Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат. аналіз (лекції)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

111

ÐÎÇÄIË 15

IНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСIВ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ТА

IРРАЦIОНАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ

1.Iнтегрування деяких класiв тригонометричних функцiй

2.Iнтегрування iррацiональних функцiй

3.Тригонометричнi пiдстановки

4.Пiдстановки Ейлера

5.Iнтеграли, якi не беруться в квадратурах

15.1. Iнтегрування деяких класiв тригонометричних функцiй

15.1.1. R(sin x; cos x)dx, äå R рацiональна функцiя двох змiн-

íèõ.

Такий iнтеграл завжди приводиться до iнтеграла вiд рацiонально¨ функцi¨ за допомогою унiверсально¨ пiдстановки:

t = tg

(15.1.1)

Справдi,

2 sin x cos x

2 tg x

sin x =

;

sin2 x

+ cos2 x

1 + tg2 x

1 + t2

cos x =

cos2 x2 ¡ sin2 x2

1 ¡ tg2 x2

1 ¡ t2

;

sin2 x2 + cos2 x2

1 + t2

1 + tg2 x2

= arctg t;

x = 2 arctg t;

dx =

2 dt

1 + t2

Тобто

1 ¡ t2

2 dt

sin x =

;

cos x =

; dx =

(15.1.2)

1 + t2

Òîäi

1 + t2

+ t2

1 + t2

112

R(sin x; cos x)dx =

2 dt

;

¡ t2

2 dt

(t)dt,

äå R1(t) рацiональна функцiя вiд t.

Приклади.

2 dt

1+t2

= ln tg

+ C:

sin x

1+t2

t¯

cos x

1+¡t2

2 dt

1¯

+ t

1 + tg x

1+t

= ln

+ C = ln

+ C:

1 t2

sin

З iншого боку, Z cos x

¼2

= ¡ ln tg

´¯

+ C. Ìî-

жна показати, що цi iнтеграли вiдрiзняються на константу.¯

Унiверсальна пiдстановка часто приводить до громiздких виразiв. Iнколи роботуZ можна спростити, застосувавши iншi пiдстановки.

(a)

R(sin x) cos x dx. Поклада¹мо t = sin x, dt = cos x dx i приходи-

до iнтеграла

R(t) dt.

ìî

Приклад 3.R

1 + t

1 + sin x

cos x dx = Z

dt = ln jtj + t + C = ln j sin xj + sin x + C:

sin x

(b) Z

R(cos x) sin x dx. Поклада¹мо t = cos x, dt = sin x dx i приходи-

мо до iнтеграла ¡

R(t) dt.

Приклад 4.

cos3 x + 3

t3 + 3

tg x

cos3 x + 3

dx = Z

sin x dx = ¡ Z

dt =

cos x

cos3 x

= ¡

¡ 3 ln jtj + C = ¡

¡ 3 ln j cos xj + C.

(c)

R(tg x) dx. Поклада¹мо t = tg x, dx =

i приходимо до

1+t2

iнтеграла

R(t)

R1(t) dt.

1+t2

Приклад 5.

tg4 x + tg2 x dx = Z

4 + t2

tg3 x

+ C:

t1 + t2 dt = Z t2 dt =

(d) Z

113

R(sin x; cos x) dx, причому sin x òà cos x входять у вираз тiльки

у парних степенях. Поклада¹мо t = tg x (÷è t = ctg x). Òîäi:

dx =

sin2 x =

cos2 x =

;

1 + t2

Приклад 6.

Z µ

1 + t

(1+t2)2

sin

1 + cos2 x

2 + t2

1+t2

dx =

1 +

dt =

2 ctg3 x

= ¡

+ C = ¡

¡ ctg x + C:

3t3

(e) Z

sinm x cosn x dx,

m; n 2 Z.

