Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат. аналіз (практика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

317.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Заняття 21. Iнтегрування iррацiональних функцié

6.240. Z

; 6.243. Z

p dx

¡ p3

(x ¡ 1)p4

; 1882

x¡ p4

* Z

1 ¡ p

dx;

x + 1

p4 x + 3 ¡ 1

px + 3; 1929

1 + px + 1

x ¢

;

1902*

1 dx

6.245. Z

xrx + 1

Z rx + 1 x3 .

Для iнтегрування використати пiдстановки Чебишова.

* Z

; * Z

; * Z p3 x ¡1 ¡ 2p4 x¢2 dx.

5x2 ¡ 7

3x ¡ 4x2

iнтегрування

використати пiдстановки Ейлера.

Äëÿ

(1 + p1 + x2

+ x)2

* Z

x2p

dx.

1 + x2 + x

Для iнтегрування використати тригонометричнi пiдстановки.

* Z

; *

(6x

9x2)3

; *

(9 + x2)3

(x2

32)3

Заняття 22. Визначенi iнтеграли

1. Формула8 Ньютоíà-Лейбнiца

p3 x ¡ 1 dx;

2x ¡ 1;

6.328.

2 +x3

dx;

6.329. Z2

6.335. Z1

6.337.

5p3 x

sin2 ' d' ;

6.342.

x ¡ 2 dx.

x2 + 3

2. Замiна змiнно¨ та спосiб пiдстановки

+ 1;

(t2 = ex + 1);

6.380.

1 + p3x

6.381.

pex

ln 8

6.387.

(x + 3)3 ;

ln 3

+ 2

px + 3 +

6.394.

ln 6

¡ 2

dx.

¡2

ln 2

3. Iнтегрування частинами

p1 + x dx;

6.399.

xex dx; 6.400.

arcsin x

6.402. Z1 e ln2 x dx;

6.405. Z1 e x ln x dx;

6.406. Z01

x arctg x dx;

6.408. Z0

ex cos x dx.

Заняття 23. Застосування iнтегралiв

6.453. Знайти площу фiгури, обмежено¨ кривою y = ln x та прямими

x = e, x = e2 i y = 0. [e2]

6.455. Знайти площу фiгури, обмежено¨ параболами y2 = 4x òà

x2 = 4y. [16

3 ]

6.478. Знайти площу фiгури, обмежено¨ астро¨дою x = a cos3 t, y = a sin3 t. [38 ¼a2]

6.480. Знайти площу фiгури, обмежено¨ одною аркою цикло¨ди

x = a(t ¡ sin t), y = a(1 ¡ cos t) i âiññþ Ox. [3a2¼]

* Знайти площу та довжину дуги криво¨ ½ = a cos '. Встановити, що це за крива.

* Знайти площу фiгури, обмежено¨ кривою ½ = a cos 3'. [				a2	¼]
* Знайти площу фiгури, обмежено¨ кривою ½ = a cos 3'. [				2	¼]
* Знайти довжину дуги криво¨	x	ïðè	p	2	p	.
	y = e + 1		ln 2 · x · ln 6

* Знайти довжину однi¹¨ арки цикло¨ди x = a(t ¡ sin t), y = a(1 ¡ cos t).

*Знайти довжину дуги криво¨ ½ = pae', 0 · ' · ¼2 .

*Знайти об'¹м тiла обертання фiгури y = xex, y = 0, x = 1 навколо осi Ox.

Заняття 24.

Невласнi iнтеграли

Обчислити невласнi iнтеграли

6.413.

+ 6x + 11;

6.411.

x ln3 x;

6.412.

Z xpln x;

6.414.

e¡2x cos x dx;

¡1

x2 + 4.

6.415. Z0

x dx

6.435.

6.439.

6.433. Z0

x2 + x4 ;

Z1 x ln2 x;

xpln x; 6.440.

x® =

( +¡

;

ïðè ®

+1dx

;

ïðè ® > 1;

Довести, що

= (

(b¡a)1¡® ;

ïðè ® < 1;

a)®

+¡

;

ïðè ®

x)® = (

+¡

;

ïðè ®

(b¡a)1¡® ;

ïðè ® < 1;

Дослiдити iнтеграли на збiжнiсть

3 +p3 x

dx;

6.425.

5x4 + 2x2 + 3;

6.428.

sin x

1
+1
6.429. Z				dx


			x(x + 1)(x + 2);
11	p2				1
6.443. Z	p1 x4 ;				6.446. Z
	x dx
0		¡			0

1	x ln ln x.
6.432. Z2

ex ¡ cos x.

Z ¼

cos 1 dx x2 x3 .

Частина II

Практичнi заняття. 2 семестр.

Заняття 1.

Ряди, складенi з додатних чисел.

