elem_mat / L_07-2
.doc7.14. Системи тригонометричних рівнянь
Під час розв’язування систем тригонометричних рівнянь, часто є сенс вивести невідоме з-під знака тригонометричних функцій, скориставшись їхніми властивостями.
Приклад.
Розв’язати систему рівнянь
-
Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо систему рівнянь
або
Звідси маємо:
Додаючи
і віднімаючи почленно ці рівняння,
знаходимо невідомі
Приклад.
Розв’язати систему рівнянь
-
Щоб виключити
піднесемо обидві частини рівняння до
квадрата і додамо:
Розглядаємо два випадки:
1)
2)
Остаточно маємо:
Приклад.
Знайти всі значення
при яких система рівнянь
має розв’язки, і розв’язати її.
-
Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо:
Ці рівняння мають розв’язки, якщо виконуються нерівності:
Звідси
Отже, дістаємо систему рівнянь:
або
Додаючи і віднімаючи почленно рівняння останньої системи, знаходимо шукані розв’язки:
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
-
Перетворюємо перше рівняння:
Остаточно маємо систему:
звідки
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
-
Згідно з умовою маємо:
1)
2)
Значення
не задовольняє рівняння, а отже, дістаємо:
Приклад.
Розв’язати систему рівнянь
-
Позначивши
дістанемо
Переходячи до початкових позначень, знаходимо розв’язки даної системи:
1)
2)
Приклад.
Розв’язати систему рівнянь
-
Записавши друге рівняння системи у вигляді
,
дістанемо:
Звідси знаходимо розв’язки даної системи:
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
-
Відшукуємо розв’язки, розглядаючи такі випадки:
1)
2)
Приклад.
Розв’язати систему рівнянь
-
Згідно з умовою маємо:
1)
2)
Значення
не задовольняє систему, а отже, дістаємо:
-
Побудувати графіки обернених тригонометричних функцій.
-
Побудувати графіки тригонометричних функцій.
-
Основні найпростіші тригонометричні рівняння.
-
Рівність однойменних функцій.
-
Розв’язування лінійного рівняння.
-
Перетворення суми тригонометричних функцій на добуток і добутку тригонометричних функцій на суму.
Побудувати графіки функцій (1—6).
-
4.
-
5.
-
6.
Обчислити значення виразів (7—17). Відповідь
-
. -
. -
. -
. -
. 
-
. 
-
. 
-
. 
-
. 
-
. 
-
0
Довести рівність (18—22).
Розв’язати рівняння (23—48).
23.
24.
25.
26.
. 
27.
28.
. 
29.
30.
31.
. 
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Розв’язати рівняння і знайти корені, розміщені на заданих інтервалах (49—55).
49.
50.
. 
51.
. 
52.
. 
53.
. 
54.
. 
55.
. 
Розв’язати рівняння (56—93).
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
4
64.
65.
66.
. 
67.
. 
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
Скільки
розв’язків в інтервалі
має рівняння
3
95.
Скільки
розв’язків в інтервалі
має рівняння
10
96.
Розв’язати
рівняння
