу для даного завдання має вигляд (див. таблицю 2.6).
Таблиця 2.6 – Закон розподілу до прикладу 9
|
xk |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
pk |
|
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
|
Математичне сподівання: |
M (X ) 2 0,1 3 0,4 4 0,3 5 0,2 3,6 . |
||||||
Отримане число 3,6 можна вважати середнім балом (математичне сподівання),
на котрий вийде група на іспиті при даних ймовірностях отримання тих або інших оцінок.
n
Дисперсію визначаємо за формулою (2.16): D( X ) xi2 pi mx2 .
i 1
D( X ) (22 0,1 32 0,4 42 0,3 52 0,2) 3,62
=13,8 12,96 0,84. ( X ) 
D( X ) 0,917 .
Властивості дисперсії
Властивості справедливі як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин.
1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід'ємна, причому D( X ) 0
|
лише коли X - постійна. M (C) C D(C) M (C 2 ) C 2 0 . |
2. |
Якщо C const , то D(CX ) C 2 D( X ) . Дійсно |
|
D(CX ) M (C 2 X 2 ) (M (CX ))2 C 2 (M ( X 2 ) M 2 ( X )) . |
3. |
Якщо випадкові величини X і Y - незалежні, то |
|
D( X Y ) D( X ) D(Y ) . |
Висновок 1. Дисперсія суми декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:
D(X1 X 2 ...X k ) D(X1 ) D(X 2 ) ... |
D(X k ) . |
73
Висновок 2. Дисперсія суми постійної величини і випадковою дорівнює дисперсії випадкової величини: D(C X ) D( X ) .
Висновок 3. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D( X Y ) D( X ) D(Y ) .
Із властивостей дисперсії випливає теорема про дисперсію числа появи подій у незалежних випробуваннях.
Теорема 2. Дисперсія числа появ подій в n незалежних випробуваннях, в
кожному з яких ймовірність |
p появи події постійна, |
дорівнює добутку числа |
випробувань на ймовірність |
появи і не появи події |
в одному випробуванні: |
D( X ) npq . |
|
|
Примітка – теореми 1 і 2 належать до випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом, тому їх можна сукупно сформулювати таким чином:
математичне сподівання біноміального розподілу з параметрами n і p дорівнює добутку n p , а дисперсія дорівнює твору n p q .
Приклад 10. Ймовірність відмови деталі при випробуванні на надійність дорівнює 0,15. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення числа деталей, що відмовили, якщо випробуванню буде піддано 20
деталей.
Розв’язання
Нехай X - число відмов при випробуванні деталей. Відмова при випробуванні однієї деталі не залежить від результатів випробувань інших деталей, тому дані події незалежні. Отже, згідно теоремою 1
M ( X ) np 20 0,15 3 (деталі).
Згідно з теоремою 2 D( X ) npq 20 0,15 0,85 2,55 .
Середнє квадратичне відхилення ( X ) 
D( X ) 
2,55 1,597 .
74
2.5.4Поняття про моменти розподілу. Характеристики форми кривої щільності розподілу
Початковим моментом порядку s випадкової величини X (позначається
s ( X ) ) називається математичне сподівання випадкової величини у степені s ,
тобто
s ( X ) M ( X s ) .
Відповідно до визначення обчислення початкових моментів здійснюється за формулами:
n
- для дискретної випадкової величини s ( X ) xis pi ;
i 1
- для неперервної випадкової величини s ( X ) x s f (x)dx .
Математичне сподівання – перший початковий момент ( s 1):1( X ) M (X ) mx .
Центральним моментом порядку |
s (позначається |
s ( X ) ) називається |
||||||||
математичне сподівання центрованої |
випадкової |
|
|
|
|
ˆ |
X mx в |
|||
величини X |
||||||||||
|
|
ˆ s |
) M ((X mx ) |
s |
) . |
|
|
|
||
степені s , тобто s ( X ) M ( X |
|
|
|
|
||||||
Вище показано, що перший центральний момент дорівнює нулю |
|
|||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1( X ) M ( X ) 0 . |
|
|
|
|
|
|
||
Другий центральний момент – це дисперсія. Вище показано, що |
|
|||||||||
|
2 |
( X ) D( X ) M ( X 2 ) (M ( X ))2 |
2 |
( X ) 2 |
( X ) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Центральні моменти вищих порядків використовуються як характеристики форми кривої щільності розподілу.