1. Знайти суми геометричних прогресiй.

2n¡1

(¡1)n+1 ¢ 9n

(a)

(b)

5n+1 ;

(c)

6n+1

2n¡1 .

n=1 3n+1 ;

n=1 3n

n=1

2. Розкладаючи1

рацiональний вираз1 на елементарнi1

äðîáè, çíàéòè

ñóìè ðÿäiâ.

X n+1

(a)

n=1

(3n 2)(3n + 1);

(b)

n=1

4n2

(c)

+ n

;

n=1

2n + 1

ln n

(d)

(n2 + n)2 ;

(e)

(n + 1)!;

(f)

ln n

ln(n + 1);

n=1

;

(h)

n=1

(g)

n=1( n + 2 ¡ 2

n + 1 +

n=1 n(n + 1)(n + 2).

3. Дослiдити ряди на збiжнiсть, перевiряючи необхiдну умову збiжностi i застосо-

вуючи1 порiвняльнi ознаки.

(a)

sin

1 + n

n=1

(2n

1)22n¡1 ;

(b)

n=1

2n ;

(c)

n=1

1 + n2 ;

(d)

(e)

n ¡

n ¡ 1

n=1 (n + 1) 4n ;

n=1 p4n

(f) n=1

4. Äîñëiäèòè1

ðÿäè íà çáiæíiñòü1 за допомогою1

ознаки д'Аламбера.

(a)

n tg

(2n + 1)!;

(b)

n ;

(c)

n+1 ;

n=1

2 ¢ 5 ¢ : : : ¢ (3n ¡ 1)

1 ¢ 3 ¢ : : : ¢ (2n ¡ 1)

(d)

: : :

(4n

3);

(e)

;

(f)

3n ;

n=1

(n + 1)!

(g)

n! ;

(h)

nn .

n=1

5. Дослiдити ряди на збiжнiсть за допомогою радикально¨ ознаки Кошi.

n+1 n2

(a) n=1

lnn(n + 1)

;

(b) n=1

2n + 1

;

(c)

n=1 arcsin

; (d) n=1

3n¢

6. Дослiдити ряди на збiжнiсть за допомогоюpiнтегрально¨ ознаки Кошi.

e¡ n

(a)

n=2 n ln n;

(b) n=2 n ln2 n;

Заняття 2.

1. Дослiдити ряди на збiжнiсть (самостiйно):

(a)

+ ¢ ¢ ¢ +

+ : : :;

1001

2001

3001

1000

n + 1

(b)

(c)

n2 + 1

(d)

n + 1

n=1

n! ;

n=1

;

n=1 r

; (e) n=1 arctgn n.

2. Використовуючи необхiдну умову збiжностi, знайти границi.

(a)

lim

= 0;

(b)

lim

= 0;

(c)

lim

= 0.

(2n)!

n!1 n

n!1

(n!)

3. Дослiдити ряди на абсолютну i умовну збiжнiсть.

1 sin n

(a)

(¡1)n+1

n=1

1 ;

(b)

n=1

(2n

1)3 ;

(c)

ln(n + 1); (d)

n=1

;

(e)

(¡1)n+1

1 ( 1)n+1

n + 1

(¡1)n+1

1 ( 1)n+1

n=1

2n ;

(f)

n=1

;

(g)

n=1

;

(h) n=1 ¡

2n .

4. Використовуючи1

ознаки Абеля1 чи Дiрiхл¹, довести1çáiæíiñòü ðÿäiân+1.

(a)

n+1 n + 1

n+1 arctg n

n+1 sin

n=1(¡1)

;

(b)

(¡1)

;

n=1

¼n

(d)

¶ ;

(e)

¼n

(f)

¶cos

n=1

(¡1)n+1 sin n

µ1 + n

n=1 sin n sin 3 ;

n=1 ln

µ1 + n

4 ;

(g)

¼n

sin

n=1

Заняття 3.

1. Визначити областi збiжностi функцiональних рядiв. Дослiдити функцiональнi

ðÿäè1на абсолютну1i

умовну збiжнiсть.

2 ;

(c)

(a)

lnn x;

(b)

n=1

n2 ;

(d)

; (e)

n=1

1 + xn ;

n=1

e¡n2¢x;

(f)

sin

;

(g)

xn tg

;

(h)

n(n + 1)xn.

n=1

2. Дослiдити функцiональнi ряди на рiвномiрну збiжнiсть, використовуючи ознаку

Вей¹рштрасса1

sin(n x)

(a)

sin nx

;

(b)

n=1

(1 + (nx)2); (c)

n=1

2n ;

n=1

e¡n x

(d)

;

(e)

n=1

2n¡1

1 + nx

n=1

Заняття 4 5.

1. Знайти радiуси1 збiжностi степеневих1 ðÿäiâ.xn

(a) 2878.

