Мат. аналіз (лекції)

Частина 3

Функцi¨ багатьох змiнних

72

ÐÎÇÄIË 8

ПОНЯТТЯ ПРО ФУНКЦIˆ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ

1. m-вимiрний евклiдовий простiр.

2.Пiдмножини евклiдового простору Rm.

3.Функцi¨ вiд m çìiííèõ.

4.Послiдовностi точок простору Rm.

5.Границя та неперервнiсть функцiй m çìiííèõ.

8.1. m-вимiрний евклiдовий простiр

Означення 8.1. Назвемо m-вимiрним координатним простором Am

множину всеможливих впорядкованих послiдовностей m дiйсних чисел

Am := f(x1; x2; : : : ; xm) j x1; x; : : : ; xm 2 Rg:

Всяку таку послiдовнiсть (x1; x2; : : : ; xm) називемо точкою координатного простору Am i, залежно вiд ситуацi¨, будемо позначати рiзними способами: або (x1; x2; : : : ; xm), àáî M(x1; x2; : : : ; xm) (чита¹ться: точка M з координатами (x1; x2; : : : ; xm)), або просто через M.

Задамо дi¨ над точками простору Am:

1.додавання: (x1; x2; : : : ; xm)+(y1; y2; : : : ; ym) := (x1 +y1; x2 +y2; : : : ; xm +ym), для всяких (x1; x2; : : : ; xm); (y1; y2; : : : ; ym) 2 Am;

2.множення на скаляр: ¸ ¢ (x1; x2; : : : ; xm) := (¸ ¢ x1; ¸ ¢ x2; : : : ; ¸ ¢ xm),

для всякого (x1; x2; : : : ; xm) 2 Am i ¸ 2 R.

Простiр Am з цими операцiями перетворю¹ться на лiнiйний векторний про-

стiр (такi простори вивчаються в курсi лiнiйно¨ алгебри). Додатково означимо вiддаль мiж точками простору Am:

p

d(M; N) = (x1 ¡ y1)2 + (x2 ¡ y2)2 + ¢ ¢ ¢ + (xm ¡ ym)2; (8.1.1)

äå M(x1; x2; : : : ; xm); N(y1; y2; : : : ; ym) 2 Am.

Означення 8.2. Координатний простiр Am

множення на скаляр та вiддаллю, заданою рiвнiстю (8.1.1) назива¹ться m-âè- мiрним евклiдовим простором i познача¹ться як Rm.

Òàê, R2 def= f(x; y) j x; y 2 Rg. Для всяких M1(x1; y1); M2(x2; y2) 2 R2 ìà¹ìî

p

d(M1; M2) = (x1 ¡ x2)2 + (y1 ¡ y2)2:

R3 def= f(x; y; z) j x; y; z 2 Rg. Для всяких M1(x1; y1; z1); M2(x2; y2; z2) 2 R3 ìà¹ìî

p

d(M1; M2) = (x1 ¡ x2)2 + (y1 ¡ y2)2 + (z1 ¡ z2)2:

p

Äëÿ R = R1 d(M1; M2) = (x1 ¡ x2)2 = jx1 ¡ x2j.

8.2. Пiдмножини евклiдового простору Rm

Означення 8.3. Нехай M(x1; x2; : : : ; xm) 2 Rm довiльна точка i r > 0

довiльне число. Множина:

B(M; r) def= fP 2 Rm j d(M; P ) < rg назива¹ться вiдкритою кулею ðàäióñà r з центром в точцi M;

центром в точцi M;

S(M; r) def= fP 2 Rm j d(M; P ) = rg назива¹ться сферою ðàäióñà r з центром в точцi M.

Означення 8.4. "-околом точки M 2 Rm назвемо множину B(M; ").

Означення 8.5. Нехай A ½ Rm деяка множина. Точка M 2 A назива¹ться внутрiшньою точкою множини A, якщо вона належить множинi разом з деяким сво¨м "-околом.

Точка M назива¹ться зовнiшньою точкою множини A, ÿêùî âîíà ¹ âíóò-

Точка M назива¹ться точкою ìåæi множини A, якщо вона не ¹ нi внутрiшньою, нi зовнiшньою.

74

Означення 8.6. Множина назива¹ться вiдкритою, якщо всi ¨¨ точки внутрiшнi, множина назива¹ться замкненою, якщо ¨¨ доповнення множина вiдкрита.

Означення 8.7. Неперервною кривою L в просторi Rm назвемо мно- æèíó

L = f(x1; x2; : : : ; xm) 2 Rm j x1 = '1(t); x2 = '2(t); : : : ; xm = 'm(t); t 2 [0; 1]; g

äå âñi 'i, i = 1; : : : ; m неперервнi функцi¨. Кажемо, що крива L ç'¹äíó¹ точки

M1('1(0); '2(0); : : : ; 'm(0)) òà M2('1(1); '2(1); : : : ; 'm(1)).