Характеристикою асиметрії кривої розподілу є математичне сподівання куба центрованої випадкової величини, тобто третій центральний момент:
3 (x mx )3 f (x)dx .
75
Третій центральний момент має розмірність куба випадкової величини. Щоб отримати безрозмірну величину, 3 ділять на куб середнього квадратичного відхилення. Отримана величина називається коефіцієнтом асиметрії. Позначимо
коефіцієнт асиметрії S . Тоді S |
3 |
. Знак коефіцієнта залежить від форми |
|
3 |
|||
|
|
||
|
x |
|
кривої розподілу, що ілюструє рисунок 2.9.
Рисунок 2.9 – Вплив форми кривою розподілу на знак коефіцієнта асиметрії
Крива розподілу випадкової величини може мати більш-менш плоску вершину.
Обчислюється математичне сподівання четвертого ступеня центрованої випадкової величини (четвертий центральний момент):
4 (x mx )4 f (x)dx .
Потім обчислюється безрозмірна величина |
4 |
. Ця величина для випадкової |
|
4 |
|||
|
|
||
|
x |
|
величини, підпорядкованої нормальному закону розподілу, дорівнює 3 (про нормальний розподіл див. нижче).
Рисунок 2.10 – Залежність ексцесу від форми кривої розподілу
76
Інші закони розподілу порівнюються з нормальним законом, коефіцієнт
порівняння називається ексцесом (позначається E |
|
) і має вигляд: |
E |
x |
|
4 |
3. |
x |
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
Для кривої розподілу з гострішою вершиною, ніж у нормальної кривої Ex 0 ,
для кривої розподілу з „плоскішою” вершиною |
Ex 0 (див. рисунок 2.10). |
||||||
Приклад 11. |
Неперервна |
випадкова |
величина задана |
щільністю |
|||
розподілу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x 0; |
|
|
|
|
|
|
2 |
, 0 x 2; |
|
|
|
f (x) c (x 1) |
|
|
||||
|
|
|
0, |
|
x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Потрібно: |
|
|
|
|
|
|
|
1) визначити коефіцієнт c ; |
2) знайти функцію розподілу F (x) ; |
|
|||||
3) побудувати графіки |
f (x) і F (x) ; 4) |
обчислити математичне |
сподівання |
||||
M ( ) і дисперсію D( ) ; 5) |
знайти ймовірність того, що випадкова величина |
||||||
набуває значення з інтервалу (1; 2) ; 6) визначити коефіцієнт асиметрії кривої
розподілу S і ексцес Ex .
Розв’язання
1. Для визначення коефіцієнта с використовуємо властивість щільності розподілу (§2.4):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x dx 1. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки для нашого прикладу |
f x 0 |
|
ÿêùî x 0 ³ ÿêùî |
x 2 , то |
||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f x dx c x 1 2 dx c |
x 1 |
|
2 |
26 |
c. Звідси |
|
|
3 |
3 |
|
||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
26 |
c 1 |
c |
3 |
. |
|
3 |
26 |
||||
|
|
|
77
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2. Функцію розподілу F x виражаємо зі щільності розподілу F x f x dx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для нашого випадку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
3 |
2 |
x 1 3 |
|
x |
|
x 1 3 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
26 |
x 1 dx |
26 |
|
0 |
26 |
|
|
26 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; таким чином |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x 0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
F (x) |
(x 1) |
|
|
|
|
, 0 x 2; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
26 |
|
26 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Графіки функцій f x і F x будуємо в одній системі координат (див. рисунок
2.11).
