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Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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rozrax_st

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12.02.2016

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☆

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¡ 41

11.

lim

;

x 41

+ x

12.

lim

8 + 3x + x

¡ 2

;

x + x2

x!0

+ p

¡ 1

;

13.

lim

x ¡ 1

px2 ¡ 1

x!1

14.

lim

p8 + 3x ¡ x2 ¡ 2

;

x!0

p3 x2

+ x3

p33p

;

15.

lim

3 x9

¡ 31

x 31

+ x

+ 2

16.

lim

x ¡ 6

;

x3 + 8

x!¡2

17.

lim

x ¡ 6

+ 2

;

x!¡2

p3 x3 + 8

+ 2

18.

lim

x ¡ 6

;

x!¡2

x + 2

¡ 3

19.

lim

;

x!3 p

3 + x

p2x

x ¡

lim

;

20.

x!4

+ x

21.

lim

;

x 21

+ x

q p3

¡ 1

22.

lim

;

x!1 p

1 + x

¡ p2x

¡ 2p

23.

lim

x + 13

x + 1

;

x!3

p3 x2 ¡ 9

24.

lim

¡ 2

;

x!4

p3 x2 ¡ 16

25.

lim

p9 + 2x ¡ 5

;

x!8

p3 x ¡ 2

26.

lim

9 + 2x

¡ 5

;

x!8

p3 x2 ¡ 4

10 ¡ x ¡ 6p

;

27.

lim

1 ¡ x

x!8

2 + p3 x

28.

lim

9 + 2x

¡ 5

;

x!8

p3 x2 ¡ 4

¡ 3

29.

lim

1 ¡ x

;

x!¡8

2 + p3 x

	p3
30. lim		4x ¡ 2		:

x!2 p	x + 2		¡ p2x

Завдання 9. Обчислити границi функцiй, використовуючи першу важливу границю:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

lim

sin 7¼x

;

x!2 sin 8¼x

lim

x2 ¡ ¼2

;

x!¼

sin x

lim

1 ¡ x2

;

x!1

sin ¼x

lim

3x2 ¡ 5x

;

x!0

sin 3x

px + 2 ¡ p

lim

;

x!0 p

sin 3x

lim

x ¡ 3x + 3 ¡ 1

;

x!1

sin ¼x

lim

1 ¡ sin 2x

;

(¼ ¡ 4x)2

x!¼4

3 ¡ p

;

lim

10 ¡ x

x!1

sin 3¼x

lim

sin 7x

;

x!0 x2 + ¼x

lim

1 ¡ cos3 x

;

x!0

4x2

lim

sin 5x

;

x!¼

tg 3x

lim

tg ¼x

;

x!¡2 x + 2

lim

;

x!0 tg(¼(2 + x))

lim

;

x + 1

x 0 tg 2¼

sin¡2 x ¡

tg2 x¢¢

lim

;

x!¼

(x ¡ ¼)4

lim

tg 3x

;

x!¼2

tg x

lim

arcsin 3x

;

x!0 p

2 + x

2¡ p2

lim

arctg(x

¡ 2x)

;

x!2

sin 3x¼x

lim

1 ¡ sin

;

x!¼

¼ ¡ x

lim

1 + cos ¼x

;

tg2 ¼x

x!1

21.

lim

cos 5x ¡ cos 3x

;

x!¼

sin2 x

22.

lim

35x¡3 ¡ 32x

;

x!1

tg ¼x

23.

lim

sin 7x ¡ sin 3x

;

2 2

x!2¼

¡ e4¼

24.

lim

1 + cos 3x

;

x!¼

xsin2

25.

lim

¡ 16

;

sin ¼x

x!4

26.

lim

1 ¡

cos 10x

;

¡ 1

x!0

27.

lim

1 ¡ 2 cos x

;

x!¼3

lim

cos

¼x

;

28.

x!1

1 ¡ px

29.

lim

cos 3x ¡ cos x

;

x!¼

tg2 2x

30.

