6. Механiчнi коливання. Основнi формули

1. Диференціальне рiвняння гармонiчних коливань i його розв'язок

де; А - амплiтуда коливань;

_о - колова (циклiчна) частота власних коливань;

_о - початкова фаза коливань.

2. Рiвняння загасаючих коливань при врахуванні сили опору

де  - коефiцiєнт загасання ();

 - частота загасаючих коливань ().

3. Логарифмiчний декремент загасання

4. Диференційне рiвняння вимушених коливань i його розв'язок

5. Перiод коливань пружинного маятника

де m - маса тiла; k - жорсткiсть пружини.

6. Перiод коливань математичного маятника

де l - довжина маятника; g - прискорення вiльного падiння.

7. Період коливань фізичного маятника

де J – момент інерції маятника відносно точки її підвісу;

ℓ - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника

8. Довжина хвилі

9. Рівняння плоскої хвилі, яка поширюється вздовж осі x

де k – хвильове число ().

10. Густина потоку енергії, що переноситься хвилею (вектор Умова)

де w – об’ємна густина енергії хвилі.

1. Матеріальна точка, відносно положення рівноваги виконує гармонічні коливання вздовж деякої прямої з періодом Т = 0,4 с і амплітудою А = 0,1 м. Визначити середню швидкість <v> точки за час, протягом якого вона проходить шлях, що дорівнює першій половині амплітуди, другій половині і цілій амплітуді. (1,50 м/с; 0,75 м/с; 1,00 м/с)

2. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання вздовж горизонтальної прямої з періодом Т = 0,4 с і амплітудою А = 0,1 м, починаючи рух з крайнього положення. За який час, рахуючи від початку руху, точка пройде відстані S₁ = A/2 і S₂ = А? Визначити середню швидкість <v> на шляху S₁. (0,07 с; 0,10 с; 0,75 м/с)

3. Точка виконує гармонічні коливання за законом , деА = 0,04 м, Т = 4,35 с, φ = 0. Визначити швидкість v точки в момент часу, коли вона перебуває на віддалі x = 0,02 м від положення рівноваги. (0,05 м/с)

4. На тіло масою m = 2 кг діє сила, яка змінюється за законом F = F₀ cos ωt, де F₀ = 4,0 Н, ω = 1,57 с^-1. У момент часу t = 0 зміщення тіла від положення рівноваги x = 0 і швидкість v = 0. Показати, що такий рух є коливальним. Визначити період коливань Т, максимальне значення зміщення x_max і максимальне значення швидкості v_max. (4 с; 0,81 м; 1,3 м/с)

5. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох коливаннях одного напрямку, які описуються рівняннями x₁ = A cos ωt і x₂ = A cos 2ωt, де А = 0,25 м, ω = 4 с^-1. Визначити максимальну швидкість v_max точки. (2,73 м/с)

6. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання за законом x = A sin (ωt+φ) вздовж осі ox. Через час t₁ = 0,05 с від початку руху зміщення точки від положення рівноваги x₁ = 0,05 м, швидкість v₁ = 0,62 м/с, прискорення α₁ = -5,40 м/с². Визначити амплітуду А, циклічну частоту ω і початкову фазу коливань φ. Чому дорівнює зміщення x₀, швидкість v₀ і прискорення α₀ в початковий момент часу t = 0 ? (0,08 м; 10,4 с^-1; π/18; 0,01 м; 0,80 м/с; 1,47 м/с²)

7. Легкий стрижень може вільно обертатися навколо горизонтальної осі. На відстані S = 3 см від осі на ньому закріплено невелику кульку і потім на відстані d = 2 см одна від одної – ще дві такі самі кульки. Визначити період коливань цієї системи. (0,47 с)

8. На гладенькому горизонтальному столі лежить тіло масою m₁ = 10 кг, яке закріплено до стінки пружиною жорсткістю k = 250 Н/м. У тіло попадає куля масою m₂ = 0,01 кг і швидкістю v₂ = 500 м/с у напрямку осі пружини і застрягає в тілі. Визначити період Т коливань тіла та амплітуду А. (1,26 с; 0,1 м)

