Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат. аналіз (лекції)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

131

ÐÎÇÄIË 18

НЕВЛАСНI IНТЕГРАЛИ ТА IНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНI ВIД ПАРАМЕТРА

1.Iнтеграли по безмежному промiжку

2.Властивостi невласних iнтегралiв

3.Iнтеграли вiд необмежено¨ функцi¨

4.Iнтеграли, залежнi вiд параметра

18.1. Iнтеграли по безмежному промiжку

Нехай f : [a; +1) ! R неперервна функцiя.

Означення 18.1. Якщо iсну¹ скiнченна границя

lim f(x) dx;

b!+1

то вона назива¹ться невласним iнтегралом вiд функцi¨ f ïî ïðîìiæêó [a; +1) i познача¹ться

+1		b
Za	def	lim f(x) dx:
Za	f(x) dx =	b!+1 Za

При цьому говорять, що невласний iнтеграл çáiãà¹òüñÿ ÷è iñíó¹. Якщо ж границя lim Rb f(x) dx не iсну¹ чи безмежна, то кажуть, що невласний

b!+1 a

iнтеграл íå iñíó¹ ÷è ðîçáiãà¹òüñÿ.

Геометричний змiст невласного iнтеграла площа вiдповiдно¨ без-

межно¨ областi. Якщо площа скiнченна iнтеграл збiга¹ться i навпаки.
+1	dx	= lim b	dx	= lim	(arctg b		arctg 0) = ¼ :
Приклад 1. R0						¡
	1+x2	b!+1 R0 1+x2		b!+1			2

132

lim

(ln 1 + b

j ¡

ln 1) = +

Приклад 2. R0

1+x

= b!+1 R0 1+x

b!+1

Даний iнтеграл розбiжний.

Приклад 3.

´¯

;¯

;

ïðè ® = 1;

lim

®)x

x®

b +

x® = b +

ïðè ® = 1

! 1 1

(ln x )

b +

ïðè

® = 1

® · 1:

ln b;

1 ( +1;

ïðè

> 1;

ïðè

® > 1;

lim

1¡®

b®¡1¡1 ;

lim

1 ;

® > 1 R1

x®

® · 1

Îòæå, ïðè

+1 dx

çáiæíèé, à ïðè

ðîçáiæíèé.

Аналогiчно визнача¹мо

f(x) dx def=

lim

f(x)

dx;

a!¡1 Z

¡1

f(x) dx:

f(x) dx def=

f(x) dx +

¡1

Остання рiвнiсть означа¹, що iнтеграл злiва збiга¹ться, якщо збiгаються два iнтеграли справа.

18.2. Властивостi невласних iнтегралiв

Теорема 18.1. Нехай f; g : [a; +1)

! R двi функцi¨ такi, що

0 · f(x) · g(x) для всякого x 2 [a; +1). Òîäi

(à) ÿêùî

g(x) dx çáiæíèé, òî i

f(x) dx çáiæíèé;

(á) ÿêùî

f(x) dx ðîçáiæíèé, òî ðîçáiæíèé i

g(x) dx.

Приклад 4. Встановити, чи

x (1+e )

збiга¹ться iнтеграл

2 x

Îñêiëüêè 0 · x2(1+ex) · x12 , à

çáiãà¹òüñÿ, òî çáiãà¹òüñÿ i íàø

1 dx

iнтеграл.

ÿêà â

b!1¡0

lim

Приклад 5. Встановити, чи								R1 px	133
Приклад 5. Встановити, чи				+				R1 px
Îñêiëüêè 0 < px	= px3 <		збiга¹ться iнтеграл +1 x+13						dx.
Îñêiëüêè 0 < px	= px3 <		px3 , à	R1		px dx ðîçáiãà¹òüñÿ, òî ðîçái-
1		x	x+1		1	1
жний i наш iнтеграл.							R
ться також iнтеграл +a1f(x) dx.							R
						+1
Теорема 18.2. Якщо збiга¹ться iнтеграл a								jf(x)j dx, òî çáiãà¹-
	R

				R
В цьому випадку iнтеграл +a1f(x) dx називають абсолютно збi-
Îñêiëüêè					+			R
æíèì.								+1
Приклад 6. Встановити, чи збiга¹ться iнтеграл									sin x	dx.
Приклад 6. Встановити, чи збiга¹ться iнтеграл								a	x2	dx.
абсолютно збiжний.					R			a
	j sinx2xj	·	1	, а iнтеграл	1	1	dx збiжний, то наш iнтеграл
	j sinx2xj	·	x2	, а iнтеграл	1	x2	dx збiжний, то наш iнтеграл
					a

18.3. Iнтеграли вiд необмежених функцiй

Нехай f : [a; b) ! R неперервна функцiя, а в точцi b вона або невизначена, або ма¹ розрив.