lim

cos x

¡ 1

sin2 2x

x!0

Завдання 10. Обчислити границi функцiй, використовуючи другу важливу границю:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

lim

x ¡ 10

3x+1

;

µ x + 1

x!1

+ 181+x

lim

2x2

+ 21x ¡ 7

2x+1

;

x + 9

3x ¡ 4

lim

;

3x + 2

x!1

;

x!1

¡ x

lim

¡ 2

x!1

µx2

;

lim

+ 1

lim

¶x ;

x¡2

x!1

lim

1 +

;

x!1

;

x!1

1 + x

lim

µ2x2

+ 1¶

;

x!1

x+1

lim

2x2

+ 2

¡ 5x

lim

3x2

¡ 5x

;

µx2

+ 7

x!1

¡ 5

;

lim

+ 5

µx2

+ 5x + 1¶

x!1

lim

¡ 3x + 6

;

x!1

µx + 5

;

lim

x + 3

x+4

µx + 1

x ;

x!1

lim

x ¡ 1

6x + 4

x!1

3x+2

lim

6x ¡ 7

x+4;

;

3x ¡ 1

lim

x!1

3x + 1

¶2

lim

1 +

¶x ;

x!1

µx + 2

;

lim

x + 4

x!1

µx + 1

¡x2

;

19.

lim

x + 3

13x + 3

x¡3

20.

lim

= e;

13x ¡ 10

x!1

µx2

+ x

¡x

;

21.

lim

+ x + 1

x!1 µ

10x

;

10x ¡

1x¶

22.

lim

x!1

µx + 7

;

23.

lim

x + 5

4x + 3

2x¡1

24.

lim

4x ¡ 1

;

x!1

5x + 1

x¡4

25.

lim

5x ¡ 3

x+1

;

2x + 3

26.

lim

2x + 1

;

x!1

1¡x

27.

lim

3x2 ¡ 6x + 7

;

3x2 + 20x 1

x!1

3x2 + 2x + 7

2x+5

28.

lim

3x2 + 4x ¡ 1

;

2x2 + 7x 1 ¡x

29.

lim

2x2 + 5x + 7

30.

lim

µ2x2 + 5x + 3¶

;