I. Одне з чисел m ÷è n непарне. Наприклад, нехай n = 2p+1. Òîäi

ми ма¹мо випадок (b) чи (a).

sinm x cosn x dx = Z

sinm x cos2p x cos x dx = Z

sinm x

1 ¡ sin2 x p d sin x:

Приклад 7.

cos3 x

dx =

1 ¡ sin2 x

cos xdx =

1 ¡ t2

dt =

+ C:

¡3 sin3 x

¡ sin x

sin4 x

II. Числа m i n парнi i невiд'¹мнi. Тодi застосову¹мо формули пониження степеня:

cos2 x =	1	(1 + cos 2x);	sin2 x =	1		(1 ¡ cos 2x):
	2				2

		Приклад 8.				1		2
								2
		Z sin4 x dx = Z µ					(1 ¡ cos 2x)¶ dx =

						2
1	Z	µ1 ¡ 2 cos 2x +	1		(1 + cos 4x)¶			=	x	¡	1	sin 2x +	x	+	1		sin 4x + C:

4				2					4		4		8			32

III. Числа m i n парнi i принаймнi одне з них вiд'¹мне. Робимо пiдстановку t = tg x ÷è t = ctg x.

Приклад 9.

sin2 x

dx =

sin2 x(sin2 x + cos2 x)

dx =

cos6 x

cos3

+ C:

(f) Z

cos mx cos nx dx,

sin mx cos nx dx,

сову¹мо формули:

114

Z ¡tg4 x + tg2 x¢d(tg x) =

sin mx sin nx dx. Засто-

cos mx cos nx =

sin mx cos nx =

sin mx sin nx =

12 (cos(m + n)x + cos(m ¡ n)x) ;

12 (sin(m + n)x + sin(m ¡ n)x) ; 12 (cos(m ¡ n)x ¡ cos(m + n)x) :

15.2. Iнтегрування iррацiональних функцiй

(a) I = Z

dx,

; n2; : : : ; ns 2 Z,

x; xm1

; xm2

; : : : ; x

;

, äå

рацiональна´функцiя сво¨х аргументiв.

m1; m2; : : : ; ms 2 N

Нехай k спiльний знаменник дробiв

;

; : : : ;

ms , тобто

k = m1 ¢ p1 = m2 ¢ p2 = ¢ ¢ ¢ = ms ¢ ps; p1; p2; : : : ; ps 2 N:

Робимо пiдстановку x = tk, dx = ktk¡1dt:

R1(t)dt;

I = Z

tk; tp1n1 ; tp2n2 ; : : : ; tpsns ktk¡1dt = Z

äå R1(t) нова рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

Ïðèêëàä 10.

px + 5

x = t4;

t2 + 5

dx = " dx = 4t3 dt

# = Z

4t3 dt =

t3 + 20t + C =

+ 20x4

+ C:

ax + b

(b) I = Z

R Ãx; µ

; µ

; : : : ; µ

!dx,

cx + d

ax + b

äå

нескоротний дрiб, тобто

, àáî ad 6= bc.

cx + d

115

Нехай k

спiльний знаменник дробiв

;

; : : : ;

ms , тобто

k = m1 ¢ p1 = m2 ¢ p2 = ¢ ¢ ¢ = ms ¢ ps:

Робимо пiдстановку tk =

ax + b

ax + b = cxtk

+ dtk,

x =

dtk ¡ b

cx + d. Òîäi

ctk ,

(dt

dx =

kdt

(a ¡ ct ) + ckt

¡ b)

(ad ¡ bc)

dt. Пiдставляючи в

(ctk ¡ a)2

iнтеграл I, отрима¹мо

I =

dtk ¡ b

; tn1p1 ; ; tp2n2 ; : : : ; tpsns

ktk¡1(ad ¡ bc)

dt =

(t)dt;

µa ¡ ctk

(ctk ¡ a)2

äå R1(t) нова рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

Ïðèêëàä 11.

x + 4 = t2; x = t2

x + 4

dx = "

# =

t ¢

dx = 2t dt

= 2

1 + 4

dt = 2p

+ 2 ln

x + 4

¡ 2

+ C:

x + 4

Z µ

	I =		Z	xm (a + bxn)p dx, äå m; n; p рацiональнi числа, m =			m1
	n1		Z		p1		m2 ,
n =		p =
n =	n2	p =			p2	. Даний iнтеграл береться тiльки в трьох випадках.

