7. (6) Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества Дано:

Так как ни один столбец не доминирует над другим, оставляем все без изменений.

Рассмотрим варианты: первый играет по смешанной стратегии, а второй по чистой. Подсчитаем математическое ожидание выигрыша:

M₁X=1*x*1+(-2)*(1-x)*1

M₂X=-2*x*1+1*(1-x)*1

M₃X=-4*x*1+2*(1-x)*1

M₄X=3*x*1+(-3)*(1-x)*1

Графическое решение:

На рисунке ищем верхнюю точку нижней огибающей. Это точка М. Точка М показывает цену игры и оптимальную стратегию первого игрока.

Точка М находится на пересечении прямых 1 и 3:

x-2(1-x) = -4x+2(1-x)

x-2+2x = 4x+2-2x

3x+6x = 4

x = 4/9

x^*- оптимальная смешенная стратегия первого игрока.

x^* = (4/9; (1-4/9))

x^* = (4/9; 5/9)

γ- цена игры

γ = 4/9-2+2*4/9=12/9-18/9=-2/3

Так как точка М лежит на пересечении 1-го и 3-го выражения, то оптимальную смешенную стратегию для 2-го игрока будим выбирать в виде:

0<=q<=1

Рассмотрим варианты, когда второй игрок играет в смешанных стратегиях, а первый в чистых.

Можно рассмотреть два варианта, т.к. X^*1 = 4/9 > 0

X^*2 = 5/9 > 0

Можно выбрать любой из них:

M₁(q)=1*q*1-2*0*1-4*(1-q)*1+3*0*1 = q-4*4q

M₁(q)= γ

q-4*4q = -2/3

5q = 10/3

q = 2/3

Так как в этой задаче четыре вероятности больше 0, то существует пять вариантов игры, для которых мат. ожидание выигрыша первого игрока одно и то же и равно цене игры.

Вот эти варианты:

M(P^*;Q^*)=M((1;0);Q^*)=M((0;1);Q^*)=M(P^*(1;0;0;0)= M(P^*(0;0;1;0)= γ=-2/3

1. M(P*;Q*)= γ=-2/3

P*=(4/9;5/9)

Q*=(2/3;0;1/3;0)

x	1	-2	-4	3	-2	1	2	-3
p	8/27	0	4/27	0	10/27	0	5/27	0

DX₁=MX₁²-(MX₁)²

MX₁= γ=-4/3

MX₁²=8/27+16*4/27+4*10/27+4*5/27 = 8/27+64/27+40/27+20+27 = 132/27

DX₁=132/27-(-2/3)² = 44/9-4/9 = 40/9

σX₁=√DX₁=√49/9 ≈ 2,11

2) P*=(1;0)

Q*=(2/3;0;1/3;0)

x	1	-2	-4	3	-2	1	2	-3
p	2/3	0	1/3	0	0	0	0	0

DX₂=MX₂²-(MX2)²

MX₂= γ=-2/3

MX₂²=2/3+16*1/3 = 18/3 = 6

DX₂=6-4/9 = 50/9

σX₂=√DX₂=√50/9 ≈ 2,36

3. P*=(0;1)

Q*=(2/3;0;1/3;0)

x	1	-2	-4	3	-2	1	2	-3
p	0	0	0	0	2/3	0	1/3	0

DX₃=MX₃²-(MX₃)²

MX₃= γ=-2/3

MX₃²=4*2/3+4*1/3 = 8/3+4/3 = 12/3 = 4

DX₃=4-4/9 = 32/9

σX₃=√DX₃=√32/9 ≈ 1,88

3. P*=(4/9;5/9)

Q*=(1;0;0;0)

x	1	-2	-4	3	-2	1	2	-3
p	4/9	0	0	0	5/9	0	0	0

DX₄=MX₄²-(MX₄)²

MX₄= γ=-2/3

MX₄²=4/9+4*5/9 = 4/9+20/9 = 24/9

DX₄=24/9-4/9 = 20/9

σX₄=√DX₄=√20/9 ≈ 1,49

5) P*=(4/9;5/9)

Q*=(0;0;1;0)

x	1	-2	-4	3	-2	1	2	-3
p	0	0	4/9	0	0	0	5/9	0

DX₅=MX₅²-(MX₅)²

MX₅= γ=-2/3

MX₅²=16*4/9+4*5/9 = 64/9+20/9 = 84/9

DX₅=84/9-4/9 = 80/9

σX₅=√DX₅=√80/9 ≈ 2,98

Вариант игры, в котором риск наибольший соответствует наибольшей конкуренции, а вариант, в котором риск наименьший соответствует наибольшему сотрудничеству, наибольшая конкуренция достигается в 5-ом варианте, когда первый играет по смешенной стратегии, а второй выбирает третий столбец.

Наибольшее сотрудничество достигается в 4-ом варианте, когда первый играет по смешанным стратегиям, а первый выбирает первую чистую стратегию.

31