µ2x2 + 3x

1¶

x!1

	Завдання 11. Порiвняти нескiнченно малi:
1.	®(x) = ln(x ¡ 1) i ¯(x) = x ¡ 2 ïðè x ! 2;
2.	®(x) = x + x2 + x3 i ¯(x) = arcsin x2 ïðè x ! 0;
3.	®(x) = x2 ¡ ln(1 + 2x) i ¯(x) = arctg(x ¡ 4x2) ïðè x ! 0;
4.	®(x) = ex ¡ e i ¯(x) = e(x ¡ 1) ïðè x ! 1;
5.	®(x) = 2 tg(5x) i ¯(x) = x(x + 5)2 ïðè x ! 0;
6.	®(x) = ln(1 + arctg(2x)) i ¯(x) = ax ïðè x ! 0;
7.	®(x) = p						1 i ¯(x) =	3¡x						3;
		4	¡		x	¡			ïðè		x		!
								2
8.	®(x) = sin(x3 + x) i ¯(x) = tg x3 ïðè x ! 0;
9.	®(x) = sin 2x ¡ arctg x i ¯(x) = arctg 2x + sin x ïðè x ! 0;
10.	®(x) = ex ¡ e2 i ¯(x) = e2(x ¡ 2) ïðè x ! 2;
11.	®(x) = ln(1 + 5x) i ¯(x) = ex2 ¡ 1 ïðè x ! 0;
12.	®(x) = e5x ¡ 1 i ¯(x) = 3x ¡ 4x4 ïðè x ! 0;
13.	®(x) = (x ¡ 1)5 ¡ 1 i ¯(x) = 5(x ¡ 2) ïðè x ! 2;
14.	®(x) = arctg x + x2 i ¯(x) = x3 ¡ x5 ïðè x ! 0;
15.	®(x) = ln(1 + sin x) i ¯(x) = arctg 5x ¡ arcsin 3x ïðè x ! 0;
16.	®(x) = log			(x) i ¯(x) = x¡1				ïðè	x	!		1;
	5						ln 5
17.	®(x) = log5(1 + 2x) i ¯(x) = 2x3 ¡ 1 ïðè x ! 0;
18.	®(x) = a2x ¡ 1 i ¯(x) = ln(1 + 2ax) ïðè x ! 0;
19.	®(x) = (4 ¡ x)6 ¡ 1 i ¯(x) = 6(3 ¡ x) ïðè x ! 3;
20.	®(x) = sin x ¡ 2x3 i ¯(x) = 1 ¡ cos x ïðè x ! 0;
21.	®(x) = ex ¡ cos x i ¯(x) = arcsin 5x ïðè x ! 0;
22.	®(x) = ax ¡ a2 i ¯(x) = (x ¡ 2)a2 ln a ïðè x ! 2;
23.	®(x) = tg x3 i ¯(x) = 2x ¡ 1 ïðè x ! 0;
24.	®(x) = (x + a)3 ¡ a3 i ¯(x) = 1 ¡ cos x ïðè x ! 0;
25.	®(x) = ex+1 ¡ 1 i ¯(x) = x + 1 ïðè x ! ¡1;
26.	®(x) = 5x ¡ 1 i ¯(x) = sin x ¡ tg x ïðè x ! 0;
27.	®(x) = x + sin x i ¯(x) = 5x ¡ 1 ïðè x ! 0;
28.	®(x) = ln(3 ¡ x) i ¯(x) = 2 ¡ x ïðè x ! 2;
29.	®(x) = x3 ¡ tg x2 i ¯(x) = arctg x + 2x ïðè x ! 0;
30.	®(x) = tg2 x i ¯(x) = x2 ¡ x4 + x6 ïðè x ! 0;

Завдання 12. Замiнити дану нескiнченно малу еквiвалентною ¨й, але простiшою.

1. ®(x) = log5(x) ïðè x ! 1;

2. ®(x) = ln(1 + 3x sin x) ïðè x ! 0; 3. ®(x) = ln(1 + e¡x) ïðè x ! +1; 4. ®(x) = p1 ¡ arctg x ¡ 1 ïðè x ! 0; 5. ®(x) = arctg(3 ¡ x) ïðè x ! 3;

6. ®(x) = sin2 x ¡ x ïðè x ! 0; 7. ®(x) = x3 ¡ 2 tg x ïðè x ! 0; 8. ®(x) = ln(4 ¡ x) ïðè x ! 3;

9. ®(x) = 2x4 ¡ 1 ïðè x ! 0;

10. ®(x) = x2 + sin x ïðè x ! 0;

11. ®(x) = ex ¡ cos x ïðè x ! 0;

12. ®(x) = ln(1 + sin x) ïðè x ! 0; 13. ®(x) = sin 2x + arctg x ïðè x ! 0; 14. ®(x) = 2 ln(x ¡ 1) ïðè x ! 2;

15. ®(x) = tg2 x ¡ arctg 2x ïðè x ! 0;

16. ®(x) = 1 ¡ 3 x ïðè x ! 1; 17. ®(x) = e3x ¡ 1 ïðè x ! 0;

18. ®(x) = arcsin x2 + x ïðè x ! 0; 19. ®(x) = tg 2x + ex ¡ 1 ïðè x ! 0;

20. ®(x) = (x + a)3 ¡ a3 ïðè x ! 0; 21. ®(x) = p1 ¡ x3 ¡ 1 ïðè x ! 0;

22. ®(x) = (1 + x)6 ¡ 1 ïðè x ! 0;

23. ®(x) = ln(1 + 2 sin2 x) ïðè x ! 0;

24. ®(x) = px ¡ 1 ïðè x ! 1;

25. ®(x) = ln(1 + arctg 2x) ïðè x ! 0;

26. ®(x) = (x + 2)5 ¡ 25 ïðè x ! 0;

27. ®(x) = p1 ¡ e¡x ¡ 1 ïðè x ! +1;

28. ®(x) = e5x ¡ 1 ïðè x ! 0; 29. ®(x) = p¡x ¡ 1 ïðè x ! ¡1;

30. ®(x) = x + arctg x2 ïðè x ! 0;

Завдання 13. Дослiдити функцiю на неперервнiсть i встановити характер точок розриву.

