Мат. аналіз (практика)
.pdf
|
|
RR2 |
|
|
|
41 |
H |
2 |
, |
, |
, |
. |
|
12. (10.85) |
G |
x2dy dz, äå G зовнiшня сторона частини поверхнi параболо¨да z = |
||||
R2 (x + y ) x ¸ 0 y ¸ 0 z · H
Âiäïîâiäü: 4¼R3
15.
13.(10.90) Знайти потiк вектора F = x2i¡y2j+z2k через частину сфери x2+y2+z2 = R2 в першому октантi в напрямку зовнiшньо¨ нормалi.
Âiäïîâiäü: ¼R4
8.
14.(10.91) Знайти потiк вектора F = xi + yj ¡ 2zk через поверхню куба jxj · a,
jyj · a jzj · a в напрямку зовнiшньо¨ нормалi.
Âiäïîâiäü: 0.
42
Заняття 16
Формули Остроградського, Стокса, оператор Гамiльтона.
1.(10.102) Довести, що потiк радiус-вектора r через довiльну кусково-гладку по-
верхню в напрямку зовнiшньо¨ нормалi рiвний трьом об'¹мам тiла, обмеженого цi¹ю поверхнею.
Використовуючи формулу Остроградського, обчислити iнтеграли:
2. (10.104) Знайти потiк вектора F = rr через всю поверхню сфери x2 +y2 +z2 = R2 в напрямку зовнiшньо¨ нормалi.
Âiäïîâiäü: 4¼R2.
3. (10.105) Знайти потiк вектора F = 2xi+yj¡zk, напрямлений у вiд'¹мну сторону осi Ox через всю поверхню параболо¨да Rx = y2 + z2, яку вiдтина¹ площина
x = R.
Âiäïîâiäü: ¡¼R3.
4.(3897) Знайти RRG px2 + y2 + z2(dy dz + dx dz + dx dy) , äå G зовнiшня сторона сфери x2 + y2 + z2 = R2.
Âiäïîâiäü: 0. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
редньо та за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. (3895) Знайти |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2y2 dx + dy + z dz) , äå L êîëî x2 + y2 = R2, |
z = 0, безпосе- |
|||||||
Iнтегрування по колу та площинi xOy ведеться в додатному |
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
формулою Стокса, яку застосувати до пiвсфери |
|
|
|
2 |
2 |
|
2. |
||
|
z = |
|
R |
|
¡ x |
¡ y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
напрямку.
Âiäïîâiäü: ¡¼R6=8.
6. (3899) Знайти RRG x3dy dz + y3 dx dz + z3 dx dy) , äå G зовнiшня сторона сфери
x2 + y2 + z2 = R2.
Âiäïîâiäü: 12¼R5
5
7.Нехай u = xyz. Знайти grad u = ru.
8.Нехай F = x2yi + y2zj + xz2k. Знайти div F òà rot F .
9.Нехай поле F потенцiальне, тобто iсну¹ така скалярна функцiя u, ùî F = grad u. Довести, що тодi rot F = 0.
10.Довести, що div rot F = 0 для довiльного векторного поля F.