4. (4) Динамическое программирование

Динамическое программирование. Решить задачу распределения капитальных вложений между предприятиями производственного объединения.

Динамическое программирование - это вычислительные методы для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Пусть производственное объединение состоит из четырех предприятий (k=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 т. руб. (b = 700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 т. руб. Значения функций fj(xi) приведены в таблице 2

Прежде всего, заполняем табл. № 3. Значения складываем со значениями F₁(ζ –x₂) = f₁ (ζ – x₂) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой. Продолжая процесс, табулируем функции F₃(ζ), x₃(ζ) и т.д.

Надо выбрать такое значение чтобы сумма была максимальна

Рекуррентное соотношение F_k (ζ)=max{f_k (x_k)+f_k-1(ζ -x_k}

В таблице №7 заполняем только диагональ для значения ζ = 700. Наибольшее число на этой диагонали: Zmax = 237 тыс. руб.

Таблица 2

Xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1 (x1)	0	15	25	40	50	62	73	82
f2 (x2)	0	30	49	63	69	68	62	55
f3 (x3)	0	50	68	82	92	100	107	112
f4 (x4)	0	83	105	114	116	116	116	116

Таблица 3

	F1(ξ- X2)	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(X2)		0	15	25	40	50	62	73	82
0	0	0	15	25	40	50	62	73	82
100	30	30 *	45	55	70	80	92	103
200	49	49 *	64 *	74	89 *	99	111
300	63	63	78 *	88	103 *	113 *
400	69	69	84	94	109
500	68	68	83	93
600	62	62	77
700	55	55

Таблица 4

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(ξ)	0	30	49	64	78	89	103	113
X2(ξ)	0	100	200	200	300	200	300	300

Таблица 5

	F2(ξ- X3)	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(X3)		0	30	49	64	78	89	103	113
0	0	0	30	49	64	78	89	103	113
100	50	50 *	80 *	99 *	114	128	139	153
200	68	68	98	117 *	132 *	146 *	157
300	82	82	112	131	146 *	160 *
400	92	92	122	141	156
500	100	100	130	149
600	107	107	137
700	112	112

Таблица 6

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(ξ)	0	50	80	99	117	132	146	160
X3(ξ)	0	100	100	100	200	200	200,300	300

Таблица 7

	F3(ξ- X4)	0	100	200	300	400	500	600	700
F4(X4)		0	50	80	99	117	132	146	160
0	0								160
100	83							229
200	105						237 *
300	114					231
400	116				215
500	116			196
600	116		166
700	116	116

Zmax = 237

Обратный ход

X4=200

S3=S4-X4=700-200=500

По таблице для F3(ξ) при S3=500 находим X3=200

S2=S3-X3=500-200=300

По таблице для F2(ξ) при S2=300 находим X2=200

S1=S2-X2=300-200=100

X1=100

Проверка

f1(x1)+ f2(x2)+ f3(x3)+ f4(x4)=15+49+68+105=237

Вариант размещения капитала

Предприятия №1 –100 тыс.руб-прибыль=15 тыс.руб

Предприятия №2 -200 тыс.руб-прибыль=49 тыс.руб

Предприятия №3 -200 тыс.руб-прибыль=68 тыс.руб

Предприятия №4 -200 тыс.руб-прибыль=105 тыс.руб

При данном распределении капитальных вложений прибыль будет максимальна и равна 237 тыс.руб