3.1.1.1 Узагальнені середнє арифметичне, 1d

Приклад 3.1.1.1 Розглянемо наступні часові виміри:

zt = z(1) =0.1, z2 = z(4) = 0.2, z3 = z(7) = -0.1, z4 = z(10) = -0.2

Як значення z0 = z (х0) в точці P₀ = х₀ = 1,3 оцінюється? Використання базових знань шкільної ми можемо отримати середнє значення Z-значень в сусідніх точках х = 1 і х = 4. Очевидно, що це основне середнє арифметичне призводить до z0 = г (1,3) = 0,15. Тут обидва виміри z= 0,1 і z = 0,2 однаково зважений. Іншими словами, основний середнє арифметичне двох Z-значень може бути представлено у вигляді частки від суми вимірювань однаково зважених з вагою 1 на суму цих ваг.

Завдяки інтуїції інженера, відзначимо, що точка P₀ = х₀ = 1,3 знаходиться ближче до х = 1, ніж х = 4. Таким чином, було б логічно припустити, що z-значення в точці х = 1 впливає на оцінку Z-значення в точці х = 1.3 сильніше, ніж Z-значення значення в точці х = 4.Але тепер ми повинні ма ти міру, щоб описати цей вплив об'єктивно. Без будь-яких додаткових відомостей про реальну природу цього впливу, ми можемо розглянути зворотню відстань від точки х = 1,3 до обох сусідіх х= 1 і х= 4 для побудови ваг. Вплив відомих Z-значень на z-значення, яке має бути передбачено, стає сильнішою з зменшенням відстані між даними і точки прогнозування. Таким чином, узагальнена середнє арифметичне з двох Z-значень відповідає:

Цей метод оцінки називається також одновимірна лінійна інтерполяція - "лінійна", тому що просторовий розподіл всіх передбачених значень Z-х між = 1 і х = 4 слід лінії від точки (X₁, Z₁) = (1, 0,1) в точка (Х₂, Z₂) = (4, 0,2).

Але тепер те, що станеться, якщо всі дані Z-значення (а не тільки найближчих сусідів точки прогнозування) вважаються оцінені z-значення в Р₀? Немає проблем: Основна ідея зворотньої відстані залежного зважування не залишається незмінною:

Нарешті, ми можемо обмежити максимальну відстань між точкою даних та точки прогнозу, де досі існує вплив основі інженера або геодезиста досвід і практичні знання. У цьому прикладі, ми припускаємо, що це максимальна відстань має дорівнювати 6. Таким чином, ми отримуємо оцінку на основі тільки трьох із чотирьох заданих значень Z-як

Крім того, ми можемо використовувати функцію впливу, побудований на основі досвіду або практичних знань, а не в залежності від зворотних відстаней для визначення ваги.

z (x) = z1 ·w1 (x)+ . . . +z4 ·w4 (x) =4

i=1 zi ·wi (x)

= 0.1 ·w1 (x)+0.2 ·w2 (x)+(−0.1) ·w3 (x)+(−0.2) ·w4 (x) ,wi (x) =_1, x = xi

0, x = xj, j _= i, i, j = 1 . . . 4(*.1)

Які ваги відповідають цій умові? Давайте перевіримо наступні ваги побудовані згідно з теорією Лагранжа:

w1 (x) =(x−x2)(x−x3)(x−x4)(x1−x2)(x1−x3)(x1−x4)=(x−4)(x−7)(x−10)(1−4)(1−7)(1−10) ,

w2 (x) =(x−x1)(x−x3)(x−x4)(x2−x1)(x2−x3)(x2−x4)=(x−1)(x−7)(x−10)(4−1)(4−7)(4−10) ,(*.2)

w3 (x) =(x−x1)(x−x2)(x−x4)(x3−x1)(x3−x2)(x3−x4)=(x−1)(x−4)(x−10)(7−1)(7−4)(7−10) ,

w4 (x) =(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x4−x1)(x4−x2)(x4−x3)=(x−1)(x−4)(x−7)(10−1)(10−4)(10−7) .(*.3)

Видно, що ми отримаємо вагу w1 (x1) = 1 в (* 0,2) шляхом заміни змінної х, х = x1 = 1. У той же час інші ваги в (* 0,2) і (* 0,3) рівні нулю. Використовуючи ці ваги, ми отримуємо:

z (x1) = 0.1 · 1+0.2 · 0+(−0.1) · 0+(−0.2) · 0 = 0.1 = z1 , (*.4)

який вказує, що вимога інтерполяції в точці х = х 1 = 1 виконується. Аналогічно, після заміни змінної х на х = х2 = 4, х = x3 = 7, х = x4 = 10, ми отримуємо

w2 (x2) = w2 (4) = 1, w1 (4) = w3 (4) = w4 (4) = 0 ⇒z (x2) = z2 = 0.2 ,

w3 (x3) = w3 (7) = 1, w1 (7) = w2 (7) = w4 (7) = 0⇒z (x3) = z3 = −0.1 ,

w4 (x4) = w4 (10) = 1, w1 (10) = w2 (10) = w3 (10) = 0⇒z (x4) = z4 = −0.2 .(*.5)

