Графическое решение

Проверим полученный результат.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе Х₂=0, Х₄=0. Предположим, что первую и вторую продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

Z = 31X₁ + 14X₃ max

1X₁ + 3X₃ 120 (1)

3X₁ + 2X₃ 168 (2)

2X₁ + 0X₃ 80 (3)

X₁ 0, X₃ 0

1) 1X₁ + 3X₃ = 120

X₁=0 X3=40

X3=0 X1=120

2) 3X₁ + 2X3=168

X1=0 X3=84

X3=0 X1=56

3) 2X1<=80

Решая эту задачу графически, получим следующее:

Точка M лежит на пересечении прямых (2) и (3)

3X₁ + 2X₃ = 168

2X₁ = 80

2X₁ = 80 => X₁ = 40

3*40+2X₃ = 168

2X₃ = 168-120

2X₃ = 48

X₃ = 24

Ответ Х₁=40, Х₃=24,

Вывод: решение в симплексной таблице верно

2. (2) Решение методом первой и второй теоремы двойственности

Дано:

1 4 3 4 120

A= 3 0 2 2 B= 168 C= (31,10,14,20)

2 5 0 3 80

A - удельный расход приходящийся на единицу продукции

B – запасы ресурсов

C - удельная прибыль приходящаяся на единицу продукции

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 1 единицу ресурса первого вида, 3 единицы ресурса второго вида и 2 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах y₁, у₂, у₃ наши затраты составят y₁ + 3у₂ +2y₃, т.е. столько заплатит предприниматель за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 31 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением предпринимателя П только в том случае, если он заплатит не меньше

y₁ + 3 у₂ + 2 y₃ 31

4 y₁ + 5 y₃ 10

3 y₁ + 2 у₂ 14

4 y₁ + 2 у₂ + 3 y₃ 20

Поэтому перед предпринимателем П мы ставим такие условие по всем видам продукции. Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

120у₁ + 168у₂ +80у₃ рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин y₁, у₂, у₃, чтобы эта сумма была как можно меньше. Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок У (У₁У₂,У₃) минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f =120у₁ + 168у₂ +80у₃ -> min

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции, причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у₁ >=0 у₂>=0 у₃>=0

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений

Х (Х₁, Х₂, Х₃, Х₄) и у (y₁, у₂, у₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

X₁( y₁+3 y₂+2 y₃ -31 )=0 y₁ ( Х₁+4Х₂+3Х₃+4 Х₄- 120)=0

X₂(4 y₁ + 5 y₃ - 10)=0 y₂ (3Х₁+ 2Х₃+2Х₄- 168)=0

X₃(3 y₁ +2 y₂ - 14)=0 y₃ (2 Х₁+5 Х₂+ 3Х₄- 80)=0

X₄(4 y₁ +2 y₂+3 y₃ - 20)=0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи X₁ >0, X₃>0 => (X₁ =40,

X₂=0, Х₃=24, Х₄=0).

Поэтому

y₁+3 y₂+2 y₃ - 31=0

3y₁+2 y₂ - 14=0

Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю: y1 =0, то приходим к системе уравнений

3y₂+2 y₃ - 31=0

2 y₂ - 14=0

откуда следует

y₂=7, у₃=5

Таким образом, получили двойственные оценки, причем общая оценка всех ресурсов равна 1576.

Так как первый ресурс был избыточным, согласно теории свойств, его двойственная оценка равна 0 (y1=0)

Проверка: 168*7+80*5=1576

Экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка второго ресурса у₂=7 показывает, что добавление одной единицы этого ресурса обеспечит прирост прибыли в 7 единиц.