Мат. аналіз (лекції)

вектор grad f(P ) визначений для всяко¨ точки P 2 A, òî íà A, поряд зi скалярною функцi¹ю f (скалярним полем) визначено векторне поле градi¹нтiв grad f.

~ ~

Приклад 10.1. 1. z = x ¡ y, grad f = i ¡ j;

~~

2.z = xy, grad f = yi + xj.

3.Знайти похiдну за напрямком вектора ~a = (1; ¡2) â òî÷öi P (3; 4)

10.3. Властивостi градi¹нта

1. @f@~e = (grad f;~e) = j grad fj ¢ cos ', äå ' кут мiж вектором ~e òà grad f. Àëå òîäi

@~e ~e

92

тобто похiдна за напрямком вектора ~e рiвна проекцi¨ вектора grad f на напрямок вектора ~e.

2.Похiдна за напрямком вектора ~e найбiльша, якщо напрямки векторiв ~e òà grad f збiгаються.

3.Похiдна за напрямком вектора ~e, який ортогональний до векто-

ðà grad f ðiâíà íóëþ.

4. Градi¹нт напрямлений по нормалi до поверхнi (лiнi¨) рiвня в точцi P в сторону зростання функцi¨ f. Вiн вказу¹ напрям найбiльшого

зростання функцi¨.

93

ÐÎÇÄIË 11

ПОХIДНI ТА ДИФЕРЕНЦIАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ

11.1. Похiднi вищих порядкiв

Нехай функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) задана на A ½ Rm i нехай ча-

ва¹ться частинною похiдною другого порядку по xi ïî xj вiд функцi¨ f i познача¹ться

Означення 11.2. Функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) назива¹ться n раз диференцiйовною в точцi P , якщо всi ¨¨ частиннi похiднi (n ¡ 1)-го порядку ¹ в цiй точцi диференцiйовнi.

Теорема 11.1 (Достатня умова n кратно¨ диференцiйовностi). Для n кратно¨ диференцiйовностi функцi¨ f â òî÷öi P достатньо, щоб всi ¨¨ частиннi похiднi n-го порядку в цiй точцi ¹ неперервними в цiй точцi.

Теорема 11.2. Нехай функцiя f n раз диференцiйовна в точцi P . Òîäi â öié òî÷öi âñi çìiøàíi ïîõiäíi n-го порядку не залежать вiд порядку диференцiювання.

Разом цi теореми дають такий результат.

94

Теорема 11.3. Нехай в точцi P iснують i неперервнi всi частиннi похiднi n-го порядку. Тодi змiшанi похiднi не залежать вiд того, в якому порядку проводиться диференцiювання.

11.2. Диференцiали вищих порядкiв

Диференцiал n-го порядку обчислю¹ться за символiчною формулою:

Зауваження 11.1. Зауважимо, що другий диференцiал не ма¹ iн-

11.3. Формула Тейлора для функцiй багатьох змiнних

Нехай функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) ¹ (n + 1) раз диференцiйовна в деякому околi U точки P (a1; a2; : : : ; am) i M(x1; x2; : : : ; xm) 2 U довiльна iнша точка з цього околу. Позначимо dx1 = x1 ¡ a1, dx2 = x2 ¡ a2; : : : , dxm = xm ¡ am. Тодi повний прирiст 4u = f(M) ¡ f(P ) функцi¨ f зада¹ться формулою

95

äå Q 2 U деяка точка. Це формула Тейлора з залишком у формi Ла-

гранжа.

Нехай функцiя f (n¡1) раз диференцiйовна в деякому околi U точки P i n ðàç ó ñàìié òî÷öi P . Òîäi

äå ½ = d(M; P ). Це формула Тейлора з залишком у формi Пеано. Наприклад, нехай z = f(x; y) функцiя двох змiнних. Тодi

96

ÐÎÇÄIË 12

ЛОКАЛЬНI ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦIЙ

Нехай f : A ! R; A ½ Rm деяка функцiя, P = P (a1; a2; : : : ; am) внутрiшня точка множини A.

Означення 12.1. Кажемо, що функцiя f ì๠â òî÷öi P локальний максимум, якщо iсну¹ такий окiл U ½ A точки P , що для всiх точок M 2 U викону¹ться:

f(P ) > F (M); àáî ¢f(P ) = f(M) ¡ f(P ) < 0:

Кажемо, що F ì๠â òî÷öi P локальний мiнiмум, якщо в деякому околi U ½ A цi¹¨ точки викону¹ться:

f(P ) < F (M); àáî ¢f(P ) = f(M) ¡ f(P ) > 0:

Точка P назива¹ться точкою локального екстремуму, якщо в цiй точцi функцiя f ма¹ або локальний максимум, або локальний мiнiмум.