Підсумовуючи, отримаємо

z (x) = 0.1 · (x−4)(x−7)(x−10)(1−4)(1−7)(1−10)+0.2(x−1)(x−7)(x−10)(4−1)(4−7)(4−10)+

+(−0.1) · (x−1)(x−4)(x−10)(7−1)(7−4)(7−10)+(−0.2) · (x−1)(x−4)(x−7)(10−1)(10−4)(10−7) (*.6)

Функція (* 0,6) є функціональним зв'язком, який ми шукаємо. інтерполяцйний поліном третього порядку (див. 3.3), який описує структуру вихідних даних, таким чином що Z-значення, отримані в цих точках, можна відновити шляхом оцінки.

При використанні будь-якого іншого х-значення, відповідне Z-значення може бути передбачене. Цей поліном лише як приклад поліному третього порядку, який відповідає цій інформації і одночасно виконує вимогу інтерполяції. Звичайно, є й інші аналітичні функції, які виконують цю умову.

Тепер, загальне правило для методу інтерполяції (1D-випадку) Лагранжа може бути сформульоване: Нехай x1, x2,. , , , Хп точок даних (точки) і Z1, Z2,. , , , Zn є Z-значення (вимірювання) в цих точках. Поліноміально апроксимуємо ці дані так, щоб потрібна інтерполяція мала наступний вигляд:

z (x) =N i=1 zi ·wi (x) ,

wi (x) =(x−x1)(x−x2) . . . (x−xi−1)(x−xi+1) . . . (x−xN)*

*(xi −x1)(xi −x2) . . . (xi −xi−1)(xi −xi+1) . . . (xi −xN) , i = 1, . . . ,N

wi (xj) =i j =_1, j = i0, j _= i (3-4)

Приклад 3.1.1.2_ (2D-Case) Знову ж таки, ми розглянемо такі виміри:

z11 = z (P1) = z (1,0) = 0.1, z21 = z (P2) = z (4,0) = 0.2 ,

z12 = z (P3) = z (1,1) = −0.1, z22 = z (P4) = z (4,1) = −0.2 .

Після 1D-випадку, запитуємо функціональну залежність, що добре узгоджується з даними встановленими таким чином, що потрібна інтерполяція виконується. Таким чином, дані виміри Z-значення повинні бути відтворені точно. Для спрощення подальших рівнянь, номер Z-значення і точки з подвійними індексами 11, 21, 12 і 22 відповідних до замовленої нумерації х і у значень на площині. Спеціальні ваги виміряних значень також використовуються тут:

z (x, y) = z11 ·w11 (x, y)+z12 ·w12 (x, y)+z21 ·w21 (x, y)+z22 ·w22 (x, y) =2

i, j=1

zi j ·wi j (x, y)= 0.1 ·w11 (x, y)+0.2 ·w21 (x, y)+(−0.1) ·w21 (x, y)+(−0.2) ·w22 (x, y) ,

wi j (x) =_1, x = xi, y = yj

0, x = xk, y = yl , k _= i, l _= j; i, j, k, l = 1,2(*.1)

Побудуємо змінні ваги по:

w11 (x,y) =(x−x2)(y−y2)(x1−x2)(y1−y2)=(x−4)(y−1)(1−4)(0−1) ,

w12 (x,y) =(x−x2)(y−y1)(x1−x2)(y2−y1)=(x−4)(y−0)(1−4)(1−0) ,(*.2)

w21 (x,y) =(x−x1)(y−y2)(x2−x1)(y1−y2)=(x−1)(y−1)(4−1)(0−1) ,

w22 (x,y) =(x−x1)(y−y1)(x2−x1)(y2−y1)=(x−1)(y−0)(4−1)(1−0) .(*.3)

Аналогічно прикладу 3.1.1.1_ видно, що потреба в інтерполяції заданих точок виконується. Підводячи підсумок, ми маємо

z (x,y) = 0.1 · (x−4)(y−1)(1−4)(0−1)+0.2 · (x−4)(y−0)(1−4)(1−0)+

+(−0.1) · (x−1)(y−1)(4−1)(0−1)+(−0.2) · (x−1)(y−0)(4−1)(1−0) . (*.4)

Функція (* 0,4) є функціональним зв'язком що ми шукаємо. Такі двовимірні многочлени називаються неповними поліномами другого порядку, тому що відповідні члени, х2 і у2 упущені. Крім того, це гіперболічний параболоїд. Він описує структуру даних точок даних, щоб Z-значення, отримані при даних точках залишалися незмінними. Використовуючи будь-яке інше значення X, Y, ми можемо передбачити, що відповідає Z-значенню. Крім запропонованої функції, існують і інші двовимірні поліноми, які підходять для установки цього набору даних.