1. (1) Линейная производственная задача

Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель задачи об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом.

Предположим, что предприятие или цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, например, в минутах или часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, кроме того, известно, что из всех n видов изделий наибольшим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет наиболее возможным.

Применим следующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

a_ij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

b_i – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

x_i – планируемое количество единиц j-го изделия;

(x₁, x₂, … , x_n) – искомый план производства.

Дано:

1 4 3 4 120

A= 3 0 2 2 B= 168 C= (31,10,14,20)

2 5 0 3 80

Необходимо сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, (исходные данные взяты из приложения I, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

Необходимо преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q^-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q^-1B

и решить графически.

Решение

Математическая модель задачи имеет вид:

найти производственную программу

(Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)

максимизирующую прибыль

Z=31Х₁+10Х₂+14Х₃+20Х₄

при ограничениях по ресурсам

Х₁+4Х₂+3Х₃+4X₄ 120

3Х₁ +2Х₃+2X₄ 168

2Х₁+5Х₂ +3X₄ 80

Где X₁0, Х₂0,Х₃0, Х₄0.

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (2) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных X₅, Х₆,Х₇ заменим системой линейных алгебраических уравнений

Z=31Х₁+10Х₂+14Х₃+20Х₄ => max

Х₁+4Х₂+3Х₃+4X₄ +X₅= 120

3Х₁ +2Х₃+2 X₄ +X₆ = 168

2Х₁+5Х₂ +3X₄ +X₇ = 80

Где X₁0, Х₂0,Х₃0, Х₄0, Х₅0, Х₆0, Х₇0.

Дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.

Нужно найти то решение, при котором функция (1) примет наибольшее значение. Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (4) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид - дополнительные переменные являются базисными, следовательно, данную задачу мы можем решить симплексным методом.

Таблица 1

	Б	Н	31	10	14	20	0	0	0
			X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
0	X5	120	1	4	3	4	1	0	0	α1=120
0	Х6	168	3	0	2	2	0	1	0	α2=56
0	Х7	80	2	5	0	3	0	0	1	α3=40
		0	-31	-10	-14	-20	0	0	0
Х5	0	80	0	15/10	3	25/10	1	0	-5/10	α1=80/3
Х6	0	48	0	-75/10	2	-25/10	0	1	-15/10	α2=48/2
Х1	31	40	1	25/10	0	15/10	0	0	5/10	α3=-
		1240	0	670/10	-14	265/10	0	0	155/10
Х5	0	8	0	1275/100	0	625/100	1	-15/10	175/100
Х3	14	24	0	-375/100	1	-125/100	0	5/10	-75/100
Х1	31	40	1	25/10	0	15/10	0	0	5/10
	F	1576	0	15	0	9	0	7	5

Симплексный метод решения линейной производственной задачи представлен в таблице 1.

Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальная производственная программа имеет вид:

Х₁=40, Х₂=0, Х₃=24, Х₄=0,

а максимальная прибыль равна

Z_МАХ = 1576

При этом второй и третий ресурс будут исчерпаны полностью, а первый ресурс имеет остаток Х₅= 8 единиц т. е. узкие места производства Х₆=0 и Х₇=0

Проверим выполнение соотношения H=Q^-1 В, где Q^-1 базис в последней симплексной таблице, соответствующий набору базисных неизвестных.

Проверка: H=Q*B

1 -15/10 175/100 120 1*120+(-15/10)*168+175/100*80 120-252+140 8

H = 0 5/10 -75/100 * 168 = 0*120+5/10*168+(-75/100)*80 = 0+84-60 = 24

0 0 5/10 80 0*120+0*168+5/10*80 0+0+40 40

Вывод: при решении симплексной таблицы ошибок допущено не было.