1. p цiле. Це пункт (а): поклада¹мо x = tk, äå k спiльний знаменник

чисел m i n, k = rm2 = sn2. Òîäi dx = ktk¡1 dt i

Z Z

I = trm1 (a + btsn1 )p ktk¡1 dt = R(t) dt;

äå R(t) рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

2. m+1

a + bx

, äå k знаменник числа p

n цiле. Робимо замiну

= t

k1 tk

a n1 ¡1 tk 1 dt,

(k = p2). Òîäi xn = tk¡a

x =

tk¡a

n , dx =

1 b¡n1

a n1

¡1 ktk¡1 dt =

¡ ¢

nb n

nbn

I =

¡ a

tp1

a n

¡1 tk¡1 dt =

m+1

tp1+k¡1 (a + bx)

¡1 dt =

R(t) dt;

nbmn

mn sin z:

# Z

116

äå R(t) рацiональна функцiя вiд змiнно¨ t.

3. m+1 + p цiле. Цей випадок зводиться до випадку (2):

Z xm (a + bxn)p dx = Z xm+np ¡b + ax¡n¢p dx:

Позначимо M = m + np, N = ¡n, P = p i ìà¹ìî

¡	mn+1 + p	¢		p	¡p = k		¢.
¡	mn+1 + p		цiле число. Тому робимо замiну ax¡n
знаменник числа						p1
знаменник числа

M+1

+ b

= m+np+1 =

¡n

= tk, äå k

15.3. Тригонометричнi пiдстановки

Z	³	p		´
Z	R	x;	ax2 + bx + c dx:

Видiливши повний квадрат i зробивши вiдповiдну замiну, прийдемо

до таких iнтегралiв.

Iнтеграл

Пiдстановка

tg z;

2 2

R1 ³t;

m t

+ n

´ dt t = m n

2 2

t; pm t

n dt t =

;

m cos z

t; pn

m t

dt t =

Приклади.

= "

x = sin t;

dx = cos t dt

1 x2

¡x

= tg t + C =

+ C:

1 ¡ x2

= "

x = tg t;

# =

dx =

p1 + x

cos

= sin t + C³=

sin(arctg x) + C:

= "

# =

x =

;

cos t

dx =

sin t dt

³px

¡ 1´

cos

= ¡

+ C = ¡

+ C:

sin t

sin(arccos x1 )

cos t dt cos3 t =

cos3 t dt cos2 t =

cos t dt sin2 t =

ex2 ,

117

15.4. Пiдстановки Ейлера

Цi пiдстановки стосуються iнтегралiв вигляду

R ³x; p

´ dx:

ax2

+ bx + c

Рекомендацi¨ щодо ¨х iнтегрування подамо у

виглядi таблицi:

Пiдстановка

a > 0

= §p

ax2 + bx + c

ax + t

II:

c > 0

= xt § p

ax2 + bx + c

III:

= (x ¡ ®)t

® i ¯

ax2 + bx + c

коренi рiвняння

ax2 + bx + c = 0

Доведемо формули (15) i (16):

¡x + t = p

; x2 ¡ 2xt + t2 = x2 § a2;

x2 § a2

px2

" x = t2

¨a2 ; dx = t2§2a2 dt

2t2

t ¡ t2¨2ta2

j j

1 t2

§ a2

dt =

= ln

+ C = ln x + x2

+ C.

Якщо ма¹мо знак + , то модуль можна замiнити на круглi дужки, адже вираз пiд логарифмом завжди додатний, якщо a =6 0.

15.5. Iнтеграли, якi не беруться в квадратурах

Iснують iнтеграли, якi не можна зобразити у виглядi скiнченно¨ ком-

бiнацi¨ елементарних функцiй. Наприклад:

sin x

cos x

, Z

dx,

dx, Z

, Z

1 ¡ k2 sin2 x dx.

ex2

ln x

Деякi з них, якi важливi для застосувань, як, наприклад, Функцiя

Z p

E(x) = 1 ¡ k2 sin2 x dx, E(0) = 0, k < 1 елiптичний iнтеграл.

