Основні теоретичні відомості

Мірою інертності тіла при обертальному русу є момент інерції . Момент інерції тіла при обертальному русі відіграє таку ж роль, як маса при поступальному русі.

Моментом інерції матеріальної точки масою m відносно деякої осі ОО' (рис. 1) називається добуток маси точки на квадрат відстані від точки до цієї осі:

_. (6.1)

Будь яке фізичне тіло можна розглядати як сукупність матеріальних точок і визначати момент інерції тіла відносно заданої осі як суму моментів інерції всіх його точок

. (6.2)

де – загальне число матеріальних точок (атомів), з якого складається дане тіло. Для практичних обчислень моментів інерції потрібно від суми перейти до інтеграла:

. (6.3)

В загальному випадку, коли тіло має складну форму і густина тіла не є сталою по всьому об’єму тіла, інтеграл (3) береться досить складно. Але, якщо тіло однорідне, тобто, інтеграл (3) набуває вигляду:

. (6.4)

Момент інерції залежить від маси, розмірів, форми тіла, розташування осі обертання.

Рис. 6.1 До обчислення моменту інерції матеріальної точки

Якщо тіло має правильну форму, а вісь обертання проходить через центр маси тіла і є віссю симетрії тіла, інтеграл (4) береться досить просто.

Зокрема, для суцільних однорідних диска і циліндра момент інерції відносно осі, що збігається з віссю симетрії диска (циліндра), проведеною перпендикулярно до основи, визначається формулою:

, (6.5)

де – маса,– радіус диска (циліндра).

Для однорідної кулі радіуса масою момент інерції відносно осі, що проходить через центр маси:

. (6.6)

Для однорідного тіла кубічної форми відносно осі обертання, що проходить через центр маси і перпендикулярної до будь-якої грані:

. (6.7)

де - довжина ребра куба,- маса тіла.

Для однорідного прямокутного паралепіпеда, довжина ребер якого :

. (6.8)

тут і- довжина ребер перпендикулярних до осі обертання,- маса тіла. Вісь обертання паралельна до осі.

Використання крутильних коливань для визначення моменту інерції

Визначення моменту інерції неоднорідних тіл і тіл неправильної форми за допомогою інтегрування є складною задачею. У таких випадках моменти інерції визначають експериментально, зокрема, використовуючи метод крутильних коливань.

Суть методу крутильних коливань полягає в такому:

Якщо взяти будь-яке тіло, що закріплене на сталевому стрижні (дротині), і повернути його на деякий кут відносно осі стрижня, в ньому, внаслідок пружинної деформації кручення, виникне внутрішній момент сил

, (6.9)

який протидіє закручуючому моменту і протилежний йому за напрямком. Тут - модуль кручення стрижня. Якщо тіло відпустити, то під дією цього внутрішнього моменту сил тіло почне здійснювати крутильні коливання для яких є справедливим закон динаміки обертального руху

,

де – кутове прискорення,.

В нашому випадку диференціальне рівняння крутильних коливань матиме вигляд:

або

, . (6.10)

Розв’язком рівняння (6.10) є функція

, (6.11)

де - циклічна частота крутильних коливань.

Період крутильних коливань

. (6.12)

Із формули (6.12) видно, що, при відомому модулі кручення стрижня та виміряному експериментально періоді коливань, можна обчислити момент інерції тіла.

Для вимірювання момента інерції тіл використаємо крутильний маятник FРМ-05 з відомим значенням модуля кручення . Маятник складається з механічної частини (закріпленої на дротинах рамки), яка може здійснювати коливання, електромагніту, фотоелектричного датчика, універсального мілісекундоміра, який вимірює кількість коливаньі час коливань.

Конструкція рамки дозволяє закріплювати в ній досліджувані тіла. Період коливань рамки з тілом, враховуючи (6.12)

, (6.13)

де – момент інерції рамки;– момент інерції досліджуваного тіла, яке досліджується.

Момент інерції рамки маятника невідомий, тому не можна безпосередньо скористатись формулою (6.13) для обчислення моменту інерціїдосліджу- вального тіла.

Задача розв’язується, якщо спочатку визначити період коливань самої рамки маятника

, (6.14)

а потім визначити період коливань рамки із зафіксованим в ній тілом:

(6.15)

Із рівнянь (6.14) і (6.15) знаходимо або, звідси одержимо формулу для обчислення моменту інерції тіл:

(6.16)