Расшивка узких мест производства
При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют "узкие места производства". Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t1,t2,t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие Н + Q-1T>=0.
Задача состоит в том, чтобы найти вектор Т (0, t2 , t3) максимизирующий суммарный прирост прибыли (т. к. y1=0 то t1=0)
W = 7 t2 +5 t3
при
условии сохранения двойственных оценок
ресурсов (и, следовательно, структуры
производственной программы) и выделении
не более 1/3 t2
иt3
ресурсов
|
1 |
-1,5 |
1,75 |
|
0 |
0,5 |
-0,75 |
|
0 |
0 |
0,5 |
8 0
0 24
+
* t2 
0
40 t3 0
причем
по смыслу задачи t2
0
,t3
0
Составим систему уравнений для графического решения
1
,5*
t2
-1,75*
t3
8
(1)точки (0;
-4
);
(5
;0)
-0,5*
t2
+0,75*
t3
24
(2) точки (0;32);
(-48;0)
-1,5*
t3
40
(3) t3
= -80
t2
,
(4) t3
приходим к задаче линейного программирования
Эту задачу решим графически:
1
,5*
t2
-1,75*
t3
=8
t3
1,5*
t2
-1,75*
=8
1,5*
t2
=
=> t2
=16
Программа "расшивки" имеет вид
t1
=0, t2
=16, t3=26
и прирост прибыли составит 388
W=
7 t2
+5
t3
=7*16+5*26
=388
При новом плане выпуска продукции
X5
н =-1,5*
16
+1,75* 26
+8=0
X3
н =0,5*
16
-0,75* 26
+24=22
X1
н =1,5*
16
+40=53
Z
н
=31*53
+14*22
=1964
Z
н
=1576+388
=1964
Графическое решение
Сводка результатов приведена в таблице
|
сj |
31 |
10 |
14 |
20 |
b |
x4+i |
yi |
ti |
|
|
1 |
4 |
3 |
4 |
120 |
0 |
0 |
0 |
|
aij |
3 |
0 |
2 |
2 |
168 |
8 |
7 |
16 |
|
|
2 |
5 |
0 |
3 |
80 |
0 |
5 |
26 |
|
xj |
40 |
0 |
24 |
0 |
1576 |
|
|
388 |
|
j |
0 |
15 |
0 |
9 |
|
|
|
|
3. (3) Транспортная задача
Дано:
Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах a1,a2,…..am единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b1,b2,….bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна cij и известна для всех маршрутов.
1 4 2 4 45
C= 3 4 3 2 A= 50 B= (31,40,44,20)
4 5 6 3 53
A - вектор объемов производства
B - вектор потребностей потребителей
C - матрица транспортных издержек
Найти: оптимальное решение транспортной задачи (необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными)
Решение:
Обозначим через xij количество груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю.
--открытая модель
транспортной задачи
математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:
найти план перевозок
Х
=(xij),
i= 1,m; j = 1,n
минимизирующий общую стоимость всех перевозок
L=
cij*xij
при условии, что из любого пункта производства вывозится продукции меньше, чем имеется у поставщиков
Xij
ai
, i=
1,m
Так
как общий объем производства
45+50+53=148
больше суммарных запросов всех
потребителей
45+50+53=148
т.е. имеем открытую модель транспортной
задачи, то для сведения задачи к замкнутой
модели введем фиктивного потребителя
и, считая, что поставщики равноправны,
все тарифы на поставки продукта фиктивному
потребителю положим равными нулю, то
есть С15=0,
С25=0,
С35=0
, при этом В5=13 (148-135=13)
Первое базисное допустимое решение строим по правилу "северо-западного угла.
|
Потребление |
b1=31 |
b2=40 |
b3=44 |
b4=20 |
b5=13 |
Р |
|
Производство | ||||||
|
45 |
31 1 |
14 4 |
3 |
4 |
0 |
P1= 0 |
|
50 |
3 |
|
|
2 |
0 |
P2= 0 |
|
53 |
4 |
|
20 6 |
20 3 |
13 0 |
P3= 4 |
|
|
Q1=1 |
Q2=4 |
Q3=2 |
Q4= -1 |
Q5 = -4 |
|
26
4
24
2
5
Принимаем Р1 = 0 и из отношения P = C - Q находим все последующие значения P и Q.
