1.3. Границя вектор-функції

Нехай вектор-функція визначена в деякому околі точки, крім, можливо, самої точки.Сталий векторназиваєтьсяграницею вектор-функції при, якщо різниця між ними є нескінченно малим вектором: , тобто

.

Теорема 1. Якщо границі вектор-функцій і скалярної функціїіснують, то

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Вектор-функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо існує її границя при , яка дорівнює значенню векторної функції в цій

точці: , тобто

.

Вектор-функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст вектор-функції , де

.

Теорема 2. Якщо вектор-функції і скалярна функціяf(t) визначені на множині U точок прямої і неперервні в точці , то в точціє неперервними їх сума та всі добутки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Теорема 3. Функція неперервна в точцітоді і тільки тоді, коли скалярні функції неперервні в цій точці.

Вектор-функція називається неперервною на множині U, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Нехай вектор-функція визначена в деякому околі точки.Похідною векторної функції у точці називається границя відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу, коли приріст аргументу наближається до 0:

,

якщо ця границя існує і скінченна за модулем.

Вектор-функція , яка має похідну в точці, називається диференційовною в точці t₀ .

Диференціалом векторної функції називається головна частина приросту векторної функції:.

Теорема 4. Нехай векторні функції ,, та скалярна функція f(t) визначені на та диференційовні в точці . Тоді в цій точці диференційовні сума та всі можливі добутки їх, причому:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Похідною другого порядку вектор-функціїназивається похідна вектор-функції:.

Регулярною вектор-функцією класу називається вектор-функція, яка на області визначення має неперервні похідні до -го порядку включно. Вектор-функція класу =1називається гладкою.