Зауважимо, що таким способом можна задати i точку, i коло, i навiть цiлий квадрат (кривi Пеано). Але для наших потреб такого означення криво¨ досить.

Означення 8.8. Множина A назива¹ться лiнiйно зв'язною, якщо довiльнi двi ¨¨ точки можна з'¹днати неперервною кривою.

Означення 8.9. Множина A назива¹ться обмеженою, якщо вона мiститься в деякiй кулi.

8.3. Функцi¨ вiд m çìiííèõ

Нехай A ½ Rm i ми ма¹мо закон, який кожнiй точцi M 2 A ставить у вiдповiднiсть число f(M) 2 R. Òîäi

f : A ! R; A ½ Rm

назива¹ться (дiйсною) функцi¹ю m çìiííèõ: f(M) = f(x1; x2; : : : ; xm). Множина A назива¹ться областю визначення функцi¨ f.

75

8.4. Послiдовностi точок простору Rm

Означення 8.10. Довiльне вiдображення ': N ! Rm назива¹ться ïîñëi- äîâíiñòþ; приймаючи '(n) = Mn отрима¹мо позначення для послiдовностi

fMng, ֏ fMng1n=1.

Означення 8.11. Послiдовнiсть fMng, Mn 2 Rm, назива¹ться çáiæíîþ, ÿêùî iñíó¹ òàêå M 2 Rm, що викону¹ться

(8" > 0)(9N = N("))(8n > N): fd(Mn; M) < "g:

Познача¹ться це так:

M = lim Mn; àáî Mn ! M ïðè n ! 1:

n!1

Введемо i таке поняття:

lim Mn = 1 def= lim d(Mn; 0) = +1

n!1 n!1

У випадку простору багатьох змiнних не мають сенсу позначення +1 òà ¡1 тому що, образно кажучи, ¹ дуже багато шляхiв у безмежнiсть.

Теорема 8.1. Нехай fMng, Mn = Mn(xn1 ; xn2 ; : : : ; xnm) деяка послiдовнiсть. Послiдовнiсть fMng çáiãà¹òüñÿ äî M = M(x1; x2; : : : ; xm) тодi i тiльки тодi, коли послiдовностi fxn1 g1n=1, fxn2 g1n=1, : : : , fxnmg1n=1 збiгаються до коор- динат точки M:

lim xn = xi; i = 1; 2; : : : ; m:

n!1 i

Означення 8.12. Нехай A ½ Rm деяка множина. Точка M 2 A назива¹ться граничною точкою множини A, ÿêùî iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü fMng,

Mn 2 A n fMg, яка збiга¹ться до цi¹¨ точки: M = lim Mn.

n!1

8.5. Границя та неперервнiсть функцiй m çìiííèõ

Означення 8.13. Нехай A ½ Rm, P 2 A гранична точка i f : A ! R функцiя.

76

Число b назива¹ться границею функцi¨ f â òî÷öi P , ÿêùî

(8" > 0)(9± > 0)(8M 2 A): f0 < d(M; P ) < ± ) jf(M) ¡ bj < "g :

Це означення на мовi " ¡ ± ; можна також дати означення на мовi послi-

довностей. Також зберiгаються всi властивостi границi функцiй, розглянутi для однi¹¨ змiнно¨. Аналогiчно да¹ться означення нескiнченно мало¨ та класифiкацiя нескiнченно малих. Далi розгляда¹мо те, чого нема у функцiй однi¹¨ змiнно¨.

Для простоти розглянемо випадок m = 2.

Нехай f : A ! R, A ½ R2, P (x0; y0) 2 A внутрiшня точка, тобто iсну¹ таке ±1 > 0, ùî B(P; ±1) ½ A. Це означа¹, що iсну¹ таке ± > 0, ùî

f(x; y) 2 R2 j (jx ¡ x0j < ±) ^ (jy ¡ y0j < ±)g ½ A.

Çàôiêñó¹ìî ye: jye¡y0j < ±. Òîäi f(x; ye) функцiя однi¹¨ змiнно¨. Позначимо:

lim f(x; ye) = '(ye), або, вiдкинувши хвильку,

x!x0

lim f(x; y) = '(y):

x!x0

Таку границю називають частинною. Òîäi

назива¹ться повторною границею â òî÷öi P . Аналогiчно можна розглянути

77

тобто ми отриму¹мо значення, яке залежить вiд k i ¹ рiзним для рiзних прямих.

Теорема 8.2. Нехай f : A ! R, A ½ Rm, P (x0; y0) 2 A внутрiшня

iснують в деякому околi точки P . Тодi повторнi границi iснують i рiвнi мiж собою:

Означення 8.14. Нехай f : A ! R, A ½ Rm, P 2 A гранична точ-

ка. Функцiя f назива¹ться неперервною â òî÷öi P , ÿêùî lim f(M) =f(P ).

M!P

Iнакше можна записати:

lim f(M) = f( lim M):

M!P M!P

Точки, в яких умова неперервностi не викону¹ться, називаються точками розриву. Якщо зафiксувати всi змiннi, крiм однi¹¨, можна говорити про неперервнiсть по однiй змiннiй.