Теорема 12.1 (Необхiдна умова локального екстремуму). Нехай функцiя f ма¹ всi частиннi похiднi першого порядку в точцi P . Òîäi

ÿêùî P точка локального екстремуму, то всi вони рiвнi нулю:

Це еквiвалентно тому, що df(P ) = 0 (при умовi, що перший диференцiал iсну¹).

Означення 12.2. Внутрiшнi точки P областi A визначення функцi¨ f, в яких всi частиннi похiднi рiвнi нулю, називаються критичними (стацiонарними чи точками, пiдозрiлими на екстремум)

97

Теорема 12.2. Нехай функцiя f один раз диференцiйовна в околi критично¨ точки P i äâà ðàçè â ñàìié öié òî÷öi. Òîäi:

1. ßêùî d2f(P ) > 0 для всiх значень dx1; dx2; : : : ; dxm, íå ðiâíèõ одночасно нулю ((dx1)2 +(dx2)2 +¢ ¢ ¢+(dxm)2 > 0), òî â òî÷öi P функцiя

fма¹ локальний мiнiмум.

2.ßêùî d2f(P ) < 0 для всiх значень dx1; dx2; : : : ; dxm, íå ðiâíèõ одночасно нулю, то в точцi P функцiя f ма¹ локальний максимум.

3.ßêùî d2f(P ) набува¹ i додатних i вiд'¹мних значень, то екс-

тремуму нема¹.

4. Якщо виконуються нестрогi нерiвностi d2f(P ) · 0 ÷è d2f(P ) ¸ 0, то потрiбно проводити додатковi дослiдження.

Теорема 12.3. Нехай функцiя z = f(x; y) задана на множинi A ½ R2 i P 2 A внутрiшня точка. Нехай f один раз диференцiйовна

1.локальний максимум, якщо 4 > 0 i a11 < 0;

2.локальний мiнiмум, якщо 4 > 0 i a11 > 0;

3.локального екстремуму нема, якщо 4 < 0;

4.потрiбно провести додаткове дослiдження, якщо 4 = 0.

Частина 4

Iнтегрування

99

ÐÎÇÄIË 13

ПЕРВIСНА ТА НЕВИЗНАЧЕНИЙ IНТЕГРАЛ

1.Первiсна та невизначений iнтеграл.

2.Таблиця iнтегралiв.

3.Основнi властивостi невизначеного iнтеграла.

4.Iнтегрування методом замiни змiнно¨ чи способом пiдстановки.

5.Iнтегрування частинами.

6.Деякi класи функцiй, якi iнтегруються частинами.

13.1. Первiсна та невизначений iнтеграл

Нехай функцiя f задана на вiдрiзку [a; b].

Означення 13.1. Функцiя F назива¹ться первiсною вiд функцi¨ f íà [a; b], якщо для всякого x 2 [a; b] ìà¹ìî F 0(x) = f(x).

Теорема 13.1. Якщо F1(x) i F2(x) двi первiснi вiд функцi¨ f íà [a; b], то вони вiдрiзняються на константу C 2 R:

8x 2 [a; b]: F1(x) ¡ F2(x) = C:

Доведення. Позначимо '(x) = F1(x) ¡ F2(x). '0(x) = F10(x) ¡ F20(x) = f(x) ¡

f(x) = 0. ßêùî '0(x) = 0 äëÿ âñiõ x 2 [a; b], òî '(x) = C (наслiдок з теореми Лагран-

æà). ¤

100

Наслiдок 13.1. Нехай F (x) одна з первiсних для функцi¨ f(x). Тодi вираз F (x) + C мiстить всi iншi первiснi, якщо C пробiга¹ множину всiх дiйсних чисел.

Означення 13.2. Нехай F первiсна вiд функцi¨ f íà [a; b]. Вираз

Z

F (x) + C def= f(x) dx

назива¹ться невизначеним iнтегралом вiд функцi¨ f. R знак iнтеграла;

f(x) пiдiнтегральна функцiя; f(x) dx пiдiнтегральний вираз.

Операцiя вiдшукання первiсно¨ назива¹ться iнтегруванням.

13.2. Таблиця iнтегралiв