4.3. Кривина кривої в довільній параметризації

Нехай криву задано векторним рівнянням . Довжина дугиs є функцією параметра :, отжеє складеною функцією . Знайдемо другу похідну відпоs через похідні по t.

Для зручності домовимося похідні вектор-функції по натуральному параметру s позначати з крапкою (,і т.д.), а похідні подовільному параметру t – зі штрихом (,і т.д.).

; (14)

, звідки . (15)

З (14) маємо: , причому.

Враховуючи, що , одержимо.

Підставимо одержані вирази для ,,в (15):

.

Для обчислення кривини знайдемо.

Оскільки – одиничний вектор і його похіднаортогональна, томожна знайти як модуль векторного добутку:.

.

(16)

В скалярній формі маємо:

, де A, B, C – координати вектора , тобто

(16')

Задача. Знайти кривину гвинтової лінії

Розв’язання.

Отже ;;;

.

Таким чином, кривина гвинтової лінії є сталою величиною.

Відповідь: .

4.4. Кривина плоскої кривої

З формул (16) і (16') легко одержати формули для обчислення кривини плоскої кривої:

1) : ; . (17)

2) : . (17')

3) : вважаємо щоy є функцією від x, диференціюємо дане рівняння по x , звідки і ; далі знаходимо і підставляємо у формулу (17').

Для плоскої кривої можна визначити кривину зі знаком.

4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації

Кривина кривої є кількісною мірою відхилення кривої від прямої, а саме: від дотичної прямої.

Скрут – це кількісна міра відхилення кривої від площини, а саме: від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.

Положення стичної площини визначається нормальним вектором бінормалі . Швидкість зміни положенняхарактеризує скрут кривої аналогічно до того, як швидкість зміни вектора дотичної характеризує кривину.

НехайP – довільна точка кривої ,Q – точка , близька доP. Очевидно, що величина двогранного кута між стичними площинами в точках P і Q дорівнює величині кута між бінормалями в цих точках.

Позначимо:

кут між бінормалями в точках P і Q;

s – довжина дуги PQ кривої .

Абсолютним скрутом в точціP називається границя відношення кута повороту бінормалі на дузі, що стягується до даної точки, до довжини цієї дуги, тобто .

Теорема 9. Регулярна крива класу (тричі неперервно диференційовна) в кожній точці з відмінною від нуля кривиноюмає єдиний абсолютний скрут. Якщо– натуральна параметризація кривої, то абсолютний скрут дорівнює модулю похідної від одиничного вектора бінормалі поs : , (18) де – кривина кривої.

□ Розглянемо властивостівектора :

1) (бо – одиничний вектор, отже,);

2) (оскільки , з першої формули Френе (13):і

); (19)

3) отже , тому . Візьмемо в цій рівності знак мінус: .

(третя формула Френе). (20)

Таким чином .

Знайдемо тепер .,або.

Враховуючи (19), (13) і розглядаючи кривину k як функцію s , маємо:

.

Отже, .■

4.6. Скрут кривої в довільній параметризації

Нехай . Будемо вважати, щоі. Як і в знаходженні кривини, похідні вектор-функції по натуральному параметруs будемо позначати з крапкою (,і т.д.), а похідні по довільному параметруt зі штрихом (,і т.д.).

Для натуральної параметризації маємо: .

Виразимо похідні ,,поs через похідні ,,по параметруt .

Раніше було показано, що ;.

Для знаходження використаємо отриману вище в пункті 4.3 формулу:. Тоді, звідки.

Нагадаємо, що для довільної параметризації ,,, тому.

Таким чином, – абсолютний скрут в довільній параметризації.

Скрутом кривої називається величина , яка обчислюється за формулою: . (21)

В скалярній формі: (21')

Зауваження. Плоскі криві – це криві нульового скруту.

Задача. Знайти скрут гвинтової лінії

Розв’язання.

.

.

Мішаний добуток обчислимо як скалярний добутокі:

.

Тоді .

Таким чином, скрут гвинтової лінії є сталою величиною. Якщо – «правогвинтова нарізка»; якщо– «лівогвинтова».

Відповідь: .