4. Математичне сподівання обчислюємо за формулою (2.6):
M X x f x dx ; для нашого випадку
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
17 |
|
|
M X x |
x 1 2 dx |
|
. |
|||
26 |
13 |
|||||
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рисунок 2.11 – До прикладу 11 |
|||||||||||||
Дисперсію випадкової величини |
|
X обчислюємо за формулою (2.18): |
|||||||||||||||
D X M X |
2 |
M |
2 |
X , де |
|
|
2 |
|
17 |
|
2 |
289 |
|
||||
|
|
M |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
169 |
|
||||
величину M X 2 визначаємо окремо: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X 2 x2 f x dx x2 |
|
|
3 |
|
x 1 2 dx |
128 |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
26 |
|
|
|
|
|
65 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
78
тоді D X M X 2 M 2 X 12865 169287 845219 .
5. Ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення з інтервалу
(1;2) , знаходимо за формулою (2.2):
P 1 x 2 F 2 F 1 1 267 1926 .
6. Для визначення коефіцієнта асиметрії обчислюємо третій центральний момент
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(x mx )3 f (x)dx , тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
17 3 |
|
|
3 |
|
x |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
184 |
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
26 |
|
2197 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коефіцієнт асиметрії S |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0,635. |
|||||||||||||||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) |
|
|
|||||||||||||
Визначаємо центральний момент четвертого порядку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
17 |
4 |
|
|
|
3 |
|
x 1 |
2 |
|
|
|
|
32883 . |
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
26 |
|
|
199927 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потім обчислюємо ексцес |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
4 |
|
3 0,551. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
D( X ) 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Контрольні питання
1.Що називається математичним сподіванням дискретної випадкової величини X ? Що вказує (характеризує) математичне сподівання?
2.Як обчислюється математичне сподівання дискретної і неперервної випадкової величини?
3.Яка механічна інтерпретація математичного сподівання дискретної і неперервної випадкової величини?
4.Як інтерпретується з імовірнісної точки зору постійна величина C ? Чому дорівнює математичне сподівання C ?
79
5.Поясніть на простому прикладі, що таке сума і добуток двох дискретних незалежних випадкових величин. Як скласти закон розподілу ймовірностей суми двох незалежних випадкових величин, якщо відомі закони розподілу доданків? Як скласти закон розподілу ймовірностей добутку двох незалежних випадкових величин, якщо відомі закони розподілу співмножників?
6.Назвіть основні властивості математичного сподівання.
7.Що називають модою (Мо) дискретної випадкової величини X ?
8.Що називають модою (Мо) неперервної випадкової величини X ?
9.Який розподіл ймовірностей називають антимодальним?
10.Який розподіл ймовірностей називають одномодальным, двомодальным?
11.Що називають медіаною (Ме) випадкової величини?
12.Чому дорівнює F(Me)?
x |
|
13. При якому значенні x виконується рівність |
f (x)dx f (x)dx ? |
|
x |
14.Що називають дисперсією випадкової величини, що характеризує дисперсія?
15.Як можна обчислити дисперсію дискретної і неперервної випадкової величини?
16.Назвіть основні властивості дисперсії.
17.Що називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини від її математичного сподівання?
18.Як обчислюються математичне сподівання і дисперсія біноміального розподілу?
19.Яка розмірність а) функції розподілу; б) щільність розподілу; в)
математичного сподівання; г) дисперсії; д) середнього квадратичного відхилення?
20.Що є характеристикою асиметрії кривої розподілу?
21.Що характеризує і як обчислюється ексцес?
80
Задачі
1. Заданий закон розподілу дискретної випадкової величини X . Побудувати
багатокутник розподілу ймовірностей. Знайти математичне сподівання,
дисперсію і середнє квадратичне відхилення.
Варіант 1а
Можливі значення xi випадкової |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
величини X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ймовірність pi |
значень випадкової |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
величини X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 1б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можливі значення xi випадкової |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
величини X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ймовірність pi |
значень випадкової |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
величини X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 1в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можливі значення xi випадкової |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
величини X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ймовірність pi |
значень випадкової |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
величини X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , заданої в задачі 1 §2.1.
3.Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , заданої в задачі 3 §2.1.
4.Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , заданої в задачі 5 §2.1.
5.Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , підпорядкованої біноміальному закону з параметрами
а) n 10, |
p 0,9 ; |
б) n 20, |
p 0,8 . |
6. За заданим імовірнісним багатокутником на рисунку 2.12 обчислити М(-4X+1);
D(-4X+1).