2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої

1. Параметричні рівняння кривої в скалярній формі

Введемо в просторі прямокутну декартову систему координат. Нехай кожній точці відповідає число t. Цій точці на відповідає точкаР в просторі, . Тоді кожному відповідає точка Р, а їй відповідають три просторові координати ,,– функції відt:

(1)

Рівняння (1) називаються параметричними рівняннями кривої (в скалярній формі).

Окремі криві, які однозначно проектуються на деякий відрізок осі ОХ, можна задати особливо просто: або .

2. Параметричне рівняння кривої у векторній формі

При певному виборі декартової системи координат у просторі трійка функцій (1) однозначно визначає вектор-функцію

. (2)

Рівняння (2) називається параметричним рівнянням кривої у векторній формі. Крива визначається як годограф вектор-функції .

Параметричне задання кривої називається параметризацією.

Параметризація називається природною, якщо за параметр t прийнято довжину дуги s, причому .

Крива називається регулярною класу (), якщо існує така її параметризація , що і . Регулярну криву класу називаютьгладкою кривою. Якщо , то криву називаютьаналітичною.

Зауваження. Вимога існує в означенні регулярної кривої істотна.

Приклад. Розглянемо криву на площині:

, при .

Але це не означає, що крива не регулярна. Може статися, що існує краща параметризація цієї кривої.

Справді, візьмемо іншу параметризацію: .

для будь-якого .

Отже, крива регулярна.

Задача. Скласти параметричне рівняння гвинтової лінії – траєкторії руху точки, яка обертається навколо прямої з постійною кутовою швидкістю і одночасно переміщується в напрямі осі обертання зі сталою швидкістю.

Розв’язання. Приймемо вісь обертання за Oz і будемо вважати, що початкове положення рухомої точки М₀ знаходиться на осі Ox.

Вдовільний момент часу відстань точкиМвід осі обертання стала, отжеМрухається по прямому круговому циліндру (рис.7).

Нехай радіус циліндра а. Якщо t – час, то для кожної точки :. Отже:або

Відповідь:

3) Неявно задана просторова крива (як перетин двох поверхонь):

(3)

Застосовуючи теореми про неявні функції, можна показати, що рівняння (3) визначають регулярну елементарну криву в деякому околі її точки , якщо функціїнеперервні разом зі своїми частинними похідними в околі цієї точки і ранг матриців цій точці дорівнює 2.

2.3. Випадок плоскої кривої

Вважатимемо, що всі точки кривої γ належать деякій площині, наприклад, Оху , для якої . Тоді маємо такі способи аналітичного задання плоскої кривої.

а) Параметричні рівняння плоскої кривої в скалярній формі :

(1´)

б) Параметричне рівняння у векторній формі:

; (2´)

в) Явно задана плоска крива :

(3´)

г) Неявно задана плоска крива:

(4´)

Рівняння (4´) визначають регулярну елементарну криву в деякому околі її точки , якщо функціянеперервна разом зі своїми частинними похідними в околі цієї точки і в цій точці.

Контрольні питання до теми 2