118

ÐÎÇÄIË 16

ВИЗНАЧЕНИЙ IНТЕГРАЛ

1.Означення визначеного iнтеграла

2.Геометричний змiст визначеного iнтеграла

3.Основнi властивостi визначеного iнтеграла

4.Властивостi iнтеграла як функцi¨ верхньо¨ межi

5.Формула Ньютона-Лейбнiца

6.Замiна змiнно¨ та iнтегрування частинами у визначених iнтегра-

ëàõ

16.1. Означення визначеного iнтеграла

mi+1

xi¡1 xi xi+1

Нехай f : [a; b] ! R обмежена функцiя. Розiб'¹мо [a; b] точками на n частин:

a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xi¡1 < xi < xn = b:

Сукупнiсть точок fx0; x1; : : : ; xng назива¹ться розбиттям T сегмента [a; b]. Дiаметром розбиття T назива¹ться число

diam T = maxfx1 ¡ x0; x2 ¡ x1; : : : ; xn ¡ xn¡1g:

119

Позначимо

mi = minff(x) j x 2 [xi¡1; xi]g;

Mi = maxff(x) j x 2 [xi¡1; xi]g;

i = 1; 2; : : : ; n. Виберемо з кожного сегмента довiльну точку »i 2 [xi¡1; xi]

i утворимо суму	n
	n
	X
	f(»i)(xi ¡ xi¡1) def= ¾(T; »i);
	i=1
яка назива¹ться iнтегральною сумою. Очевидно, що
n	n
=1	mi(xi ¡ xi¡1) · ¾(T; »i) · Mi(xi ¡ xi¡1):
=1	=1
Xi	Xi

Означення 16.1. Якщо iсну¹ границя iнтегральних сум за умови, що diam T ! 0 по всеможливих розбиттях i при всеможливих виборах то-

÷îê »i, то ця границя назива¹ться визначеним iнтегралом функцi¨ f íà ïðîìiæêó [a; b] i познача¹ться Rb f(x) dx. Число a назива¹ться нижньою

межею iнтеграла, число b верхньою межею, [a; b] промiжком iнтегрування. Функцiя f назива¹ться iнтегрованою за Рiманом на промiжку

[a; b].

Через R[a; b] будемо позначати клас функцiй, iнтегровних за Рiманом на [a; b].

16.2. Геометричний змiст визначеного iнтеграла

6 y = f(x)

	G
a	-
a	b

120

Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна i невiд'¹мна. Розглянемо криволiнiйну трапецiю G, утворену графiком цi¹¨ функцi¨ та прямими x = a, x = b òà y = 0. ˆ¨ площа S означа¹ться як граничне значення площ всiх вписаних (чи описаних) в не¨ многокутникiв. Тому

n	n
X	Xi
	mi(xi ¡ xi¡1) · S · Mi(xi ¡ xi¡1):
i=1	=1

Оскiльки границя в означеннi визначеного iнтеграла береться по

всеможливих виборах точок »i (зокрема, може бути, що f(»i) = mi ÷è f(»i) = Mi), òî визначений iнтеграл Rb f(x) dx чисельно рiвний пло-

щi криволiнiйно¨ трапецi¨ G.

16.3. Основнi властивостi визначеного iнтеграла

1.	Нехай функцiя f iнтегрована за Рiманом, а c 2 R äîâiëüíà
константа. Тодi
	Zab cf(x) dx = c Zab f(x) dx:
2.	Нехай f òà g iнтегрованi за Рiманом функцi¨. Тодi
	Zab (f(x) + g(x)) dx = Zab f(x) dx + Zab g(x) dx:
3.	Нехай a < c < b. Òîäi
	Zab f(x) dx = Zac f(x) dx + Zc b f(x) dx:
4.	Нехай f(x) · g(x) äëÿ âñiõ x 2 [a; b]. Òîäi
	Zb f(x) dx · Zb g(x) dx:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025129.02 Кб0Маркетингова полытика комуныкацый.doc
#
01.03.2025466.94 Кб0Маркетингове моделювання.doc
#
01.05.2025391.17 Кб0Маряна.doc
#
01.05.202580.16 Кб0маслак о.о.docx
#
01.05.2025299.09 Кб0маслакБорак.docx
#
12.02.20161.31 Mб25Мат. аналіз (лекції).pdf
#
12.02.2016317.81 Кб13Мат. аналіз (практика).pdf
#
12.02.2016588.22 Кб78Мат. лінгвістика 1.pdf
#
12.02.2016385.63 Кб39Мат. лінгвістика 2.pdf
#
12.02.2016401.53 Кб39Мат. лінгвістика 3.pdf
#
12.02.2016392.43 Кб30Мат. лінгвістика 4.pdf