1. f

2. f

3. f

4. f

5. f

6. f

7. f

8. f

9. f

10. f

11. f

12. f

13. f

14. f

15. f

16. f

17. f

18. f

19. f

20. f

21. f

22. f

23. f

24. f

25. f

26. f

27. f

28. f

29. f

(x) =

sin 2x

;

(x) =

tg x

x ;

(x) = (x + 4)e¡2x;

(x) =

cos(3x)

;

(x) =

jx+2j

arctg(x+2) ;

(x) =

x¡2

+1 ;

(x) = x1 ln(

1+x

);

1 x

(x) = x ¡

x+1

;

(x) =

x¡1

cos x

¡ 2

;

(x) =

+1 ;

1¡x

(x) =

3x2¡1

(x) =

¡3x+2 ;

3+x

(x¡1) ;

(x) =

2x2¡4

¡6x+8 ;

(x) =

2x +1

x ¡x ;

(x) = e

x+1

;

(x) = 2

1¡x

;

(x) =

2¡x

;

(x) = 6

;

x+4

(x) =

x+3

+x¡2 ;

(x) =

x22+1

x ¡1 ;

(x) = e

;

2¡x

(x) =

2¡4x2 ;

1¡4x

(x) =

3x 2¡7x¡16

x ¡x¡6 ;

(x) = cos x+1

;

(x) =

x3¡6

x ¡27 ;

(x) = ln x¡1

x¡3 ;

(x) = 3

;

2x+5

(x) = x3 ctg(

¼ );

(x) = arcsin

f(x) = ln

3x+2 ;

30.

6¡x .

2x+3

2x+1 .

Завдання 14.

a) y =

x6+x3+x

;

1+x2

a) y =

(x3+1)p

x+2

25x

;

a) y =

1+x2

;

1+x3

y =

px+1(2x¡3)

x3¡2

;

a) y =

(1+x2)3

;

3x3

a) y = x6+x3

;

1¡x

y =

x+3(x¡5) ;

x2) p5

a) y =

x2+

;

1+x+x

a) y =

¡4 ;

¡1) 3x

10.

a) y =

¡1

x3px2

+5 ;

a) y = (x¡2)p

11.

x+x2

13.

a) y = 2q

1¡1px ;

;

x+2

12.

1+p

y =

(x+2)p

;

x5¡12

14.

a) y =

px2+x+1

;

x2¡2

+2)x7

15.

a) y =

x+x

;

16.

a) y =

x¡7

px+x4+14 ;

17.

a) y =

x+a

;

x2¡a2

a) y = x12(x+p

)

18.

;

9¡7x

(x+3)p

19.

a) y =

x+2

;

x15

20.

a) y =

x2+x+1

;

21.

y =

(3x3+5x2¡x+2)

;

22.

1+x

a) y =

8x + p3x;

2(x ¡4)

23.

a) y =

(1+x2)p

5+x3

;

10x11

(x¡1)p

24.

a) y =

3+x2

x¡3

;

x+4

25.

a) y =

x ¡4+x ;

26.

a) y =

1+3x4

;

p5+x5

27.

a) y = x100¢ x3¡1 ;

28.

a) y =

(1+x2)p

x+x3

x2+2

;

29.

a) y =

3x3+2

30.

a) y = q

2+x3 ;

p2x2+1 ;

1+x2

Знайти похiднi:

b) y =

¯x

¯ sin ®x

;

