3. Ланки другого порядку Диференціальне рівняння ланок другого порядку має вигляд

, (10)

де Т₁, Т₂ – сталі часу; k – коефіцієнт передачі.

Інтегрування рівняння (10) для =const дає рівняння кривої розгону у загальному вигляді

де сталі інтегрування, що визначаються з нульових початкових умов;₁ і ₂ – корені характеристичного рівняння, які вираховуємо за формулами

Якщо T₁2T₂, ланка називається коливною, а якщо T₁2T₂, то - аперіодичною ланкою другого порядку.

При умові T₁2T₂ корені характеристичного рівняння можна представити у вигляді . Тоді отримуємо наступне рівняння кривої розгону коливної ланки

(11)

де – ступінь стійкості, що характеризує заникання перехідного процесу;–кругова частота коливань.

Представляючи рівняння (11) графічно, одержуємо криву коливального характеру з поступово зменшуваними амплітудами, вісь коливань знаходиться на лінії (рис.5).

Якщо експериментальна крива розгону має вигляд, подібний до вказаного на рис. 5, це значить, що досліджуваний елемент можна представити коливною ланкою. Для знаходження її параметрів спочатку визначають величини  і за формулами

(12)

де t_П – період коливань; A₁, A₃ – дві сусідні амплітуди перехідного процесу одного знаку.

Маючи  і , за формулами (13) знаходимо сталі часу Т₁ і Т₂

(13)

Коефіцієнт передачі k коливної ланки знаходять за формулою (3), аналогічно як для аперіодичної ланки першого порядку за формулою (3).

Інтегрування рівняння (10) для випадку T₁>2T₂ дає аналітичне рівняння кривої розгону аперіодичної ланки у такому вигляді

(14)

Графічне представлення залежності (14) –це певна крива з точкою перегину, ординати цієї кривої при зростанні часу t прямують до значення (рис.6). Якщо експериментальна крива розгону має подібний вигляд і ордината точки перегину приблизно рівна 0,26, то досліджуваний елемент можна представити аперіодичною ланкою другого порядку. Параметри цієї ланки знаходять так.

Рис.6. Крива розгону аперіодичної ланки другого порядку

Через точку перегину М проводять вертикальну лінію і дотичну до експериментальної кривої розгону до перетину її з асимптотою . Відрізок між точками перетину цих ліній з асимптотою – це стала часу Т₁ (рис.6). Дійсно, для точки перегину маємо і, підставляючи в рівняння (10) t=t_M , одержуємо

З прямокутного трикутника з вершиною в точці М (див. рис. 6) одержуємо ідентичну залежність

що доводить описаний метод знаходження параметра Т₁.

Для знаходження сталої часу Т₂ інтегруємо рівняння (10) в межах від t=0 до t=t_M.

Підставляючи границі інтегрування і враховуючи початкові умови, одержуємо

де S – площа над кривою розгону в інтервалі часу [0, t_М], обмежена горизонтальною асимптотою x_вих() (див. рис. 6).

З останнього рівняння знаходимо

Отже, для знаходження Т₂ на основі експериментальної кривої розгону потрібно, крім відомих Т₁ і x_вих(t_M) знайти і площу S (див. рис.6).

Коефіцієнт передачі знаходять, як і для аперіодичної ланки першого порядку за формулою (3).

4. Реальна диференціююча ланка.

Диференціальне рівняння цієї ланки має вигляд

(15)

де Т_Д– час диференціювання; k – коефіцієнт передачі.

Розв’язок рівняння (15) для стрибкоподібної зміни вхідної величини =const і нульових початкових умовах дає аналітичне рівняння кривої розгону у вигляді

(16)

Графічно – це експоненціальна функція, яка для t=0 має значення x_вих(0)=kx_вх, а при зростанні часу прямує асимптотично до нуля (рис.7). На основі експериментальної кривої подібного вигляду знаходимо коефіцієнт передачі цієї ланки за формулою

(17)

Для знаходження значення часу диференціювання Т_Д можна використати всі описані вище способи знаходження сталої Т для аперіодичної ланки першого порядку, суть яких проілюстрована на рис. 7.