5. (14) Матричная модель производственной программы

Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает x_j единиц продукции, из которых y_j единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.

Пусть a_jk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха.

Числа a_ij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной.

0,2 0 0,1 6 0 8

А = 0,1 0 0,3 B = 3 0 5 0 0,2 0,1 20 30 15

0,1 0,2 0

Производственная программа предприятия представляется вектором X(x₁, … , x_n), а выпуск товарной продукции – вектором У(у₁, … , у_n), где

	70
У =	80
	50

Очевидно,

(Е - А)Х = У или Х = (Е - А)^-1У.

Элементы любого столбца матрицы (Е - А)^-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.

Найдем (Е - А)^-:

Вначале подсчитаем (Е-А):

	1	0	0
Е – А =	0	1	0	——
	0	0	1

0,2	0	0,1		0,8	0	-0,1
0,1	0	0,3	=	-0,1	1	-0,3
0	0,2	0,1		0	-0,2	0,9

Q = (Е - А) ^-1=

0,8	0	-0,1	1	0	0
-0,1	1	-0,3	0	1	0
0	-0,2	0,9	0	0	1
0,8	0	-0,1	1	0	0
-0,1	1	-0,3	0	1	0
-0,02	0	0,84	0	0,2	1
-8	0	1	-10	0	0
-2,5	1	0	-3	1	0
6,7	0	0	8,4	0,2	1
0	0	1	0,0299	0,2388	1,194
0	1	0	0,1343	1,0746	0,3731
1	0	0	1,2537	0,0299	0,1493
Переносим строчки
1	0	0	1,2537	0,0299	0,1493
0	1	0	0,1343	1,0746	0,3731
0	0	1	0,0299	0,2388	1,194

Итак, полученная матрица коэффициентов полных затрат:

		1,2537	0,0299	0,1493
(Е - А)-1	=	0,1343	1,0746	0,3731
		0,0299	0,2388	1,194

При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х. X=Q*Y

	1,2537	0,0299	0,1493		70		97,6119
Х =	0,1343	1,0746	0,3731	*	80	=	114,0299
	0,0299	0,2388	1,194		50		80,8955

Дополним структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п.:

	6	0	8
В =	3	0	5
	20	30	15
	0,1	0,2	0

Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, где

H=B*(Е - А) ^-1=B*Q

	6	0	8		1,2537	0,0299	0,1493		7,7612	2,0896	10,4478
H=	3	0	5	*	0,1343	1,0746	0,3731	=	3,9104	1,2836	6,4179
	20	30	15		0,0299	0,2388	1,194		29,5522	36,4179	32,0896
	0,1	0,2	0						0,1522	0,2179	0,0896

S =В * (Е - А)^-1У=B*H

	6	0	8		97,6119		1232,8358
S =	3	0	5	*	114,0299	=	697,3134
	20	30	15		80,8955		6586,5672
	0,1	0,2	0				32,5672