® sin

2¡

® +¯

b) y =

® sin ¯x+¯ sin ®x

;

e®

b) y =

e®x

;

cos2 ®+cos2 x

y =

x+1

;

x x

e ¡ln 3

b) y =

¡5x

p5x+1 ;

b) y = x +

;

1+e

b) y = ln ex

+ p

;

e2x ¡ 1

y =

arcsin

x+px ;

b) y = x ¡ e¡x arcsin ex;

y= ex22 ;

b)1+x

y = ln

arctg x

tg(x+ln x) ;

b) y = e

(px + tg x);

y = ln p

¡x2

x+x3

;

px+x3+x2

y = esin x

;

y =

ex¡

+2) cos x

b) y = arctg

ex +

;

b) y = ex

p3¡x4

+ p4

x¢3

;

b) y =

´;

sin x + x

arcsin ex

;

y =

ex2

;

1+x

y =

1 arctg ex¡5

;

b) y = ex

2¡sin 2x¡cos 2x

;

b) y = x2 + ex + p

;

e2x + 5

y =

1¡3xx ;

ln 4

1+3

b) y = p

+ p

;

4x + 1

ex + 2

b) y =

;

(arctg ex)3

b) y =

1 ln(ex + 3)

3x;

3 p

2xx+1

y = ln(ex + 5x) +

3 +2 ;

ln 2

y =

¡x

) ;

arctg(3

b) y =

ex+5x

ln(3x+sin x)

;

c) y = ln 4 1+x

2¡x . p

c) y = ln x+ p2

x2+ 3 x .

c) y = ln sin 23xx+3+2 . c) y = log8 log9 tg x. c) y = log5 log7 tg x.

c) y = x(cos ln x + sin ln x). c) y = ln cos

c) y = lg ln ctg x.

x+3

c) y = log5 p

c) y = ln

tg x + x3 .

arcsin p

+ 2

c) y = ln ¡

c) y = ln arccos p

1 ¡ x3

c) y = ln p

x + sin x2

¡p

x+2

y = ln p

x+2+p

c) y = ln

arccos p

³ x

c) y = ln

+ p5

c) y = ln

¡p

¡x2

¢.

p5+x

c) y = ln

ln x

sin 1

x .

c) y = ln ln sin

1 +

c) y = ln ln2 ln3¡x.

x ¢.

y = ln x + p

a2 + x2

ln(p

+ p

c) y =

c) y = px ¡ 4 ln(2 + px).

c) y = ln2(x + sin x).

c) y = ln(px + p2 + x).

c) y = ln pax+2 x .

c) y = ln a2+x2

a3+x3 .

c) y = ln3(1 + sin x).

c) y = ln	x2+4
	x2 .

¡ ¢ c) y = ln tg ¼4 + x .

Завдання 15. Знайти похiднi степенево-показникових функцiй:

1. y = (x + arctg x)sin x; 2. y = (tg x)px;

3. y = (cos 3x)tg x; 4. y = (x3 + x)sin x;

5. y = (x + arcsin x)sin x;

6. y = (1 + x + arctg x)cos x;

7. y = (arctg x)ln tg x; 8. y = ¡arcsin x2¢ex ;

9. y = (7 + tg x)cos x; 10. y = (x sin x)sin x; 11. y = (arcsin x)cos 2x; 12. y = (x + 3)ex ;

13. y = (arctg x)tg 5x;

14. y = (arcsin x)ln tg x;

15. y = ¡tg x2¢tg x; 16. y = (x3 + x2)x+2; 17. y = (ex)x+ln x;

18. y = (x tg x)sin x;

19. y = ¡x2 sin x¢tg x; 20. y = ¡sin x2¢px;

21. y = (cos x)cos 2x; 22. y = (x3 + 2x)cos x; 23. y = (x3 + 2)tg x;

24. y = (x2 ¡ 3)ctg x;

25. y = (sin px)x2 ;

26. y = (cos x + 12)tg x; 27. y = (x + ln x)ex ; 28. y = (tg x)ln tg x.

29. y = ¡x2 + cos x¢ctg x; 30. y = (arctg x)ex .

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