Означення 18.2. Якщо iсну¹ границя

Zc Zb

lim	f(x) dx def= f(x) dx;

c!b¡0

то вона назива¹ться невласним iнтегралом функцi¨

Приклад 7.

= lim 2p

lim

=b!1¡0 R0

¡ b!1¡0

¡ ¯0

1¡x

Аналогiчно визнача¹ться iнтеграл вiд функцi¨ точцi a або невизначена, або ма¹ розрив.

f ïî ïðîìiæêó [a; b).

¡2p1 ¡ b ¡ 2¢ = 2. f : (a; b] ! R

134

18.4. Iнтеграли, залежнi вiд параметра

Розглянемо iнтеграл

I(®) = f(x; ®) dx;

який залежить вiд параметра ®. Нехай неперервна функцiя двох змiнних f визначена в областi f(x; y) 2 R2 j a · x · b; c · ® · dg i ма¹ неперервну

ïîõiäíó ïî ®. Òîäi

I0(®) = f®0 (x; ®) dx: (18.4.1)

Ця формула назива¹ться фомулою Лейбнiца. Нехай межi iнтегрування теж залежать вiд ®:

Zb(®)

I(®) =

f(x; ®) dx:

a(®)

Òîäi

	b(®)
I0(®) =	Z	f®0	(x; ®) dx + f (b(®); ®)	db	¡ f (a(®); ®)	da	:	(18.4.2)

				d®		d®

a(®)

Приклад 8. Гама-функцiя

Розглянемо iнтеграл, який залежить вiд параметра ®

Z+1

x®¡1e¡x dx:

(18.4.3)

Покажемо, що цей невласний iнтеграл iсну¹ при ® > 0. Зобразимо його у виглядi суми

+1	1	+1
Z	x®¡1e¡x dx = Z	x®¡1e¡x dx + Z	x®¡1e¡x dx:
0	0	1

135

Перший iнтеграл збiга¹ться, так як

0 < Z	x®¡1e¡x dx < Z	x®¡1 dx =	®:
1	1		1
0	0

Другий iнтеграл теж збiжний. Нехай n 2 Z òàêå, ùî n > ® ¡ 1. Òîäi

+1		+1
0 < Z	x®¡1e¡x dx <	Z	xne¡x dx < +1:
1		1

Щоб обчислити останнiй iнтеграл, потрiбно взяти його n раз частинами

i врахувати, що lim xxn	= 0. Тобто ми означили деяку функцiю
x!1 e
	+1x®¡1
	¡(®) = Z		dx:	(18.4.4)
	¡(®) = Z	ex	dx:	(18.4.4)
	0

яку називають гама-функцi¹ю i часто використовують в застосуваннях
математики.	+1
	+1		¡		¢¯
	0		¡		¢¯
	Z	1		x	b
			dx = b!+1 ¡e¡		¯	= 1:
		ex	dx = b!+1 ¡e¡		0	= 1:
	¡(1) =		lim

Нехай цiле число ® > 1.

+1x®¡1					"	u = x®¡1
¡(®) = Z			dx =
	ex					dv = e¡x dx
0			1	+ (® ¡ 1) Z			ex
¡x®¡1e¡x 0
	¯	+				+1x®¡2
						0
	¯

Ми отримали рекурентну формулу

du = (® ¡ 1)x®¡2 dx v = ¡e¡x

dx = (® ¡ 1)¡(® ¡ 1):

¡(®) = (® ¡ 1)¡(® ¡ 1):

¡(1) = 1, ¡(2) = 1, ¡(3) = 2, ¡(4) = 3 ¢ 2, : : : , ¡(n) = (n ¡ 1)!.

(18.4.5)

136

Таблиця iнтегралiв

xa dx =

xa+1

+ C;

a 6= ¡1;

a+1

dxx = ln x + C;

sin x dx j=j¡ cos x + C;

cos x dx = sin x + C;

= tg x + C;

cos2 x

= ¡ ctg x + C;

sin2 x

tg x dx =

cos x + C;

ctg x dx =¡ln sinj x +j C;

ex dx = ex + jC;

10.

ax dx =

+ C;

a > 0;

a = 1;

11.

ln a

= arctg x + C;

1+x2

12.

= a arctg a

+ C;

a = 0;

+x2

13.

= arcsin x + C;

p1¡x

14.

= arcsin a

+ C;

jaj > jxj;

a2¡x2

15.

= ln(x + px2 + a2) + C;

a 6= 0;

x2+a2

16.

= ln x + px2

¡ a2j + C;

jxj > jaj > 0;

17.

a ¡x

lnj

¯a¡x

dx¡

a+x

+ C; a = 0;

2 2

18.

sh x dx = ch x + C;

19.

ch x dx = sh x + C;

20.

