1.2.1 Двійкова система числення
З точки зору технічної реалізації найліпшою є система з основою 2 або двійкова, тому що двохпозиційні елементи різної фізичної природи легко реалізуються. Крім того, у процесах з двома стійкими станами різниця між цими станами має якісний, а не кількісний характер, що забезпечує надійну реалізацію двійкових цифр. Таким чином, простота арифметичних і логічних дій, мінімум обладнання, що використовується для подання чисел та найбільш зручні умови реалізації визначили застосування двійкових систем числення практично в усіх відомих комп’ютерах і таких, що проектуються.
Двійкова система числення у комп’ютерах є основною, у якій здійснюються арифметичні і логічні перетворення інформації у пристроях комп’ютера. Вона має тільки дві цифри: 0 і 1, а всяке двійкове число зображається у вигляді комбінації нулів і одиниць. Кожний розряд числа у двійковій системі числення ліворуч від коми подається двійкою у відповідній додатний степені, а праворуч від коми – двійкою у від’ємній степені (табл. 1).
Таблиця 1
|
Номер розряду |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
|
Двійкова степінь |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
2-1 |
2-2 |
2-3 |
2-4 |
|
Десяткове значеня |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 (,) |
0,5 |
0,25 |
0,125 |
0,0625 |
Наприклад, розгорнуту форму двійкового числа 11101,01 за формулою (1) можна записати так:
11101,012 = 1*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 =
= 16 + 8 + 4 + 1 = 29,2510
До недоліків двійкової системи числення можна віднести:
Значно більша, порівняно з іншими системами числення, кількість розрядів, які необхідні для подання однакових за абсолютною величиною чисел. Порівняйте:
2510 = 1758 = 5005 = 11111012
Необхідність переведення вхідних даних з десяткової системи до двійкової і вихідних – з двійкової до десяткової.
Вісімкова система числення
Вісімкова система числення має основу d = 8 i можливі значення розрядів αi = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Число вісім, яке дорівнює основі системи числення, записується двома цифрами у вигляді 10. Любе вісімкове число може бути зображено за допомогою формули розгорнутого запису (1) десятковим еквівалентом, наприклад:
726,158 = 7 * 82 + 2 * 81 + 6 * 80 + 1 * 8-1 + 5 * 8-2 = 470,20312510
Запис команд і даних програми у вісімковій системі числення у три рази коротше, ніж у двійковій.
Шістнадцяткова система числення
Шістнадцяткова система числення має основу d = 16 і αi = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Для запису чисел у системі числення з основою, більше ніж 10, арабських цифр виявляється недостатньо і доводиться додатково вводити символи, що однозначно подають цифри від 10 до 15. У даній системі числення застосовують великі латинські (англійські) символи для позначення цифр від 10 до 15.
Будь-яке число з шістнадцяткової системи числення також може бути зображено десятковим числом за допомогою формули (1), наприклад:
10А,F16
= 1 * 162
+ 0 * 161
+ 10 * 160
+ 15 * 16-1
= (266
)16
.
У таблиці 2, для порівняння, наведені числа, що записані у різних позиційних системах числення.
Таблиця 2.
|
Система числення | ||||
|
Десяткова |
Вісімкова |
П’яткова |
Шістнадцяткова |
Двійкова |
|
N10 |
N8 |
N 5 |
N16 |
N2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0000 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0001 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
0010 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
0011 |
|
4 |
4 |
4 |
4 |
0100 |
|
5 |
5 |
10 |
5 |
0101 |
|
6 |
6 |
11 |
6 |
0110 |
|
7 |
7 |
12 |
7 |
0111 |
|
8 |
10 |
13 |
8 |
1000 |
|
9 |
11 |
14 |
9 |
1001 |
|
10 |
12 |
20 |
A |
1010 |
|
11 |
13 |
21 |
B |
1011 |
|
12 |
14 |
22 |
C |
1100 |
|
13 |
15 |
23 |
D |
1101 |
|
14 |
16 |
24 |
E |
1110 |
|
15 |
17 |
30 |
F |
1111 |
|
16 |
20 |
31 |
10 |
10000 |
|
17 |
21 |
32 |
11 |
10001 |
|
18 |
22 |
33 |
12 |
10010 |
|
19 |
23 |
34 |
13 |
10011 |
|
30 |
36 |
110 |
1Е |
11110 |
|
70 |
106 |
240 |
46 |
1000110 |
|
100 |
144 |
400 |
64 |
11001000 |
|
2989 |
5655 |
43424 |
BAD |
101110101101 |
Як видно із таблиці, число, що дорівнює основі системи числення, у любій системі числення кодується як 10.