30. Динамическое программирование как метод решения многошаговых задач управления. Параметр состояния и функция состояния. Принцип оптимальности и рекуррентные соотношения.

Динамическое программирование – это вычислительный метод для решения задач математического программирования путем их разложения на относительно небольшие и, следовательно, менее сложные задачи. Специфика состоит в том, что для отыскания оптимального управления планируемая операция разделяется на ряд последовательных шагов, этапов. Поэтому сам процесс планирования операции становится многошаговым и развивается последовательно от шага к шагу. На каждом этапе определяется экстремум функции только от одной переменной.

Принцип оптимальности

Принцип искать всегда оптимальное продолжение процесса относительно того состояния, которое достигнуто в данный момент, принято называть принципом оптимальности.

Процесс разворачивается в обратном порядке: от конца к началу. В основе лежит принципе оптимальности. Состояние системы на каждом шаге характеризуется некоторой переменной величиной, названной параметром состояния. Наилучший эффект на данном этапе вместе с уже рассмотренными шагами характеризуется функцией состояния.

Решение конкретной задачи методом динамич. Программирования сводится к выбору параметра состояния, составлению ф-ии состояния и рекурентных соотношений, связывающих ф-ии состояния для двух соседних последовательных этапов, и их применению для выбора оптимального управления.

31. Задача распределения капитальных вложений: постановка, математическая модель и решение методом динамического программирования.

Динамическое программирование – это вычислительный метод для решения задач математического программирования путем их разложения на относительно небольшие и, следовательно, менее сложные задачи. Специфика состоит в том, что для отыскания оптимального управления планируемая операция разделяется на ряд последовательных шагов, этапов. Поэтому сам процесс планирования операции становится многошаговым и развивается последовательно от шага к шагу. На каждом этапе определяется экстремум функции только от одной переменной.

Распределение капитальных вложений – нелинейная задача распределения ресурсов между предприятиями одного объединения. Имеется n объектов, выделяется b инвестиций. fj(xj) – прирост прибыли или мощности на j-ом предприятии, если оно получит xj рублей. Требуется найти такое распределение х капитальных вложений, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли: Z=f1(x1)+…+fn(xn) при ограничении по общей сумме капитальных вложений: х1+…+хn=b, х>0. будем считать что все переменные х принимают только целые неотрицательные значения. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям (Е-кси), а функцию состоянии Fk(E) определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают Е рублей. Е изменяется от 0 до b. Надо распределить инвестиции наилучшим образом, поэтому приходим к рекуррентному соотношению:

, при 0<=xk<=E.