= th x + C;

ch2 x

21.

= ¡ cth x + C;

sh2 x

¡ a2

ln x + px2

a2 + C.

23.

px2

¡ a2 dx = x px2

22.

pa2

x2 dx =

2 pa2

+ 2

arcsin a + C;

y = y(t); t 2 [®; ¯]

137

Формули для застосування iнтегралiв

1. Нехай область G обмежена графiком функцi¨ y = f(x), x 2 [a; b], причому f(x) ¸ 0, та прямими y = 0, x = a, x = b. Тодi площа цi¹¨ областi

обчислю¹ться за формулою:
	SG = Zab f(x) dx:	(18.4.6)
	2. якщо крива, що обмежу¹ область G, задана параметрично
	x = x(t); y = y(t); t 2 [®; ¯]; x(®) = a; x(¯) = b;
òî	SG = Z®¯ y(t)x0(t) dt:	(18.4.7)
	3. Нехай область G обмежена графiками двох функцiй y = f(x) òà

y = g(x), x 2 [a; b], причому f(x) ¸ g(x), та прямими x = a i x = b. Тодi площа цi¹¨ областi обчислю¹ться за формулою:

SG = Zab (f(x) ¡ g(x)) dx:	(18.4.8)
4. Нехай крива r = f('), ® · ' · ¯, задана у полярнiй системi

координат. Площа сектора D, обмеженого променями ' = ® òà ' = ¯ i кривою r = f(') обчислю¹ться за формулою

	1	¯
SD =		Z®	(f('))2 d':	(18.4.9)
	2

Обчислення довжини дуги криво¨

1. Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна разом зi сво¹ю першою

похiдною. Тодi крива l = f(x; y) j y = f(x); x			2 [a; b]g ма¹ скiнченну
довжину, яка обчислю¹ться за формулою
s = Z b q		dx:
	1 + (f0(x))2		(18.4.10)
a
2. Нехай

x = x(t);

138

параметрично задана крива. Припустимо, що x(t), y(t) неперервнi функцi¨, якi мають неперервнi першi похiднi. Тодi довжина криво¨ обчи-

слю¹ться за формулою	Z®¯ q(x0(t))2 + (y0(t))2dt:
s =	Z®¯ q(x0(t))2 + (y0(t))2dt:	(18.4.11)

3. Нехай в полярнiй системi координат крива задана рiвнянням r = r('), ' 2 ['1; '2]. Тодi довжина дуги криво¨ обчислю¹ться за формулою:

'		p
s = Z'1	2	r2(') + (r0('))2d':	(18.4.12)

Обчислення об'¹мiв тiл за площами поперечних перерiзiв

Нехай ма¹мо тiло Позначимо через Q(x0) [a; b]. Òîäi

T , проекцi¹ю якого на вiсь Ox ¹ âiäðiçîê [a; b]. площу перерiзу тiла T площиною x = x0, x0 2

Z b

V = Q(x) dx:	(18.4.13)
a

Об'¹м тiла обертання

Нехай тiло T утворене обертанням графiка неперервно¨ невiд'¹мно¨ функцi¨ f : [a; b] ! R навколо осi Ox. Об'¹м тiла обчислю¹ться за форму-

ëîþ:					V = ¼ Zab f2(x)dx:				(18.4.14)
	Площа боково¨ поверхнi обчислю¹ться за формулою:
				P = 2¼ Zab f(x)q				dx:
							1 + (f0(x))2		(18.4.15)
	При обчисленнi довжин кривих часто використовуються такi iнте-
грали:
	R	p		dx = 21 (xp		+ a2 arcsin xa ) + C;
			a2 ¡ x2		a2 ¡ x2

R p p p

x2 § a2dx = 12 (x x2 § a2 § a2 ln jx + x2 § a2j) + C;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025129.02 Кб0Маркетингова полытика комуныкацый.doc
#
01.03.2025466.94 Кб0Маркетингове моделювання.doc
#
01.05.2025391.17 Кб0Маряна.doc
#
01.05.202580.16 Кб0маслак о.о.docx
#
01.05.2025299.09 Кб0маслакБорак.docx
#
12.02.20161.31 Mб25Мат. аналіз (лекції).pdf
#
12.02.2016317.81 Кб13Мат. аналіз (практика).pdf
#
12.02.2016588.22 Кб78Мат. лінгвістика 1.pdf
#
12.02.2016385.63 Кб39Мат. лінгвістика 2.pdf
#
12.02.2016401.53 Кб39Мат. лінгвістика 3.pdf
#
12.02.2016392.43 Кб30Мат. лінгвістика 4.pdf