elem_mat / L_08

ЛЕКЦІЯ

ПОКАЗНИКОВІ ТА ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ

Відомості із вищої математики. Для наближеного обчислення показникової і логарифмічної функцій можна використати такі розклади

,

Збіжність послідовності також маємо, якщо

Показникову функцію можна розкласти в ряд:

Збіжність ряду можна поліпшити, узявши

Значення логарифмів можна знайти з таких розкладів:

Узявши , дістанемо такий розклад:

Ці розклади можна використовувати в разі комплексних значень аргументів. В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.

8.1. Показникова функція

Наведемо деякі основні властивості показникової функції

1. . 5. .

2. . 6. .

3. . 7. .

4. .

Якщо , показникова функція зростає при всіх значеннях х; якщо , ця функція спадає при всіх значеннях х (див. рисунок).

8.2. Логарифмічна функція

Логарифмічна функція — це функція, обернена до показникової функції

Якщо , логарифмічна функція зростає при ; якщо , логарифмічна функція спадає при (див. рисунок).

Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число b:

Звичайно вважають, що

Основна логарифмічна тотожність:

Наведемо деякі властивості логарифмів.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. Формула переходу до нової основи :

.

8. .

9. .

10.

11. .

12. .

Доведення формул (8—11) випливає з формули (7).

8.3. Приклади перетворень логарифмічних виразів

Обчислити значення виразів (1—12).

1.

• .

2.

• .

3.

• .

4. .

• 

5.

• .

6. .

• .

7. .

• Позначимо , тоді ,

.

Остаточно маємо:

8.

• Позначивши , дістанемо:

.

Остаточно маємо:

.

9.

• .

10.

• .

11.

• 

12.

• 

13. Знайти , якщо .

• .

14. Дано: . Знайти .

• 

15. Знайти , якщо .

• Переходимо до основи х:

;

.

8.4. Способи розв’язання логарифмічних рівнянь

1. Перехід до спільної основи. Якщо в рівнянні маємо логарифми з різними основами, то переходимо до спільної основи.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• ,

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Переходимо до основи 5: Позна­чивши дістанемо звідки

.

2. Потенціювання. Якщо під знак логарифма входить сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв’язок неодмінно перевіряють.

Приклад. .

• Перейдемо до основи 2: .

Далі виконуємо потенціювання: .

Корінь не задовольняє рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

• За умовою маємо: звідки .

Корінь не задовольняє рівняння.

3. Логарифмування. Якщо в показник при невідомому входять логарифми невідомого, то звичайно обидві частини рівняння логарифмують.

Приклад. Розв’язати рівняння

• , .

Логарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10: .

4. Метод заміни змінної. Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння .

Позначимо

Приклад. Розв’язати рівняння

• Позначимо . Тоді

5. Розклад на множники. Рівняння подається у вигляді і кожний множник прирівнюється до нуля.

Приклад. Розв’язати рівняння

• 

Далі маємо:

Приклад. Розв’язати рівняння

.

• Позначивши , дістанемо рівняння , або , звідки маємо Прирівнюємо до нуля кожний множник:

1)

2)

Корінь не задовольняє рівняння.

6. Графічний спосіб розв’язування. Рівняння записують у вигляді . Далі будують графіки функцій і відшукують точки їх перетину, які визначають розв’язок рівняння.

Приклад. Розв’язати графічно рівняння .

• Графіки функцій перетинаються в точці . Маємо розв’язок .

Розв’язуючи логарифмічні рівняння здебільшого застосовують кілька способів їх перетворення.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Переходимо до основи 3:

.

Потенціюємо рівняння:

;

; .

Логарифмуємо рівняння за основою 3:

Приклад. Розв’язати рівняння

.

• Розглядаємо два випадки:

1) , тоді рівняння перетворюється на тотожність

звідки ;

2) , тоді .

Потенціюємо рівняння:

8.5. Способи розв’язування показникових рівнянь

1. Прирівнювання показників при однаковій основі

Із рівності випливає .

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Записавши рівняння у вигляді прирів­няємо показники при основі 2:

Далі маємо: .

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Прирівнюємо показники при основі 5:

, або Позначивши дістанемо:

.

Корінь не задовольняє рівняння.

2. Логарифмування рівняння

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Логарифмуємо обидві частини рівняння при основі 3:

,

.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.

.

3. Метод заміни змінної

Приклад. Розв’язати рівняння

• Позначивши , дістанемо:

;

.

Приклад. Розв’язати рівняння

• Позначивши , дістанемо ;

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Позначивши дістанемо: ; .

4. Однорідні рівняння

Рівняння можна переписати у вигляді

.

Виконавши заміну, , дістанемо рівняння .

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Перепишемо рівняння у вигляді: Виконавши заміну дістанемо , звідки .

Приклад. Розв’язати рівняння

• 

х ≈ 1,18681439.

Приклад. Розв’язати рівняння

• Запишемо рівняння у вигляді:

Позначивши , дістанемо:

.

5. Розклад рівняння на множники

Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Узявши , розкладемо рівняння на множники: . Далі маємо: ; . Роз­в’язавши останнє рівняння графічно, знаходимо корінь .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

• Узявши , згрупуємо члени з множниками :

.

Прирівняємо кожний множник до нуля:

1) 2) , ;

. Корінь не задовольняє рівняння.

8.6. Показниково-степеневі рівняння

Розглядається рівняння

.

Наведемо частинні випадки цього рівняння.

1) , функція існує.

2) , функції існують.

3) , , .

4) , а — цілі числа одинакової парності.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• 1. .

2. .

3. . Підставляючи в рівняння, дістаємо . Оскільки вираз не має сенсу, то корінь не задовольняє рівняння.

4. .

Приклад. Розв’язати рівняння .

• 1. .

2. .

3. — не задовольняє рівняння.

4. .

Деякі рівняння можна розглядати і як показникові, і як логарифмічні.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Потенціюємо обидві частини рівняння:

Позначивши , дістанемо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Переходимо до основи 3: .

Позначивши дістанемо звідки

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

1)

2) .

Приклад. Розв’язати рівняння .

•