10nxn;

(b) 2879.

(¡1)n+1

n ;

n=0

10n¡1 ;

(d) 2881. n=0

n!xn;

cosn n ¡ 1 (x

1)n; 29. 1

nn (x + 2)n; 30.

5n ¢ n!xn.

28. n=1

2n + 3

n=1

2. Розкласти функцi¨ в ряд Маклореíà, âказавши iнтервал збiжностi.
28.	x2	;	29.		x3	xp3	1 +	x.
(1¡5x)3				3

				p1+2x ; 30.

3.Розклавши функцi¨ в ряд Маклорена, знайти значення вказаних похiдних в точ- цi 0.

28. f(x) = x2 ch x4; f(16)(0) ?; 29. f(x) = 30. f(x) = e¡x4 ; f(40)(0) ?.

4. Обчислити iнтеграли з точнiстю до 0,01.
0;3				0;1
28. R0		x2	dx;; 29.	x	ln(1 +	x2	)	dx;;
	3

	p1+x2			R0

5. Обчисëèòè ç òî÷íiñòþ äî 0,01

28. p3 7; 8; 29. p4 82; 30. p1

3 65 .

x cos x3; f(14)(0) ?;

30. 0R;3 x3 sh x3 dx. 0

6.Наближено зiнтегрувати задачу Кошi, взявши чотири перших вiдмiнних вiд нуля члени розкладу ¨¨ розв'язку в ряд Маклорена.

(a) y00	= x2y, y(0) = 0, y0(0) = 1; y(0) = y0(0) = 1 (12.325.)
(b) y00	= ¡x2y0 ¡ 2xy + 1, y(0) = y0(0) = 0 (12.326.)
(c) y0	= 2 cos x ¡ xy2, y(0) = 1 (12.327.)
(d) y00	= ¡2xy, y(0) = y0(0) = 1 (12.328.)
(e) y00	= y cos x + x, y(0) = 1, y0(0) = 0 (12.329.)

Заняття 6 7.

1.Розкласти в ряд Фур'¹ функцiю y = 1 ¡ x2 íà âiäðiçêó [¡¼; ¼].

2.Розкласти в ряд Фур'¹ функцiю y = x2 íà âiäðiçêó [0; 2¼].

3.Знайти коефiцi¹нт b5 розкладу в ряд Фур'¹ функцi¨ f(x) = e2x íà [¡¼; ¼].

4.Розкласти функцiю f(x) = 1 ¡ 23x , x 2 (0; ¼) в ряд Фур'¹ по косинусах.

5.Розкласти функцiю f(x) = ¡2 ¡ x, x 2 (0; 2) в ряд Фур'¹ по синусах.

*****

Функцiя f ïåðiîäó 2¼ розклада¹ться в ряд

f(x) =

(ak cos kx + bk sin kx) ;

äå

a0 =

f(x) dx;

an =

f(x) cos nx dx; bn =

f(x) sin nx dx:

¡¼

*****

Парна функцiя f розклада¹ться в ряд тiльки по косинусах:

f(x) = 20 + n=1 an cos nx, äå			a0	= ¼	Z	f(x) dx;	an = ¼	Z	f(x) cos nx dx:
	a	1		2	¼		2	¼
		X			0			0

*****

Непарна функцiя f розклада¹ться в ряд тiльки по синусах:

1		¼
		2
X	äå bn =
		0
f(x) = n=1 bn sin nx;		¼ Z	f(x) sin nx dx:

******

Нехай функцiя f перiодична з перiодом

	a		1	³an cos	¼n
	0		X
f(x) =	2		+ k=1		l	x + bn sin
an = l	Z	l	f(x) cos l x dx;			n 2 N;bn
1				¼n

2l. Òîäi:

l x	´	;	äå a0	= l	Z	l	f (x) dx;
¼n				1
= l	Z	l	f(x) sin	l x dx; n 2 N:
1				¼n

¡l

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025391.17 Кб0Маряна.doc
#
01.05.202580.16 Кб0маслак о.о.docx
#
01.05.2025299.09 Кб0маслакБорак.docx
#
01.03.20252.87 Mб0Маслоу А. Мотивация и личность.doc
#
12.02.20161.31 Mб25Мат. аналіз (лекції).pdf
#
12.02.2016317.81 Кб13Мат. аналіз (практика).pdf
#
12.02.2016588.22 Кб78Мат. лінгвістика 1.pdf
#
12.02.2016385.63 Кб39Мат. лінгвістика 2.pdf
#
12.02.2016401.53 Кб39Мат. лінгвістика 3.pdf
#
12.02.2016392.43 Кб30Мат. лінгвістика 4.pdf
#
12.02.2016362.87 Кб37Мат. лінгвістика 5.pdf