Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат. аналіз (практика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

317.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Заняття 8

Зведення кратних iнтегралiв до повторних

Обчислити повторнi iнтеграли:

(8.2)

Âiäïîâiäü: 8

+ y) dy:

3 .

R02

Rxp

x dy

Âiäïîâiäü: ¼

(8.3)

R03

6 .

x2+y2

(8.4)

dy R2

Âiäïîâiäü:

21 ln 1114 .

(x+2y)2

Для даних повторних iнтегралiв записати рiвняння кривих, що обмежують об-

ласть iнтегрування, i побудувати цю область:

2¡x2

(8.7)

x+3

f(x; y) dy:

5. (8.8)

f(x; y) dy:

¡R

(8.9)

f(x; y) dy:

2¡y

у виглядi

Для вказаних областей записати подвiйний iнтеграл G

f(x; y) dx dy

повторних iнтегралiв, взятих в рiзних порядках:

7.(8.11) G прямокутник з вершинами в точках A(1; 2), B(5; 2), C(5; 4), D(1; 4).

8.(8.12) G паралелограм, обмежений прямими y = x, y = x ¡ 3, y = 2, y = 4.

9.(8.13) G область, обмежена кривими x2 + y2 = 2a2, x2 = ay (a > 0, y > 0).

10.(8.14) G область, обмежена кривими y2 = ax, x2 + y2 = 2ax, y = 0 (a > 0,

y > 0).

Змiнити порядок

iнтегрування:

¡R

R¡

¡R

¡3¡

11.

(8.17)

¡3+ 12+4x¡x

f(x; y) dy: 12. (8.18)

1¡y

dyy2 1

f(x; y) dx:

12+4x

Обчислити подвiйнi iнтеграли, якщо область iнтегрування обмежена заданими

кривими:

Âiäïîâiäü:RR4 a4.

13.

(8.26)

(x2 + y2) dx dy,

D : x = 0; y = x; x + y = 2a:

B(5; 1), C(10; 2)RR, Dp(2; 2).

14.

(8.27)

xy ¡ y2 dx dy,

D трапецiя з вершинами в точках A(1; 1),

Âiäïîâiäü: 1129 :

Заняття 9

Обчислення кратних iнтегралiв

Обчислити подвiйнi iнтеграли, якщо область iнтегрування обмежена заданими кривими:

1.(8.28) RRD xy dx dy, D : x + y = 2; x2 + y2 = 2y; x > 0:

Âiäïîâiäü: 14 :

2. (8.30) D

(x + 2y) dx dy, D : y = x2; y = p

Âiäïîâiäü:

Обчислити повторний iнтеграл:

+y2

(8.112)

1 R

z dz

Âiäïîâiäü: 6 :

Обчислити потрiйнi iнтеграли, якщо область iнтегрування обмежена заданими поверхнями:

4.(8.115) RRRD (x + y + z)dx dy dz, D : x + y + z = a; x = 0; y = 0; z = 0;

Âiäïîâiäü: a84 :

5.(8.116) RRRD xyz dx dy dz, D : y = x2; x = y2; z = xy; z = 0;

Âiäïîâiäü: 961 :

6. (8.117)	RRR
6. (8.117)	(x2 + y2) dx dy dz, D : z = y2 ¡ x2; z = 0; y = 1;
	D

Âiäïîâiäü: 154 :

7.(8.1) RRRD yz dx dy dz, D : z = x2 + 8y2; z = 2 ¡ x2 ¡ 8y2; y ¸ 0:

Âiäïîâiäü: 151 :

Заняття 10

Замiна змiнних в подвiйних iнтегралах

Âiäïîâiäü: 4

; зробити замiну

Обчислити iнтеграл

dx dy, G : y = x2; y =

; y = 1

; y = 2

x .

9 (2

2 ¡ 1) ln 2

u = xy; v =

, òîäi J(u; v) = ¡

Âiäïîâiäü: ¼

Обчислити iнтеграл

(x + y) dx dy,

G : x2 + y2 = x + y.

2 , спочатку перевести центр кола в початок координат.

Âiäïîâiäü: 128 ¼.

RR p

(8.47) Обчислити iнтеграл

G : x2 + y2 = 9; x2 + y2 = 25.

RR p

a2 в першiй чвертi.

(8.48) Обчислити iнтеграл

a2 ¡ x2 ¡ y2 dx dy,

G частина круга x2 +y2 ·

Âiäïîâiäü: ¼a3

6 .

