Мат. аналіз (лекції)

Обернене твердження неправильне: неперервна в точцi x = 0 функцiя f(x) = jxj íå ì๠ïîõiäíî¨ â öié òî÷öi.

При наближених обчисленнях вважають, що ¢f ¼ df.

Iнварiантнiсть форми запису першого диференцiалу.

Нехай ма¹мо функцiю y = f(x), òîäi dy = f0(x) dx. Нехай x в свою чергу ¹ функцi¹ю: x = '(t). Òîäi y = f('(t)) ¹ також функцiя вiд t. Ìà¹ìî dx = '0(t) dt.

52

dy = (f('(t)))0 dt = fx0 ¢ '0t dt = fx0 dx. Тобто dy = fx0 dx незалежно вiд того, чи ¹ x незалежною змiнною, чи нi.

6.8. Похiднi i диференцiали вищих порядкiв

Нехай функцiя f : (a; b) ! R диференцiйовна всюди на (a; b). Запишемо ¨¨ перший диференцiал df(x; dx) = f0(x) dx i будемо розглядати його як функцiю вiд x, à dx вважатимемо сталим.

53

Означення 6.7. Другим диференцiалом функцi¨ f â òî÷öi x назива¹ться диференцiал вiд першого диференцiала df(x; dx)

d (df(x; dx)) = d (f0(x) dx) = f00(x) dx ±x;

взятий при умовi, що dx = ±x. Познача¹мо dx2 def= dx ¢ dx.

Ма¹ мiсце формула

d2f = f00dx2:

Аналогiчно визначаються вищi диференцiали. Ма¹мо

dnf = f(n)dxn:

Зауважимо, що данi формули правильнi тiльки тодi, коли x незалежна змiнна.

Справдi, нехай y = f(x) два рази диференцiйовна функцiя i x = '(t) теж два рази диференцiйовна. Тодi

d2(y) = ±(dy)±x=dx = ±(yx0 dx)±x=dx = ¡±(yx0 ) dx + yx0 ¢ ±(dx))¢±x=dx =

= ¡yxx00 ±x dx + yx0 ¢ ±(dx))¢±x=dx = f00(x) dx2 + f0(x) d2x:

(використову¹мо символ ± çàìiñòü d при другому диференцiюваннi).

6.9. Теореми про диференцiйовнi функцi¨

Означення 6.8. Функцiя f : (a; b) ! R ì๠â òî÷öi x0 2 (a; b) локальний максимум (локальний мiнiмум), якщо iсну¹ такий ±-окiл точки x0,

(x0 ¡±; x0 + ±) ½ (a; b), ùî äëÿ âñiõ x0 2 (x0 ¡±; x0 + ±) викону¹ться f(x) · f(x0) (÷è f(x) ¸ f(x0)).

Функцiя f : (a; b) ! R ì๠â òî÷öi x0 2 (a; b) локальний екстремум, якщо вона ма¹ в цiй точцi локальний максимум чи локальний мiнiмум.

Теорема 6.12 (Теорема Ферма (P.Fermat)). Нехай функцiя f : (a; b) !

R ì๠â òî÷öi x0 2 (a; b) локальний екстремум. Тодi якщо iсну¹ похiдна в точцi x0, òî f0(x0) = 0.

54

Доведення. Нехай, наприклад, функцiя f ì๠â òî÷öi x0 локальний максимум, тобто iсну¹ таке ± > 0, ùî äëÿ âñiõ x 2 (x0 ¡ ±; x0 + ±) ìà¹ìî f(x) · f(x0). Òîäi

неперервна всюди i ма¹ похiдну всюди на (a; b). Нехай f(a) = f(b). Òîäi iñíó¹ òàêå c 2 (a; b), ùî f0(c) = 0.

Доведення. Можемо припускати, що функцiя f íå ïîñòiéíà, áî òîäi f0(x) = 0

äëÿ âñiõ x 2 (a; b) i теорема доведена.

За другою теоремою Вей¹рштрасса, функцiя f прийма¹ сво¹ найбiльше i найменше значення в точках x¤ i x¤ вiдповiдно. Оскiльки наша функцiя не постiйна, то f(x¤) 6= f(x¤), i принаймнi одна з точок x¤ ÷è x¤ íå çáiãà¹òüñÿ ç êiíöåì ïðîìiæêà i ¹ внутрiшньою точкою локального екстремуму (наприклад, x¤ 2 (a; b)). За теоремою Ферма ма¹мо f0(x¤) = 0. Залиша¹ться покласти c = x¤. ¤

Теорема 6.14 (Теорема Лагранжа про середн¹ значення (J.L.Lagrange)).

Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна всюди i ма¹ похiдну всюди на (a; b). Òîäi iñíó¹ òàêå c 2 (a; b), ùî

Ця функцiя неперервна на [a; b] i g(a) = f(a), g(b) = f(b) ¡ (f(b) ¡ f(a)) = f(a) = g(a). Функцiя g ма¹ похiдну всюди на (a; b), причому

g0(x) = f0(x) ¡ f(b) ¡ f(a) : b ¡ a

Наслiдок 6.1. Якщо функцiя f : (a; b) ! R диференцiйовна на (a; b) i äëÿ âñiõ x 2 (a; b) f0(x) = 0, òî f(x) = c, тобто ця функцiя константа.

55

Наслiдок 6.2. Якщо функцi¨ f; g : (a; b) ! R диференцiйовнi на (a; b) i äëÿ âñiõ x 2 (a; b) f0(x) = g0(x), òî f(x) ¡ g(x) = c, тобто функцi¨ вiдрiзняються на константу.

Теорема 6.15 (Теорема Кошi (A.L.Cauchy)). Нехай неперервнi функцi¨

Доведення. Застосу¹мо теорему Ролля до функцi¨

h(x) = f(x) ¡ f(b) ¡ f(a) (g(x) ¡ g(a)) : g(b) ¡ g(a)

Теорема 6.16. Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1, диференцiйовна на (a; b). Тодi функцiя f монотонно неспада¹ (монотонно незроста¹)

Достатнiсть. Нехай f0(x) ¸ 0 äëÿ âñiõ x 2 (a; b). Вiзьмемо довiльнi x0; x00 2 (a; b), x0 < x00, i застосу¹мо теорему Лагранжа: iсну¹ таке c 2 (x0; x00), ùî f(x00) ¡ f(x0) =

f0(c)(x00 ¡ x0) ¸ 0. Òîìó f(x00) ¸ f(x0). ¤

Теорема 6.17. Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1, диференцiйовна на (a; b) i äëÿ âñiõ x 2 (a; b) викону¹ться f0(x) > 0 (f0(x) < 0). Тодi функцiя f строго монотонно зроста¹ (строго монотонно спада¹).

Зауваження 6.1. Навпаки неправильно. Функцiя y = x3 строго монотон- но зроста¹, проте ¨¨ похiдна y0 = 3x2 в нулi перетворю¹ться в нуль.

Теорема 6.18. Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1, диференцiйовна на (a; b). Òîäi f строго монотонно зроста¹ (строго монотонно спада¹) тодi i тiльки тодi, коли:

56

1. (8x 2 (a; b)): ff0(x) ¸ 0g (ff0(x) · 0g)

2.Не iсну¹ такого iнтервала (®; ¯) 2 (a; b), äå f0(x) ´ 0.

6.10.Формула Тейлора

6.10.1.Формула Тейлора для многочлена. Покажемо, що довiльний

многочлен

P (x) = a0 + a1x + ¢ ¢ ¢ + an¡1xn¡1 + anxn; x 2 R;

для довiльного x0 2 R можна записати у виглядi

P (x) = b0 + b1(x ¡x0) + b2(x ¡x0)2 + ¢ ¢ ¢+ bn¡1(x ¡x0)n¡1 + bn(x ¡x0)n: (6.10.1)

Пiдставляючи x = x0, отриму¹мо P (x0) = b0. Продиференцiю¹мо рiвняння (6.10.1):

P 0(x) = b1 + 2b2(x ¡ x0) + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1)bn¡1(x ¡ x0)n¡2 + nbn(x ¡ x0)n¡1

i покладемо x = x0. Отриму¹мо P 0(x0) = b1. Ще раз продиференцiю¹мо:

P 00(x) = 2b2 + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1)(n ¡ 2)bn¡1(x ¡ x0)n¡3 + n(n ¡ 1)bn(x ¡ x0)n¡2

i ïðè x = x0 отриму¹мо P 00(x0) = 2b2. Аналогiчно отриму¹мо P 000(x0) = 3 ¢ 2b3,

: : : , P (n) = n!bn. Отриму¹мо формулу

6.10.2. Формула Тейлора, випадок довiльно¨ функцi¨.

Означення 6.9. Нехай f довiльна функцiя, достатню кiлькiсть раз диференцiйовна. Вираз

Pn(x) = f(x0) + f0(x0) (x ¡ x0) + f00(x0) (x ¡ x0)2 + ¢ ¢ ¢ +

1! 2!

назива¹ться многочленом Тейлора для функцi¨ f â òî÷öi x0. f(x) ¡ Pn(x) := Rn(x) залишок формули Тейлора.