Вспомогательная таблица.

Группы предприятий по размеру вооруженности труда основными фондами	14,5-15,8	15,8-17,4	17,4-19,8	19,8-23,3
Номер предприятия	28,21,1,15,29,5,16	24,22,17,19,6,11,30,7	10,2,9,3,13,23,14,20	18,25,8,12,27,4,26
Выпуск валовой продукции	322,1	594,6	747,6	936,6
Среднесписочная численность рабочих	5923,0	8956,0	9640,0	9970,0

Таблица 2.3.

Группа по вооруженности труда рабочих основными фондами	Число предприятий	Общий валовой объем продукции, млн. руб.	Среднесписочная численность рабочих, чел	Производительность труда, тыс. руб.	Изменение производительности по сравнению с 1-ой группой, %	Удельный вес, %
						По числу предприятий	По количеству рабочих
14,5-15,8	7	322,1	5923	54,38	100	23,33	17,17
15,8-17,4	8	594,6	8956	66,39	122,08	26,67	25,97
17,4-19,8	8	747,6	9640	77,55	142,61	26,67	27,95
19,8-23,3	7	936,6	9970	93,94	172,75	23,33	28,91
Итого	30	2600,9	34489			100	100

Зависимость производительности труда от уровня вооруженности основными фондами.

Вывод: из данных таблицы 5 следует, что с ростом вооруженности труда рабочих основными фондами увеличивается производительность труда. Так производительность труда рабочих второй группы, вооруженность труда которых от 15,8 до 17,4 тыс. руб. на 22,08 % превышает производительность труда рабочих первой группы, вооруженность труда которых от 14,5 до 15,8 тыс. руб.; производительность труда рабочих третьей группы, вооруженность труда которых от 17,4 до 19,8 тыс. руб. на 42,61 % превышает производительность труда рабочих первой группы; производительность труда рабочих четвертой группы, вооруженность труда которых от 19,8 до 23,3 тыс. руб. на 72,75 % превышает производительность труда рабочих первой группы.

3. Построить ряд распределения предприятий по объему основных производственных фондов, рассчитав величину интервала по формуле Стерджесса. Для построенного ряда определить показатели центра распределения, вариации, асимметрии. На основе эмпирического распределения рассчитать теоретическую кривую нормального распределения и при помощи критерия согласия Романовского проверить соответствие эмпирического распределения нормальному.

Дать графическое изображение эмпирического и теоретического нормального распределения. Сформулировать выводы.

Таблица 3.1.

Номер предприятия	Средняя стоимость основных фондов в марте, млн. руб.
	10,8
	23,4
	24,0
	33,0
	12,6
	19,8
	21,0
	28,5
	16,5
	23,4
	15,0
	29,7
	14,7
	27,0
	11,1
	12,9
	19,5
	30,0
	21,0
	25,5
	12,6
	16,8
	27,6
	18,9
	28,5
	32,4
	29,1
	17,4
	13,2
	15,3

Число групп определяется по формуле Стерджесса:

n= 1+3,322*lgn

N- общее число единиц совокупности, вN=30 (по условию задания)

n= 1+ 3,322*lg30= 5,906

n=6

Величину интервала группировки определяется по формуле:

i=R/m

R=x_max-x_min- размах колебания (варьирования) признака.

R=33,0 – 10,8=22,2

i= 22,2 /6= 3,7

Таблица 3.2.

Ряд распределения предприятий по объему основных производственных фондов.

Группы предприятий по объему основных производственных фондов	Номер предприятия	Средняя стоимость основных фондов в марте
млн. руб.		млн. руб.
10,8 - 14,8	1	10,8
	15	11,1
	5	12,6
	21	12,6
	16	12,9
	29	13,2
	13	14,7
14,8 - 18,8	11	15,0
	30	15,3
	9	16,5
	22	16,8
	28	17,4
18,8 - 22,8	24	18,9
	17	19,5
	6	19,8
	7	21,0
	19	21,0
22,8 - 26,8	2	23,4
	10	23,4
	3	24,0
	20	25,5
26,8 - 30,8	14	27,0
	23	27,6
	8	28,5
	25	28,5
	27	29,1
	12	29,7
	18	30,0
30,8 - 34,8	26	32,4
	4	33,0
ИТОГО	30	631,2

Таблица 3.3.

Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации.

группы предприятий по объему основных производственных фондов, млн. руб.	центр интервала, млн. руб.	частота (количество предприятий в группе)	d=x'-хср	dˆ²	dˆ²*f	|d|*f	Накопленные частоты
x	x'	f					S
1	2	3	4	5	6	7	8
10,8 - 14,8	12,8	7	-8,7	75,7	529,8	60,9	7
14,8 - 18,8	16,8	5	-4,7	22,1	110,5	23,5	12
18,8 - 22,8	20,8	5	-0,7	0,5	2,4	3,5	17
22,8 - 26,8	24,8	4	3,3	10,9	43,6	13,2	21
26,8 - 30,8	28,8	7	7,3	53,3	373,0	51,1	28
30,8 - 34,8	32,8	2	11,3	127,7	255,4	22,6	30
ИТОГО		30	7,8	290,1	1314,7	174,8

К показателям центра распределения относятся:

1. средняя арифметическая взвешенная

2. Мода

3. Медиана

1. Средняя арифметическая для интервального ряда распределения определяется по формуле:

_

x = (x' *f) /f,

где x' - середина соответствующего интервала значения признака.