(8.49) Обчислити iнтеграл

(x2 +y2) dx dy, G : x2 +y2 = ax; x2 +y2 = 2ax; y >

Âiäïîâiäü: 45 ¼a4.

0(a > 0).

(8.50) Обчислити iнтеграл G

dx dy,

G : x2 = ay; x2 + y2

= 2a2; y = 0; x >

Âiäïîâiäü: a122 (3¼ ¡ 2).

Заняття 11

Замiна змiнних в потрiйних iнтегралах

Обчислити потрiйнi iнтеграли, перейшовши до цилiндрично¨ системи координат:

RRR

64 b.

x2y dx dy dz,

D : x2 + y2 = 4; y ¸ 0; 0 · z · b:

Âiäïîâiäü:

(8.119)

RRR ¼a

D : x2 + y2 = z2; z = a:

z dx dy dz,

Âiäïîâiäü:

4 .

4¡x2¡y2

3¡x2

(8.120)

2+y2

Âiäïîâiäü: 19

¼.

4. (8.121) 0

Âiäïîâiäü:

5. (8.122) ¡Ra

10 .

¡x2

dx¡paR2

¡x2

Âiäïîâiäü:

¼ah.

x2¡y2	px2 + y2 dz
a
dy R0

dy dz

ah2 (x2+y2)

Обчислити потрiйнi iнтеграли, перейшовши до сферично¨ системи координат:

6. (8.124) RRRD px2 + y2 + z2 dx dy dz, äå òiëî D ¹ внутрiшнiстю кульового сектора з центром в початку координат, з радiусом a i кутом при вершинi 2®; 0 < ® < ¼,

якщо за вiсь симетрi¨ прийняти вiсь Oz. Âiäïîâiäü: ¼a4 sin2 ®2 .

(8.125)

RRR

xyz2 dx dy dz, D : x2 + y2 + z2 = 1; x ¸ 0; y ¸ 0; z ¸ 0:

Âiäïîâiäü:

RRR

105 .

(8.126)

dx dy dz

x2+y2+z2

D : a

· x

+ y

+ z

· 4a :

Âiäïîâiäü: 6¼a

¡x2

pR2¡x2¡y2

(8.127)

xR2+y2

Âiäïîâiäü: ¼R123 (2 ¡ p2).

Заняття 12

Застосування подвiйних i потрiйних iнтегралiв

1.(8.60) Знайти площу фiгури, обмежено¨ кривими: xy = 4; x + y = 5: Âiäïîâiäü: 152 ¡ 8 ln 2:

2.Знайти площу фiгури, обмежено¨ кривими: r = a(1 + cos '); r = a cos ': Âiäïîâiäü: 54 ¼a2:

3.(8.71) Знайти площу поверхнi конуса x2 + z2 = y2, яка вирiза¹ться цилiндром

y2 = 2px (p > 0):

Âiäïîâiäü: 2p2¼p2:

4.(8.94) Знайти центр мас однорiдно¨ фiгури, обмежено¨ кривими y2 = ax; y = x: Âiäïîâiäü: (25 a; a2 ):

5.(8.103) Знайти моменти iнерцi¨ трикутника, обмеженого прямими x + y = a;

x = a; y = a вiдносно осей Ox òà Oy i вiдносно початку координат, якщо його

густина пропорцiйна ординатi точки.

Âiäïîâiäü: Ix = a55 k; Iy = 203 a5k; I0 = 207 a5k; äå k коефiцi¹нт пропорцiйностi.

6. (8.130) Знайти об'¹м тiла, обмеженого поверхнями z = x2 + y2; z = 2(x2 + y2);

y = x; y = x2:

Âiäïîâiäü: 353 :

7. Знайти об'¹м тiла D, переходячи до цилiндричних координат, D : x2 + y2 = Rx;

x2 + y2 + z2 = R2

Âiäïîâiäü: 43 R3(¼2 ¡ 23 ):

8.Знайти масу одиничного куба 0 · x · 1; 0 · y · 1; 0 · z · 1; якщо густина в точцi M(x; y; z) зада¹ться формулою ½(x; y; z) = x + y + z:

Âiäïîâiäü: 32 :

9.Знайти центр мас верхньо¨ половини D êóëi x2 + y2 + z2 · R2 ç ïîñòiéíîþ густиною ½.

Âiäïîâiäü: C(0; 0; 38 R):

10.Знайти момент iнерцi¨ цилiндра D : x2 + y2 = R2; z = ¡h; z = h одинично¨ густини вiдносно осi Ox.

