Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу

Векторно-координатний метод є одним з основних апаратів вивчення як теорії кривих, так і теорії поверхонь. Його складовими частинами є векторна алгебра і векторний аналіз. Векторна алгебра розглядає сталі вектори і запозичує назви дій над векторами (додавання, віднімання, множення) у звичайної алгебри. Векторний аналіз вивчає змінні вектори, для яких основні поняття й операції вводяться за аналогією з тими, які лежать в основі теорії границь, диференціального та інтегрального числення.

Нагадаємо спочатку основні факти векторної алгебри, які вивчались в курсі аналітичної геометрії.

1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування

Вектором(геометричним) називається напрямлений відрізок прямої, один кінець якого називається початком вектора, а інший – кінцем вектора.

Якщо початком вектора є точкаА, а кінцем точка В, то вектор позначають . Вектор позначають і однією буквою: . Довжина напрямленого відрізка називається модулем вектора. Вектори, розташовані на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Два вектори вважаються рівними, якщо вони колінеарні, мають рівні модулі і однаково напрямлені (рис.1). Отже, початкову точку вектора можна вибрати довільно. Такі вектори називаються вільними. Два колінеарні вектори, що мають рівні модулі, але напрямлені в протилежні сторони, називаються протилежними (рис.2). Вектори, які лежать в одній площині або паралельні одній і тій самій площині, називаються компланарними. Вектор, початок і кінець якого суміщаються, називається нульовим і позначається . Довжина нульового вектора дорівнює нулю, а напрям невизначений. Вважається, що він колінеарний і компланарний будь-якому вектору.

Над векторами виконуються такі операції.

а) Додавання векторів

Додавання двох векторів виконують за правилом паралелограма або правилом трикутника. Правило паралелограма (рис.3): якщо вектори івідкладені від спільного початку і на них побудовано паралелограм, то сумою векторів іназивається та напрямлена діагональ паралелограма, початок якої збігається зі спільним початком обох векторів. Правило додавання векторів, наведене на рис. 4, називаєтьсяправилом трикутника.

	Рис.3	Рис.4

З правила трикутника безпосередньо випливає правило многокутника для додавання трьох або більше векторів (рис.5).

Властивості додавання:

1°. ;

2°. ;

3°. ;

4°. .

б) Множення вектора на скаляр

Властивості множення вектора на скаляр:

1°. ;

2°. ;

3°. Орт вектора :

4°.

5°. – компланарні, ;

6°. – некомпланарні .

в) Скалярне множення

Позначення: – скалярний добуток.

, де та– координати в ортонормованому базисі векторіві відповідно.

Властивості скалярного множення:

1°. ;

2°. ;

3°. ;

4°. ;;

5°. .

г) Векторне множення

Позначення: – векторний добуток.

1) ; 2) ; 3) – права трійка.

Властивості векторного добутку:

1°.;

2°. ;;

3°. ;;

4°. ;;

5°. ;

6°. .

д) Мішане множення

–мішаний добуток.

Властивості мішаного добутку:

1°.

2°.

3°. ;

4°. – компланарні ;

5°. .