P1+Q1-C11=0
0 + Q1
– 1 = 0
Q1=1
P1+Q2-C12=0
0 + Q2
– 4 = 0
Q2=4
P2+Q2-C22=0
P2
+
4 – 4 = 0
P2=0
P2+Q3-C23=0
0 + Q3
– 2 = 0
Q3=2
P3+Q3-C33=0
P3+
2 – 6 = 0
P3=4
P3+Q4-C34=0
4 + Q4
– 3 = 0
Q4=-1
P3+Q5-C35=0
4 + Q5
– 0 = 0
Q5=-4
Затем по формуле ∆ij = Pi + Qj - Cij вычисляем оценки всех свободных клеток;
Для найденных свободных клеток строим цикл пересчета - замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные - в занятых клетках. Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета. Продолжаем процесс до тех пор, пока не придем к таблице, для которой все ∆ij>0
|
Δ13=2+0-3= -1 |
Δ25= -1+0-0= -1 |
|
Δ14= -1+0-4= -5 |
Δ31=1+4-4= -1 |
|
Δ15= -1+0-0= -1 |
Δ32=4+4-5=3 |
|
Δ21=1+0-3= -2 |
|
|
Δ24= -1+0-3= -2 |
|
Находим наибольшую положительную оценку max(Δij>0)= 3 = Δ32
Цикл перерасчета 32-22-23-33
|
6 |
44 |
|
20 |
|
|
26 |
24 |
|
. |
20 |
|
26-ρ |
24+ρ |
|
ρ |
20-ρ |
|
Потребление |
b1=31 |
b2=40 |
b3=44 |
b4=20 |
b5=13 |
Р |
|
Производство | ||||||
|
45 |
31 1 |
14 4 |
3 |
4 |
0 |
P1= 0 |
|
50 |
3 |
6 4 |
44 2 |
2 |
0 |
P2= 0 |
|
53 |
4 |
20 5 |
6 |
20 3 |
13 0 |
P3= 1 |
|
|
Q1=1 |
Q2=4 |
Q3=2 |
Q4= 2 |
Q5 = -1 |
|
P1+Q1-C11=0
0 + Q1
– 1 = 0
Q1=1
P1+Q2-C12=0
0 + Q2
–
4 = 0
Q2=4
P2+Q2-C22=0
P2
+ 4 – 4 = 0
P2=0
P2+Q3-C23=0
0 + Q3
– 2 = 0
Q3=2
P3+Q2-C32=0
P3
+
4 – 5 = 0
P3=1
P3+Q4-C34=0
1 + Q4
– 3 = 0
Q4=2
P3+Q5-C35=0
1 + Q5
– 0 = 0
Q5=-1
|
Δ13=2+0-3= -1 |
Δ25= -1+0-0= -1 |
|
Δ14=2+0-4= -2 |
Δ31=1+1-4= -2 |
|
Δ15= -1+0-0= -1 |
Δ33=2+1-6= -3 |
|
Δ21=1+0-3= -2 |
|
|
Δ24=2+0-2=0 |
|
В
данной таблице все ∆ij
0, i = 1,m; j = 1,n .
Данное базисное решение будет оптимальным
31 14 0 0
X = 0 6 44 0
0 20 0 20
L=
cij*xij
= 31*1+14*4+6*4+20*5+44*2+20*3=359
(Zоптимальное)
Zопорное = 31*1+14*4+26*4+24*2+20*6+20*3+13*0 = 31+56+104+48+120+60 = =419
∆Z = Zопорн. – Zmax = 419-359 = 60 (ед.)