Âiäïîâiäü: ¼hR2(R22 + 23 h2):?

Заняття 13

Обчислення криволiнiйних iнтегралiв

Обчислити криволiнiйнi iнтеграли I роду.

(10.49)

px2+y2+4 , äå C вiдрiзок прямо¨, який з'¹дну¹ точки O(0; 0) òà A(1; 2).

5+3

Âiäïîâiäü: ln

2 .

(10.50)

C xy ds, äå C контур квадрата jxj + jyj = a, a > 0.

Âiäïîâiäü: .

(10.52)

R p

x2 + y2 ds, äå C дуга розгортки кола x = a(cos t + t sin t), y =

a(sin t¡t cos t) (0 · t · 2¼). Розгортка кола (евольвента) траекторiя фiксовано¨

точки на колi, яке котиться по прямiй без ковзання. Можна отримати, якщо змотувати нитку з цилiндрично¨ поверхнi. Кiнець опису¹ евольвенту.

Âiäïîâiäü:

[(1 + 4¼2)3=2 ¡ 1].

òà

p Rp

4. (10.53) C

y ds

x+3z

, äå

C äóãà ëiíi¨ x = t, y = p

, z =

3 , яка з'¹дну¹ точки

O(0; 0; 0)

A( 2; 2; 2 2=3)

Âiäïîâiäü:

5. (10.55) Знайти масу всi¹¨ астро¨ди x = a cos3 t, y = a sin3 t, якщо ¨¨ густина ¹(P ) â êîæíié òî÷öi P виража¹ться формулою ¹(P ) = kjxyj, äå k > 0 коефiцi¹нт пропорцiйностi.

Âiäïîâiäü: 649 k¼a3

6.(10.56) Знайти масу всi¹¨ кардiо¨ди r = a(1 + cos '), якщо ¨¨ густина ¹(P ) â êîæíié òî÷öi P виража¹ться формулою ¹(P ) = kpr, äå k коефiцi¹нт пропор-

цiйностi.

Âiäïîâiäü: 2ak¼p2a.

Обчислити криволiнiйнi iнтеграли II роду.
7. (10.71) Обчислити роботу силового поля ¹		¹		¹ при перемiщеннi матерi-
F = yi ¡ xj
ально¨ точки вздовж верхньо¨ половини елiпса	x2	+	y2	= 1 з точки A(a; 0) в точку
ально¨ точки вздовж верхньо¨ половини елiпса	2	+	2	= 1 з точки A(a; 0) в точку
	a		b

B(¡a; 0).

Âiäïîâiäü: ¡¼ab.

8.(10.72) Обчислити iнтеграл `OBR (¹a; ds¹), ÿêùî a¹ = таких шляхах:

а) вiдрiзок прямо¨ OB; б) дуга параболи y = x2; в) дуга параболи x = y2;

г) ламана OAB, äå A(1; 0). Âiäïîâiäü: a) 2=3; á) 0; 7; â) 0; 7; ã) 1.

¹¹

9.(10.73) Обчислити циркуляцiю вектора a = yi ¡ xj

y0)2 = R2 у вiд'¹мному напрямку.

Âiäïîâiäü: 2¼R2.

					37
2¹	2¹,		,		ïî
y i + x j		O(0; 0)		B(1; 1)

вздовж кола (x ¡ x0)2 + (y ¡

Заняття 14

Обчислення криволiнiйних iнтегралiв II роду вiд функцiй трьох змiнних. Обчислення площ областей. Формула Грiна. Криволiнiйнi iнтеграли вiд повних диференцiалiв.

Обчислити криволiнiйнi iнтеграли II роду вiд функцiй трьох змiнних.

1.(3818) LR x dx + y dy + (z + y ¡ 1) dz, äå L вiдрiзок прямо¨ вiд точки (1; 1; 1) до точки (2; 3; 4).

Âiäïîâiäü: 13.

2. (10.74)		(F; ds), ÿêùî F = zi + xj + yk						,	¸	2	3	k, äå t 2 [0; 1].
2. (10.74)	¸	(F; ds), ÿêùî F = zi + xj + yk							OA : r = ti + t		j + t	k, äå t 2 [0; 1].
	OA
Âiäïîâiäü:			91
	R		91
			60 .
3. (3819)
3. (3819)	yz dx + z				p	R2 ¡ y2 dy + xy dz, äå L дуга гвинтово¨ лiнi¨ x = R cos t,
	L	,					.
	R	,	z =	at			.
y = R sin t			z =	2¼ , t 2 [0; 1]

Âiäïîâiäü: 0.

