rozrax_st

Завдання 16. Знайти похiднi неявно заданих функцiй:

1.

x = cos(xy);

2.

x3 + ax2y + bxy2 + y3 = 0;

3.

ex = 1 + xey;

4.

xy = yx;

5.

y2 cos x = a2 sin 3x;

6.

y = cos(x + y);

7.

4x3 + y3 = tg(xy);

8.

2x + 2y = 2x+y;

9.

x ¡ y = arcsin x ¡ arcsin y;

10.

xy = arctg x

y ;

11.

ex sin y = e¡y cos x;

12.

tg

y

1 k

x

13.

2 = q1+¡k tg

2 ; ;

y sin x = cos(x ¡ y)

14.

y3x3 + y2x + xy = 2;

15.

5xy + cos(xy) = x2y;

16.

x3y ¡ 2 cos y = xy;

17.

4x3 + y3 = 3 tg y;

arctg xy = ln

;

18.

x2 + y2

19.

2

5xy + cos(xyp) = cos x;

20.

y2 = x + ln y

x ;

21.

x2y2 + xy3 + x3y = 3;

22.

4x3 + y3 = 3 tg xy;

23.

x4 + y4 = x2y2;

24.

arctg(x + y) = x;

25.

arctg(x + y) = y;

26.

x3 + 3y = sin xy;

27.

x3y ¡ 2 sin y = xy2;

28.

x3 + y3 = 3axy;

29.

sin(xy) + cos(xy) = tg(x + y);

30.

2

2

= a

2

x3

+ y 3

3 .

Завдання 17. Знайти похiднi yx0

функцiй, заданих параметрично:

1.

x = esin2 t,

y = tg t ln cos t;

2.

x = arctg

1¡t

y = arcsin(t3

¡

4);

1

t ,

2

³

q

3.

x = ln

p

,

y = arcsin(1 ¡ t

);

1¡t2

4.

p

´

t

2

,

y = p1+t2 ;

x = 1 + t

x = tp

1+p

5.

,

y = ln

1+t2

t2 + 1

x = arcsin(p

t¡1

;

6.

1 ¡ t2

),

y = (arccos t)2;

7.

t

p

;

2

x = p1+t2 ,

y = ln(1 +

1 + t )

2

cos t

8.

x = (1 + cos x)

,

y = sin2 t ;

9.

x = ln

³

1+t ,

p

;

2

10.

1¡t

2

y = 1 ¡ t

p 2

;

p

,

´

x = ln t +

t + 1

y = t

t + 1

11.

x = ln tg t,

y =

1

cos¢

2 t ;

¡

12.

x = arctg et2 ,

y = p

;

et + 1

x = ln

p

13.

1+t

;

2

1¡t ,

y = 1 ¡ t

2+1

t3

14.

3t q

,

y = sin ³

1+ t´;

x = p3t3

3

15.

2

,

x = 2t ¡ t

y =

p3

(t¡1)2

;

16.

x = arcsin(cos t),

y = arccos(sin t);

17.

x = p

,

y = arcsin(1 + t);

2t ¡ t2

18.

x = 2et+1,

y =

t

;

3

19.

t

t+4t p

,

t

2

x =

p

arcsin t + ln

1 ¡ t

y =

p

;

1 t2

1 t2

¡

p

p

¡

20.

,

1+p

1+t2

2

2

x = ln(t +

1 + t )

y =

1 + t

¡ ln

t

;

21.

x = e

1

,

y = tg t ¢ ln cos t + tg t ¡ t;

cos2 t

22.

x = ln tg t,

y =

1

;

sin2 t

23.

t2 ln 3

,

p

;

¡ t

2

x = 1¡t2

y = ln 1

y = ln

p

24.

x = arctg t,

1+t2

;

t+1

25.

x = ln(cos t),

y = sin(ln t);

26.

x = arccos

1

y = arcsin

1

t ,

t ;

27.

x = ctg (2et),

y = ln tg et;

28.

x = p

,

y = tg p

;

1 ¡ t2

1 + t

29.

x = arctg(et),

y = arcsin p

;

1 ¡ t2

30.

x = ln

1¡sin t

y = tg2 t + ln cos t.

1+sin t ,

Завдання 18. Знайти другу похiду вiд функцiй:

1.

y = arcsin (tg x);

2.

y = sin(sin x);

3.

y = x sin x;

4.

y = arctg (cos x);

5.

y = sin(ln x);

6.

y = esin x;

7.

y = cos

1

;

2

2+x

8.

y = x cos x;

9.

y = ln(cos x + sin x);

10.

y = x tg 3x;

11.

y = cos(2 + x2);

12.

y = tg(ln x);

13.

y = x+sin x

cos x

;

14.

y = arctg (sin x);

15.

y = x+105

cos x ;

16.

y = cos(ln x);

17.

y = x¡ln x

tg x

;

18.

y = ectg x;

19.

y = sin(cos x);

20.

y = arctg (ex);

21.

y = arctg (ln x);

22.

y = ln (ex + 5);

23.

y = xe5x;

24.

y = ctg(ln x);

25.

y = 5x ctg x;

26.

y = 104¡2x

cos x

;

27.

y = ln xx;

28.

y = x ln x;

29.

y = etg x;

30.

y = ecos x.

Завдання 19.

Використовуючи правила Лопiталя, обчислити границi:

1.

lim

x ¡ sin x

x!0 x ¡ arcsin x;

2.

lim

1 ¡ cos x

1;

x!0 p1

¡

x2

x

x¡

3.

lim

e ¡ e¡

¡ 2x

x!0

x ¡ sin x

;

4.

lim

ln cos ax

x

;

x!0

5.

lim

ln cos ax

tg bx

;

x!0

6.

lim

ln cos 2x

ln cos x ;

x!0

7.

lim

x ¡ arcsin x

x!0

x

arctg x ;

3 ¡

3

8.

lim

px ¡ pa

x!a

px ¡ pa ;

9.

lim

x ¡ arcsin x