3.14 Лінійна регресія підхід (* .11) підгонки даних з прикладу 3.2.1.1

Визначення 3.2.1-1 Нехай U, V два регулярних функцій, визначених для інтервалу [а, Ь].

Далі, нехай W буде невід'ємна функція визначена для того ж інтервалу. наступнезначення називається скалярний добуток функцій U, V по відношенню до маси.

Функція W:

Приклад 3.2.1.2 Розрахунок скалярного твору для таких функцій:

Визначення 3.2.1-2 Дві регулярні функції U, V визначені для інтервалу [а, Ь]

називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Важливість ортогональних функцій у функціональних просторах аналогічно ортогональних базисних векторів в евклідовому просторі. Аналогічно поданням будь-який вектор у вигляді суми базисних векторів, будь-яка функція F (х), визначена на відрізку [а, b] може бути апроксимована за допомогою ортогональних функцій

Приклад 3.2.1.3 Чи многочлени 1, х, х2,. , , ортогональні по відношенню доІнтервал [a.б]? Ми можемо відповісти на це питання, використовуючи Визначення 3.2.1-1 і 3.2.1-2:

Таким чином, ці многочлени НЕ ортогональні, але лінійно незалежні, що означає, що це не можливо уявити такого полінома у вигляді зваженої суми або лінійний.

Поєднання з іншими полиномов:

Існує метод генерації системи ортогональних функцій з linearindependent система функцій, які називаються грам-Шмідта:

бути лінійно-незалежні функції на

Інтервал [a.б]. Функції заснований напобудувати ортогональний базис на відрізку

[а,Б]:

Константи, що використовуються тут, можуть бути обчислені за допомогою:

Розглянемо приклад 3.2.1.3? довести методом Грама-Шмідта.

Приклад 3.2.1.3? Наступна системиповинен бути ортогоналізуются

на [-1, 1]. Використовуючи (3-55), ми отримаємо послідовно:

Малюнок 3.15 показує перші три функції цього ортогонального базису на інтервалі

[-1, 1].

Інжир. 3.15 Перші три функції, E1 (х) (суцільна), е2 (х) (пунктирна) і E3 (х) (пунктирна), ортогональної основою із прикладу 3.2.1.3?

Приклад 3.2.1.4 Доведемо, що системи

ортогональна на [-π, π]. Ми можемо спочатку довести наступне:

Для (* .1) і (* 0,2) такі відомі тригонометричні співвідношення можуть бути використані:

Для інтеграла в (*) .3,

тримає. Цей факт враховується в прикладі 3.2.1.4 використовується для побудови функціональної наближення перетворення Фур'є, наближення, що має сенс

Для даних, що характеризуються хвильової структури. Ми розглядаємо цю тему коротко;

Докладніше можна знайти в Bracewell (1978) і Хеммінга (1973).

3.2.1.2 Наближення з перетворенням Фур'є (1d)

Ми обмежимося тут в одновимірному випадку. вимірюваннявід невідомої функціїz (х) повинна бути наближена

в [-π, π] за наступною аналітичної функції:

Використання (3-53) і (3-54), ми можемо представити цю функцію у вигляді

Тут ми використовуємо співвідношення (* .1) - (. * 3) з прикладу 3.2.1.4. Як було показано вище, ми отримуємо рівняння для розрахунку коефіцієнтів, де коефіцієнт задається як невід'ємної і залежить від безперервного, але невідомої функції z (х).

Таким чином, ці рівняння також повинні бути "переведені" в дискретної формі, заснованої на даних вимірювань

Це може бути зроблено шляхом застосування добре відомі рівняння (правило трапеції):

Якщо інтервал [-π, π] ділиться на N - 1 інтервалів з вузлами -π = x1,

х2,. , , , ХN = π рівняння (3-58) можуть бути застосовані для кожного інтервалу окремо.

остаточна сума призводить до

Якщо ідентичні довжини h = xi+1−xi, i = 1 . . . N−1вибирають для інтервалів, ми Отримувати

Таким чином, ми можемо сформулювати загальне правило для обчислення дискретного коефіцієнтів від відповідного перетворення Фур'є-1D, які можуть бути використані для функціональної наближення вимірювань[z (x1) , . . . , z (xN)] = [z1, . . . , zN] в інтервалі

[-π, Π]. Очевидно, лінійна комбінація ортогональних тригонометричних функцій використовуваний. Нехай [z (x1) , . . . , z (xN)] = [z1, . . . , zN]бути вимірювання в [-π, π]. ці

Дані можуть бути апроксимовані за допомогою наступної лінійної комбінації ортогональних тригонометричні функції:

Для відповідних коефіцієнтів і це дає:

Для звичайного розтину інтервалу [-π, π], таких як (3-58 ??) рівнянь

(3-59) може бути спрощена

Примітка: припущення, що вимірювання приймати значення з інтервалу

[-π, Π] не є непереборною обмеженням. Якщо

[Z1,. , , , Zn] належать будь-якому інтервалі [а, Ь], ми можемо застосувати наступну трансформацію попереднє х-координат:

За допомогою цих нових координатах перетворення Фур'є для вимірювань

[z (x1) , . . . , z (xN)]=[z1, . . . , zN] може бути обчислена.

Нарешті, бек-перетворення повинні бути зроблені для того, щоб наблизити оригінальні вимірювання лінійної комбінації ортогональних функцій тригонометричними:

Кількість 2n + 1 коефіцієнтів Фур'є вибирається незалежно З числа N з даних вимірювань.

Тепер ми покажемо, перетворення Фур'є для простий набір з даних

Приклад 3.2.1.1. Приклад 3.2.1.5 Розглянемо наступні часові виміри від

Приклад 3.2.1.1:

Очевидно, що ці точки не належать інтервалу [-π, π], так до координат

перетворення (3-60) слід проводити:

С (* 0,1) в інтервалі [1, 10] перетворюється в [-π, π]. По-перше, ми п = 3 в

(3-59) і розрахувати сім коефіцієнти для аналітичного уявлення:

Завдяки рівновіддаленості х ми можемо використовувати рівняння (3-59?) І з N = 4 and x1

Аналогічно, ми маємо: а2 = -0,0667, Ь2 = -0,1732, а3 = -0,0333, b3 = 0, і

в кінці кінців

після retransformation

ми отримаємо аналітичну апроксимацію через перетворення Фур'є для даних вимірювань

(Див 3.16) .:

Детальніше про перевірку обгрунтованості перетворення Фур'є процедури можна знайти, наприклад, в Bracewell (1978) і Хеммінга (1973). Заміна синусоїдальні і косинусоидальной функції в ортогональній системі на інтервал [-π, π] з прикладу 3.2.1.4 іншими значимих функцій, визначених для повна речова вісь, що також ортогональні і виконувати деякі додаткові важливо математичні вимоги призводить до деяких корисним узагальнень перетворень Фур'є.

Сплески один з цих узагальнень, і тепер ми обговоримо основну ідею для

побудови 1D-сплесках.