Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Харківський національний педагогічний університет

імені Г.С. Сковороди

В.Д. Зоря, О.В. Коржова, Т.О. Горзій

КРИВІ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ

Курс лекцій

з навчальної дисципліни

«Диференціальна геометрія та топологія»

Навчальний посібник

Харків

2011

УДК514.752.2(042.4)

ББК 22.152.61я73

З 86

Затверджено редакційно-видавничою радою Харківського національного педагогічного університету імені Г.С. Сковороди

Протокол № 9 від 03.11.2011

Зоря В.Д. Криві в евклідовому просторі: Курс лекцій з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія». Навчальний посібник / В.Д. Зоря, О.В. Коржова, Т.О. Горзій – Харків: ХНПУ імені Г.С. Сковороди, 2011. – 87 с.

У посібнику наведено основний навчальний матеріал з теорії плоских і просторових кривих. Виклад теоретичного матеріалу супроводжується розв’язанням типових задач, до кожної теми запропоновано контрольні питання. Передбачено вхідний контроль знань і практичних дій з раніше вивчених курсів та тестовий контроль з теорії кривих.

Для студентів математичних спеціальностей педагогічних вищих навчальних закладів.

Рецензенти:

Білоусова Л.І. – кандидат фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри інформатики ХНПУ імені Г.С. Сковороди;

Завгородній О.І. – доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри вищої математики ХНТУСГ імені П.Василенка;

Процай В.Ф. – кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри математики ХНПУ імені Г.С. Сковороди

Видано за рахунок авторів

© Харківський національний педагогічний

університет імені Г.С. Сковороди

© Зоря В.Д., Коржова О.В., Горзій Т.О.

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………………………………………………......	4
Програма курсу «Диференціальна геометрія та топологія» ……………………..........	6
Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії…………………………………………………………………………………………	9
Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу…………………………………...	12
1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування………………………..	12
1.2. Вектор-функція скалярного аргументу………………………………………..	15
1.3. Границя вектор-функції………………………………………………………….	17
1.4. Неперервність вектор-функції…………………………………………………..	18
1.5. Похідна вектор-функції………………………………………………………….	19
1.6. Формула Тейлора…………………………………………………………………	22
1.7. Інтеграл від вектор-функції……………………………………………………..	23
1.8. Вектор сталої довжини…………………………………………………………...	24
Контрольні питання до теми 1……………………………………………………..	24
Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання……………..	26
2.1. Поняття кривої…………………………………………………………………….	26
2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої…………………………	30
2.3. Випадок плоскої кривої………………………………………………………….	32
Контрольні питання до теми 2……………………………………………………..	32
Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої……………………..	34
3.1. Дотична пряма просторової кривої…………………………………………….	34
3.2. Нормальна площина просторової кривої……………………………………...	38
3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої……………………………………………...	39
3.4. Стична площина кривої………………………………………………………….	40
3.5. Супровідний тригранник кривої……………………………………………......	44
Контрольні питання до теми 3……………………………………………………..	46
Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту	48
4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація………………………….	48
4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації……………………..	50
4.3. Кривина кривої в довільній параметризації…………………………………..	52
4.4. Кривина плоскої кривої…………………………………………………………..	54
4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації………………………..	54
4.6. Скрут кривої в довільній параметризації………………………………………	56
4.7. Формули Френе……………………………………………………………………	57
Контрольні питання до теми 4……………………………………………………...	58
Список використаної та рекомендованої літератури…………………………………….	59
Додаток 1. Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»…………….…………………………………..	61
Додаток 2. Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»………………………………………………...	65
Додаток 3. Тестовий контроль з теорії кривих…………………………………………….	75

ВСТУП

Даний курс лекцій призначений для студентів математичних спеціальностей педагогічних вищих навчальних закладів, для яких навчальними планами передбачено вивчення дисципліни «Диференціальна геометрія і топологія». Її основою є теорія плоских і просторових кривих – важливий розділ класичної диференціальної геометрії. Саме в теорії кривих вперше в диференціальній геометрії даються точні означення та поняття, вводяться геометричні характеристики поведінки кривих, формується геометрична інтуїція, яка потім розвивається і поглиблюється в процесі вивчення теорії поверхонь. Криві та поверхні здавна широко застосовуються в математиці, техніці, архітектурі, будівництві.

В процесі вивчення диференціальної геометрії інтегруються знання, отримані студентами під час вивчення курсів аналітичної геометрії, лінійної алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь. Тому для запобігання виникнення труднощів у студентів у ході вивчення та для успішного застосування елементів головних знань і практичних дій з раніше вивчених курсів дуже важливо забезпечити їх актуалізацію. Згадати те, що потрібно студентам для вивчення курсу, допоможе підготовка до обов’язкового вхідного контролю (додатки 1 і 2).

Свідоме і наполегливе опанування студентами теоретичним матеріалом є не тільки необхідною умовою успішного засвоєння даного курсу, розуміння його зв’язків з іншими навчальними дисциплінами і потребами людської практики, але й запорукою ефективної професійної діяльності в майбутньому. Саме глибоке розуміння сутності конкретного математичного методу, його особливостей і меж застосування, проникнення в сутність математичних понять і фактів, їх обґрунтування і логічних зв’язків формують математичне мислення і математичну культуру, без яких неможливе становлення майбутнього вчителя математики.

Бажано, щоб навчальна діяльність студента була зосереджена на усвідомленому сприйнятті теоретичного матеріалу на лекції, роботі над її текстом у позааудиторний час, самостійному оволодінні окремими питаннями курсу, на роботі з навчальною літературою, використанні понять, законів, теорем, формул у процесі розв'язування математичних задач. Опрацьовуючи теоретичний матеріал, важливо зосередитись на означенні основних понять, поясненні їх простими прикладами і наочними рисунками, встановленні зв’язків між введеними поняттями, доведенні основних теорем, розв’язанні наведених в навчальному посібнику типових задач.

Для підвищення уваги студентів до теоретичної частини курсу, створення умов для активізації систематичної самостійної діяльності студентів та її контролю до кожної теми запропоновано контрольні питання і тестові завдання.

Наведений теоретичний матеріал відповідає навчальній програмі з курсу «Диференціальна геометрія і топологія», розрахованій на 42 години лекційних та 22 години практичних занять. На вивчення теорії кривих передбачено по 10 годин лекційних та практичних занять.