Мат. аналіз (лекції)

росту функцi¨, назива¹ться диференцiалом функцi¨ f â òî÷öi P , що вiдповiда¹ приростам аргументiв ¢x1; ¢x2; ¢ ¢ ¢ ; ¢xm.

Прирости аргументiв називаються диференцiалами незалежних змiнних i

позначаються dx1 = ¢x1; dx2 = ¢x2; : : : ; dxm = ¢xm.

Òîäi

df = du = A1dx1 + A2dx2 + ¢ ¢ ¢ + Amdxm:

Теорема 9.1. Якщо функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) диференцiйовна в точцi P (a1; a2; : : : ; am), то в цiй точцi iснують частиннi похiднi по всiх аргументах,

Доведення. Нехай функцiя f диференцiйовна в точцi P (a1; a2; : : : ; am):

¢f = A1¢x1 + A2¢x2 + ¢ ¢ ¢ + Am¢xm + o(¢½):

Çàôiêñó¹ìî äîâiëüíå i = 1; 2; : : : ; m. Надамо приросту ¢xi òiëüêè çìiííié xi:

¢x1 = 0; ¢x2 = 0; ¢ ¢ ¢ ; ¢xi¡1 = 0; ¢xi+1 = 0; : : : ; ¢xm = 0:

Òîäi ¢½ = ¢xi i ¢xi f = Ai¢xi + o(¢xi). Значить,

Тому умову диференцiйовностi запишемо так:

а диференцiал будемо обчислювати за формулою:

Приклад.

Нехай u = x + xy + xyz. Знайти повний прирiст та диференцiал цi¹¨ функцi¨.

¢u = u(x + ¢x; y + ¢y; z + ¢z) ¡ u(x; y; z) =

(x + ¢x) + (x + ¢x)(y + ¢y) + (x + ¢x)(y + ¢y)(z + ¢z) ¡ x ¡ xy ¡ xyz =

(1 + y + yz)¢x + (x + xz)¢y + xy¢z + (1 + z)¢x¢y + y¢x¢z + x¢y¢z + ¢x¢y¢z.

Обчислимо частиннi похiднi:

83

f : A ! R, A ½ Rm, ма¹ частиннi похiднi в деякому околi точки P , i всi вони неперервнi в точцi P , то функцiя f ¹ диференцiйовною в цiй точцi.

9.4. Застосування повного диференцiала до наближених обчи- слень

0; 017.

Значить, p(1; 05)2 + (1; 95)2 + (2; 05)2 ¼ f(P ) + df(P ) ¼ 3; 017.

84

9.5. Геометричний змiст умови диференцiйовностi функцiй двох змiнних

Нехай S ½ R3 поверхня, яка ¹ графiком функцi¨ двох змiнних f : A ! R, A ½ R2, ( àáî z = f(x; y)) i Q 2 S деяка точка цi¹¨ поверхнi,

Q = Q(x0; y0; f(x0; y0)), P = (x0; y0) 2 A.

Означення 9.3. Площина ¦ назива¹ться дотичною площиною до поверхнi S â òî÷öi Q, якщо для довiльно¨ точки M 2 S, кут мiж площиною ¦ òà âiäðiçêîì QM пряму¹ до нуля при умовi, що точка M пряму¹ до точки Q.

Очевидно, що дотична площина мiстить всi дотичнi прямi до кривих, якi проходять по поверхнi S через точку Q. Виявля¹ться, що умова диференцiйов-

ностi функцi¨ f â òî÷öi P еквiвалентна умовi iснування дотично¨ площини до графiка функцi¨ f â òî÷öi Q. Справдi,

Вiдкинувши останнiй доданок, який ¹ нескiнченно малим при умовi, що x ! x0 i y ! y0, отрима¹мо рiвняння дотично¨ площини:

Приклад 1. Знайти частиннi похiднi вiд функцi¨ z = cos(x + 2y), äå x =

u + v, x = u ¡ v.

@u@z = @x@z @u@x + @y@z @u@y = ¡ sin(x + 2y) ¢ 1 ¡ 2 sin(x + 2y) ¢ 1 =

= ¡3 sin(u + v + 2u ¡ 2v) = ¡3 sin(3u ¡ v);

@v@z = @x@z @x@v + @y@z @y@v = ¡ sin(x + 2y) ¢ 1 ¡ 2 sin(x + 2y) ¢ (¡1) = = sin(u + v + 2u ¡ 2v) = sin(3u ¡ v):

Приклад 2. Знайти частиннi похiднi вiд функцi¨ u = ln x + ln xy + ln xyz,

Розглянемо деякi частковi випадки.

Нехай k = 1. Функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) = f('1(t); '2(t); : : : ; 'm(t)) =

F (t) може розглядатися як функцiя однi¹¨ змiнно¨. Тодi ¨¨ (повна) похiдна по t шука¹ться за формулою:

Приклад. Знайти похiдну по t вiд функцi¨ z = xy, äå x = a cos t i y = b cos t.

dzdt = @x@z dxdt + @y@z dydt = y(¡a sin t) + x(¡b sin t) = ¡ab sin 2t:

88

Якщо ма¹мо неявно задану поверхню F (x; y; z) = 0 в просторi R3, òî ðiâ-

няння дотично¨ площини та нормалi в точцi Q(x0; y0; z0) (F (x0; y0; z0) = 0) задаються, вiдповiдно, рiвняннями:

k < 0. Тому ввесь простiр R3 ¹ об'¹днанням елiпсо¨дiв та точки f(0; 0; 0)g

початку координат.

Приклад 2. Нехай f(x; y) = x¡y. Òîäi Fc = f(x; y) 2 R2 j y = x¡cg, y = x ¡ c.

Очевидно, що вся область визначення функцi¨ f ¹ об'¹днанням ¨¨

c-ðiâíiâ:

[

A = Fc:

c2R

10.2. Похiдна за напрямком та градi¹нт

Нехай P (x0; y0; z0) 2 A внутрiшня точка. Розглянемо всеможливi променi l, що виходять з точки P : вони однозначно визначаються одинич- ним вектором ~e того ж напрямку. Нехай вектор заданий сво¨ми напрямними косинусами ~e = (cos ®; cos ¯; cos °) (нагада¹мо, що ®, ¯, ° êóòè

мiж вектором та координатними осями)

Точка M, яка розташована на променi l íà âiääàëi t вiд точки P ма¹ координати

x = x0 + t cos ®; y = y0 + t cos ¯; z = z0 + t cos °:

Розглянемо складну функцiю

Означення 10.2. Похiдна функцi¨ f ïî t (взята як похiдна складно¨ функцi¨) при t = 0 назива¹ться похiдною функцi¨ f â òî÷öi P за напрямком l (чи за напрямком вектора ~e) i познача¹ться як @f@l (P ) = @f@e¹(P ).

Îòæå,