Криві розгону типових ланок

1. Аперіодична ланка першого порядку.

Диференціальне рівняння ланки має вигляд:

(1)

де Т – стала часу; k – коефіцієнт передачі; ,- відхилення вхідної та вихідної величини від номінальних значень.

Розв’язок цього рівняння для стрибкоподібної зміни вхідної величини =const при нульових початкових умовахявляє собою рівняння кривої розгону і має вигляд

(2)

Таким чином, крива розгону аперіодичної ланки першого порядку (див. рис. 3). – це експоненціальна крива, яка з часом t асимптотично прямує до значення .

Чим менше значення сталої часу Т, тим швидше вихідна величина досягає нового усталеного значення. З рівняння (2) видно, що для t=4T

,

тобто вихідна величина за час t=4T досягає кінцевого усталеного значення з похибкою менше, ніж 2%, а за час t=3T перехідний процес можна вважати практично закінченим з похибкою 5%.

Якщо експериментальна крива розгону елемента має вигляд, подібний до показаного на рис. 3, це означає, що даний елемент можна представити аперіодичною ланкою першого порядку. Коефіцієнт передачі цієї ланки знайдемо, розділивши значення відхилення вихідної величини x_вих() в стані рівноваги на значення стрибкоподібної зміни вхідної величини

. (3)

Для знаходження сталої часу Т можна застосувати різні способи.

1) Проводимо горизонтальну лінію на висоті до перетину з експериментальною кривою розгону. Абсциса цієї точки перетину – це і є стала часу Т .

Дійсно, для t=T з рівняння (2) одержуємо:

.

2) Проводимо дотичну до експериментальної кривої в точці t=0. Ця дотична відтинає на горизонтальній асимптоті x_вих() відрізок Т.

Дійсно, диференціюючи рівняння (2), одержуємо:

. (4)

Для моменту t=0 будемо мати

З іншої сторони, за геометричним змістом похідна це є тангенс кута нахилу дотичної до кривої розгону в нульовий момент часу (див. рис. 3)

.

Таким чином, відрізок часу, що відтинається цією дотичною на асимптоті і визначає сталу часу Т.

3) Через довільну точку А на експериментальній кривій розгону проводимо вертикальну лінію і дотичну до кривої, які на горизонтальній асимптоті x_вих() відтинають відрізок Т.

Дійсно, з диференціального рівняння (1), одержуємо значення похідної в момент часу для t=t_A

. (5)

З показаного на рис. 3 прямокутного трикутника з вершиною в точці А знаходимо

. (6)

Таким чином підтверджується справедливість даного способу знаходження сталої часу Т.

Це значення сталої часу Т, а також знайдене за формулою (3) значення коефіцієнта передачі k вважають параметрами лінійної моделі досліджуваного елемента. Побудована за рівнянням (2) крива розгону із знайденими значеннями k і Т повинна досить точно збігатися з експериментальною кривою розгону.

2. Інтегруюча ланка.

Диференціальне рівняння цієї ланки має вигляд:

(7)

де v_і – швидкість розгону.

Аналітичний вираз кривої розгону інтегруючої ланки знаходимо, інтегруючи рівняння (7) для стрибкоподібної зміни вхідної величини =const при нульових початкових умовах x_вих(0)=0

, (8)

де - стала часу розгону. Графічне представлення рівняння (8)– це пряма лінія, нахилена під кутом, тангенс якого дорівнює(див. рис. 4).

Маючи подібну експериментальну криву, неважко по ній визначити параметр апроксимуючої інтегруючої ланки. Для довільної точки А на експериментальній прямій знаходять її абсцису t_A і ординату x_вих(t_A), після чого вираховують швидкість розгону

(9)