_

x =(12,8*7+16,8*5+20,8*5+24,8*4+28,8*7+32,8*2)/30=21,5

2. Мода - наиболее часто встречающееся значение признака. В интервальном ряду определяется модальный интервал (имеет наибольшую частоту). Значение моды определяется по формуле:

f_Mо-f_{( - 1)}

Мо = x_Mо+h*

(f_Mо-f_{(Мо - 1)} ) + (f_Mо-f_{(Мо + 1)} )

x_Mо- нижняя граница модального интервала,

f_Mо- частота модального интервала,

f_{( - 1)} - частота интервала, предшествующего модальному,

f_{( + 1)}- частота интервала, следующего за модальным,

h– величина интервала.

Модальным интервалом будет [10,8-14,8), так как здесь находится наибольшее количество предприятий. Нижняя граница этого интервала 10,8, его частота 7, предмодальная частота 0, послемодальная частота 5.

Mo=10,8+4(7/[7-5]+7)=13,9

3.Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

N_Me= (n+ 1)/ 2

n- число единиц совокупности.

N_Me = (30+1)/2 = 15,5

Численное значение медианы определяется по формуле:

N_Me - S_(-1)

Ме = x_Me + i*

f_Me

x_Me- нижняя граница медианного интервала,

S_(-1)- накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

i- величина интервала,

f_Me- частота медианного интервала.

Медианным является интервал [22,8-26,8), поскольку его накопленная частота равна 21, что превышает половину суммы всех частот ((30/2)=15). Нижняя граница этого интервала 22,8, его частота 4, накопленная до него 17, величина интервала (26,8-22,8)=4.

Ме=22,8+4*((30+1)/2-17)/4)=21,3

3.среднее линейное отклонение:

_ _

d= (|x' -x|*f)/f= 5,83

4.среднее квадратическое отклонение и дисперсия:

______________

   d²*f/fи²d²*f/f

_______

=1536/30=6,62,²= 43,82

Наиболее часто употребляемый относительный показатель - коэффициент вариации: если он не превышает 33%, то совокупность считается однородной.

_

(/x)* 100%.

30,8%

Как видно из расчета, данная совокупность является однородной

Симметричным является распределение, в котором частоты двух любых вариантов, равноотстоящих по обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Рассчитаем относительный показатель асимметрии:

(21,5-13,9)/6,62=1,15

Он принимает положительное значение, это говорит о правосторонней асимметрии, поскольку больше 0,5, то асимметрия значительная.

Таблица 3.4.

Вспомогательная таблица для расчета теоретических частот нормального распределения.

группы предприятий по объему основных производственных фондов, млн. руб.	частота (количество предприятий в группе)	центр интервала, млн. руб.	t=(X'-Xcp.)/σ	e^(-t^2/2) √2π	округленные теоретические частоты	f - f'	(f -f')^2/f'
x	f	x'			f'
1	2	3	4	5	6	7	8
10,8 - 14,8	7	12,8	-1,314	0,1691	3,1	3,9	5,070
14,8 - 18,8	5	16,8	-0,710	0,3101	5,6	-0,6	0,067
18,8 - 22,8	5	20,8	-0,106	0,3970	7,2	-2,2	0,665
22,8 - 26,8	4	24,8	0,498	0,3538	6,4	-2,4	0,902
26,8 - 30,8	7	28,8	1,103	0,2179	3,9	3,1	2,368
30,8 - 34,8	2	32,8	1,707	0,0940	1,7	0,3	0,052
ИТОГО	30					2,1	9,124

Для ответа на поставленный вопрос прежде всего исчисляются теоретические частоты нормального распределения по формуле f'=((n*i)/σ)*e^(-t^2/2)/√2π, где t-нормированное отклонение, t=(x -x)/σ.

_

Х=(∑ƒx'/∑ƒ)=(12,8*7+16,8*5+20,8*5+24,8*4+28,8*7+32,8*2)/30=21,5

________ _______

σ=√∑d²·ƒ/∑ƒ=√1536/30=6,62

f'=30*4/ 6,62 = 18,1

Находим критерий согласия ("хи-квадрат") по К. Пирсону: χ² = ∑((ƒ-ƒ')ˆ²/ƒ'); χ² = 9,124.

Оцениваем близость эмпирического распределения кривой нормального распределения по отношению В.И. Романовского: (χ² -(m-3))/√2·(m-3);где m - число групп.

(9,124-(6-3))/√2·(6-3)=6,124/2,45=2,5. Так как 2,5 < 3 следовательно гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

4. Используя ранее выполненную группировку предприятий по стоимости основных фондов (пункт 3), проверить правило сложения дисперсий по объему выработанной валовой продукции в марте. Сформулировать практическое значение полученных результатов.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности данных. Она определяется по формуле:

Для расчета общей дисперсии составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты помещены в следующей таблице.

Таблица 4.1.