На випадок функцiй багатьох змiнних переносяться теореми про неперервнiсть складно¨ функцi¨, перша i друга теореми Вей¹рштрасса, теорема про промiжне значення, поняття рiвномiрно¨ неперервностi, теорема Кантора.

Теорема 8.3 (Про неперервнiсть складно¨ функцi¨).

Нехай ма¹мо функцiю f : A ! R, A ½ Rm, та функцi¨ 'i : B ! R, B ½ Rk,

i = 1; 2; : : : ; m, причому A ½ f('1(P ); '2(P ); : : : ; 'm(P ) j P 2 B)g. Означимо

складну функцiю F : B ! R, B ½ Rk, за допомогою формули

F (t1; t2; : : : ; tk) = f('1(t1; t2; : : : ; tk); '2(t1; t2; : : : ; tk); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tk)):

Нехай функцi¨ '1; '2; : : : ; 'm неперервнi в точцi Q(b1; b2; : : : ; bk) 2 B,

a1 = '1(b1; b2; : : : ; bk); a2 = '2(b1; b2; : : : ; bk); : : : ; am = 'm(b1; b2; : : : ; bk);

78

i функцiя f неперервна в точцi P (a1; a2; : : : ; am) 2 A. Тодi складна функцiя F неперервна в точцi Q.

Теорема 8.4 (Перша теорема Вей¹рштрасса). Якщо функцiя f неперервна на замкненiй обмеженiй множинi, то вона обмежена на цiй множинi.

Теорема 8.5 (Друга теорема Вей¹рштрасса). Неперервна на замкненiй обмеженiй множинi функцiя f прийма¹ на цiй множинi найбiльше i найменше

значення.

Теорема 8.6 (Теорема про промiжне значення). Нехай функцiя f неперервна на деякiй лiнiйно зв'язнiй множинi. Тодi для довiльних точок M1 òà M2 i для довiльно¨ криво¨ L, яка з'¹дну¹ цi точки, функцiя набува¹ на цiй кривiй довiльне значення з промiжку [f(M1); f(M2)].

Означення 8.15. Функцiя f : A ! R, A ½ Rm назива¹ться ðiâíîìiðíî неперервною íà A, ÿêùî

(8" > 0)(9± > 0)(8P 2 A)(8M 2 A): fd(P; M) < ± ) jf(P ) ¡ f(M)j < "g:

Теорема 8.7 (Теорема Кантора). Всяка неперервна на замкненiй i обмеженiй множинi функцiя ¹ рiвномiрно неперервна.

Приклад 8.2. Згада¹мо один з виглядiв друго¨ важливо¨ границi 4.4.5:

1

(1 + x)x = e

1

Змiнимо трохи умову. Нехай потрiбно знайти границю lim (x + y)y . Íà ïåð-

x ! 1 y ! 0

ший погляд може здатися, що результатом теж буде число e. Але ця границя

79

не iсну¹. Справдi, якщо покласти x = 1 + y, òî

80

ÐÎÇÄIË 9

ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДЕКIЛЬКОХ ЗМIННИХ

1.Повний та частинний прирости функцi¨

2.Частиннi похiднi

3.Диференцiйовнiсть функцiй m çìiííèõ

4.Застосування повного диференцiалу до наближених обчислень

5.Геометричний змiст умови диференцiйовностi функцiй двох змiнних

6.Диференцiювання складно¨ функцi¨

7.Iнварiантнiсть форми запису першого диференцiала

8.Похiдна вiд функцi¨, задано¨ неявно

9.1. Повний та частинний прирости функцi¨

Нехай функцiя f : A ! R задана на множинi A ½ Rm i P = P (a1; a2; : : : ; am)внутрiшня точка множини A. Це означа¹, що iсну¹ таке число ± > 0, ùî B(P; ±) ½ A. Нехай M(x1; x2; : : : ; xm) 2 B(P; ±) довiльна iнша точка. Позначимо через ¢x1 = x1 ¡ a1; ¢x2 = x2 ¡ a2; : : : ; ¢xm = xm ¡ am прирости аргументiв. Тодi

¢f = ¢f(P; ¢x1; ¢x2; : : : ; ¢xm) = f(M) ¡ f(P )

познача¹ повний прирiст функцi¨ f â òî÷öi P , який вiдповiда¹ приростам аргументiв

Очевидно, що функцiя f неперервна в точцi P òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

lim ¢f(P ) = 0.

M!P

Вирази вигляду

f(a1 + ¢x1; a2; : : : ; am) ¡ f(a1; a2; : : : ; am) def= ¢x1 f(P ); f(a1; a2 + ¢x2; : : : ; am) ¡ f(a1; a2; : : : ; am) def= ¢x2 f(P );

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

f(a1; a2; : : : ; am + ¢xm) ¡ f(a1; a2; : : : ; am) def= ¢xm f(P );