4.За допомогою криволiнiйного iнтеграла знайти площу елiпса xa22 + yb22 = 1. Âiäïîâiäü: ¼ab.

5.Знайти площу астро¨ди: x = a cos3 t, y = a sin3 t, t 2 [0; 2¼].

Âiäïîâiäü: 3¼a2

	8 .
x2 + y2	= R2 безпосередньо та за формулоюRÃðiíà.
6. (3824) Обчислити криволiнiйний iнтеграл		(1 ¡ x2)y dx + x(1 + y2) dy, äå L :
		L

Âiäïîâiäü: R4¼

7.Обчислити криволiнiйний iнтеграл LR (x + y) dx ¡ (x ¡ y) dy, äå L : x2 + y2 = R2, використовуючи формулу Грiна.

Âiäïîâiäü: ¡2¼R2.

Обчислити криволiнiйнi iнтеграли, перевiривши, що вони не залежать вiд шляху iнтегрування:

(2R;3)

8. (3838) (¡1;2) y dx + x dy. Âiäïîâiäü: 8

9. (3840) (5R;12) x dx+y dy

x2+y2

(3;4)

Âiäïîâiäü: ln 135 .

Знайти криволiнiйнi iнтеграли вiд повних диференцiалiв:

(2R;1;3)

10. (3842) (1;¡1;2) x dx ¡ y2 dy + z dz.

Âiäïîâiäü: 10

11. (3844) (5R;3;1) zx dy+xy dz¡yz dx

(x¡yz)2 .

(7;2;3)

Âiäïîâiäü: ¡92

12.(3846) Знайти функцiю за повним диференцвалом du = 4(x2 ¡ y2)(x dx ¡ y dy). Âiäïîâiäü: (x2 ¡ y2)2.

Заняття 15

Обчислити поверхневi iнтеграли I роду.

1. RRG x2yz d¾, äå G частина площини x + y + z = 1 в першому октантi. Вiдповiдь: p3

360 .

2. G (x + 2y + z) d¾, äå G частина площини x2 + y + z = 1 в першому октантi.

Âiäïîâiäü: 56.

yz d¾, äå G частина площини x4 + y2 + z2 = 1 в першому октантi.

Âiäïîâiäü: 2.

x(y + z) d¾, äå G частина площини x4 + y3 + z = 1 в першому октантi.

Âiäïîâiäü: 52/3.

y d¾, äå G частина сфери x2 + y2 + z2 = R2 в першому октантi.

Âiäïîâiäü:

¼R

4 (проектувати на площину xOz).

y d¾, äå G верхня половина сфери x2 + y2 + z2 = R2 .

Âiäïîâiäü: 0.

d¾

, äå G öèëiíäð x

, z 2 [0; H].

+ y

= R

x2+y2+z2

Âiäïîâiäü: 2¼ arctg R .

z2 d¾, äå G бiчна поверхня конуса z2 = x2 + y2, 0 ¸ z ¸ R.

=2.

Âiäïîâiäü: p2¼R

Обчислити поверхневi iнтеграли II роду.

9.(3887) RRG x dy dz + y dx dz + z dx dy, äå G додатня сторона куба, утвореного площинами x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

Âiäïîâiäü: 3.

10.(10.83) RR y dx dy, äå G верхня частина плщини x + y + z = a в першому октантi.G

Âiäïîâiäü: a3

	RR	6 .
11. (10.84)	RR	4¼a
		dx dy		G зовнiшня сторона сфери x	2	+ y	2	+ z	2	= a	2.
	G	z , äå		G зовнiшня сторона сфери x		+ y		+ z		= a
	G
Âiäïîâiäü:			.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025391.17 Кб0Маряна.doc
#
01.05.202580.16 Кб0маслак о.о.docx
#
01.05.2025299.09 Кб0маслакБорак.docx
#
01.03.20252.87 Mб0Маслоу А. Мотивация и личность.doc
#
12.02.20161.31 Mб25Мат. аналіз (лекції).pdf
#
12.02.2016317.81 Кб13Мат. аналіз (практика).pdf
#
12.02.2016588.22 Кб78Мат. лінгвістика 1.pdf
#
12.02.2016385.63 Кб39Мат. лінгвістика 2.pdf
#
12.02.2016401.53 Кб39Мат. лінгвістика 3.pdf
#
12.02.2016392.43 Кб30Мат. лінгвістика 4.pdf
#
12.02.2016362.87 Кб37Мат. лінгвістика 5.pdf