9. Матеріальна точка масою m = 0,1 кг виконує гармонічні коливання за законом x = 4 sin (2t + π/4) см. Визначити максимальну силу F_max, що діє на точку і повну енергію Е точки, що коливається. (16 мН; 320 мкДж)

10. Амплітуда гармонічних коливань матеріальної точки А = 0,12 м, повна енергія коливань Е = 6 мкДж. При зміщенні х від положення рівноваги на точку, що коливається, діє сила F = 50 мкН. Визначити величину зміщення х. (0,06 м)

11. Матеріальна точка бере участь одночасно у двох косинусоїдальних коливаннях одного напряму з однаковими амплітудами А = 0,025 м і однаковими періодами Т = 8 с. Різниця фаз між цими коливаннями φ₂ – φ₁ = π/4. Початкова фаза одного з цих коливань дорівнює нулю. Написати рівняння результуючого руху. (х = 0,046 cos (πt/4 + π/8))

12. Матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що описуються рівняннями x = sin ωt і y = 2 sin 2ωt. Визначити рівняння траєкторії точки та намалювати траєкторію. (16x⁴ - 16x² + y² = 0)

13. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що описуються рівняннями x = 2 cos πt/2 і y = -cos πt. Визначити рівняння траєкторії точки та намалювати траєкторію. ()

14. Амплітуда згасаючих коливань математичного маятника за час t₁ = 2 хв. зменшилась в n₁ = 3 рази. Визначити у скільки разів n₂ зменшиться амплітуда за час t₂ = 8 хв. (81 раз)

15. Математичний маятник довжиною ℓ = 0,16 м виконує коливання у середовищі, в якому коефіцієнт згасання δ = 0,4 с^-1.За певний час амплітуда коливань маятника зменшилася в n = 5 разів. Визначити цей час  і число коливань N, які виконав маятник. (4,02 с; 5,0)

16. Тіло масою m = 0,76 кг, яке підвішене до пружини жорсткістю k = 30 Н/м, виконує в деякому середовищі пружні коливання. Логарифмічний декремент коливань æ = 0,01. Через який проміжок часу Δt енергія коливань тіла зменшиться у n = 7,4 рази. (100 с)

17. Матеріальна точка виконує у вакуумі коливання з циклічною частотою ω₀ = 3,0 с^-1 і амплітудою А₀ = 0,16 м. У в’язкому середовищі циклічна частота її коливань стала рівною ω = 2,9 с^-1. Визначити амплітуду швидкості v_max точки у середовищі через час t = 2 с після початку руху. (0,10 м/с)

18. Вантаж масою m = 1 кг, який підвішений на пружині жорсткістю k = 100 Н/м, здійснює коливання у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 1 кг/с. На верхній кінець пружини діє вимушуюча сила, що змінюється за законом F = F₀ cos ωt, де F₀ = 0,2 Н. Визначити для даної коливної системи коефіцієнт згасання δ і резонансну амплітуду А_рез. (0,5 с^-1; 0,02 м)

19. Амплітуди вимушених гармонічних коливань дорівнюють одна одній при циклічних частотах ω₁ = 400 с^-1 і ω₂ = 600 с^-1. Визначити частоту ω_р, при якій амплітуда цих вимушених коливань є максимальна. (510 с^-1)

20. Тіло масою m = 0,05 кг здійснює згасаючі коливання з початковою амплітудою А₀ = 0,12 м, початковою фазою φ₀ = 0 і коефіцієнтом згасання δ = 2,0 с^-1. На це тіло почала діяти зовнішня періодична сила F, під дією якої встановилися вимушені коливання. Рівняння вимушених коливань має вигляд х = 0,10 cos(10πt – 3π/4) м. Знайти рівняння згасаючих коливань тіла і рівняння зовнішньої періодичної сили. ( )

21. Стрілка чутливого приладу коливається біля положення рівноваги. Її послідовні крайні положення такі: n₁ = 26,4; n₂ = 10,7, n₃ = 20,5. Знайти поділку, яка відповідає рівноважному положенню стрілки, якщо її декремент згасання є сталим у часі. (16,7)