21.Основное_нерав-во_теории двойственности.

Основное неравенство теории двойственности: для любых допустимых решений х и у прямой и двойственной задач ЛП справедливо неравенство: .Общая стоимость всего произведенного продукта не превышает суммарной ценности ресурсов. Малая теорема двойственности: для существования оптимального решения любой из задач двойственной пары необходимо и достаточно существование допустимого решения для каждой из них. Зная произвольное допустимое решение двойственной задачи и применяя симплексный метод, можно решить исходную задачу. Достаточное условие оптимальности решений пары двойственных задач: если для некоторых допустимых решений x* и у* пары двойственных задач выполняется равенство, то векторы х* и у* являются оптимальными решениями соответствующих задач ЛП. Доказывается с помощью основного неравенства. План производства продукции и вектор оценок ресурсов являются оптимальными, если стоимость всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

Малая теорема двойственности. Для существования оптимального решения пары двойственных задач необходимо и достаточно существование допустимого решения для каждой из них.

Теорема о достаточном условии оптимальности решений пары двойственных задач.

Если для некоторых допустимых решений х₀ и у₀ пары двойственных задач выполнено равенство: То данные решения являются оптимальными.

Экон.смысл: план производства продукции и вектор оценок ресурсов является оптимальным, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

22._Первая_основная_теорема двойственности: если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения линейных форм равны, если же линейная форма одной из задач не ограничена, то система условий другой задачи противоречива. Эта теорема справедлива, как для симметричной, так и для несимметричной пары двойственных задач. Симплексный метод, примененный к решению одной из задач, автоматически приводит к решению другой задачи. Экономическое содержание: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов. Между неизвестными х исходной задачи и у двойственной задачи устанавливается соответствие х1-у(m+1), x2-y(m+2)…xn-y(m+n, x(n+1)-y1…x(n+m)-ym

23._Вторая_основная_теорема двойственности: для того, чтобы допустимые решения х* и у* пары двойственных задач являлись оптимальными решениями этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий: ,j=1,n и ,i=1,m. Если xj*>0, то , данная технология использоваться не будет (если по некоторому плану технология применяется, то оценка ресурсов, расходуемых по этой технологии, равна цее продукта, произведенного по той же технологии).. Еслиxj=0, то , данная технология используется (если оценка ресурсов, расходуемых по технологии, строго больше цены продукты, производимого по той же технологии, то эта технология не применяется). Еслиyi*>0, то , ресурс в дефиците (если оценка ресурса строго больше 0, то расход этого ресурса равен его запасу). Если,yi*=0, ресурс в избытке (если по оптимальному плану х* производства расход ресурса строго меньше его запаса, то оценка единицы ресурса равна 0).

24._Третья_основная_теорема двойственности: значения переменных yi* в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния правых частей bi системы ограничений исходной задачи на величину максимума ее целевой функции: . Экономическое содержание: двойственная оценка ресурса – это приращение прибыли, приходящееся на единицу приращения этого ресурса. Оценка ресурсов позволяет выявить «узкие» места производства.

Перераспределение ресурсов: в одном объединении могут находиться несколько предприятий с разными оценками ресурса. Если передать ресурс к предприятию, у которого его оценка выше, то эффективность повысится на величину, равную произведению разности оценок на передаваемое количество ресурса. Для определения количества передаваемого ресурса решают объединенную задачу ЛП. Она решается, пока оценки одноименных ресурсов на всех предприятиях не станут приблизительно равными.

25. Задача о расшивке узких мест пр-ва,_ее_мат.модель_и_решение. Предположим, что мы нашли оптимальный план производства и указали «узкие места». Вторая основная теорема двойственности: для того, чтобы допустимые решения х* и у* пары двойственных задач являлись оптимальными решениями этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий: ,j=1,n и ,i=1,m. Если xj*>0, то , данная технология использоваться не будет (если по некоторому плану технология применяется, то оценка ресурсов, расходуемых по этой технологии, равна цее продукта, произведенного по той же технологии).. Еслиxj=0, то , данная технология используется (если оценка ресурсов, расходуемых по технологии, строго больше цены продукты, производимого по той же технологии, то эта технология не применяется). Еслиyi*>0, то , ресурс в дефиците (если оценка ресурса строго больше 0, то расход этого ресурса равен его запасу). Если,yi*=0, ресурс в избытке (если по оптимальному плану х* производства расход ресурса строго меньше его запаса, то оценка единицы ресурса равна 0).

Пусть T(t₁,t₂,t₃)- вектор дополнительных объемов ресурсов, (В+Т) – вектор новых объемов ресурсов. прирост прибыли, приходящийся на t_i единиц i-го ресурса, будет равен у*_it_i, где у*- двойственная оценка этого ресурса.

Условие устойчивости двойственных оценок, как видно из соотношения Q^-1B=H, характеризуется нерав-ом:H+Q^-1T>=0

Составить план расшивки узких мест пр-ва означает указать сколько единиц каждого из дефицитных ресурсов нужно дополнительно заказать, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным. Т.о. проблема расшивки «узких мест» представляет собой задачу линейного программирования: найти план расшивки T (t₁, t₂, t₃), максимизирующий суммарный прирост прибыли: w = y^* T, при условиях H+Q^-1T>=0 и T>=0.

26. Транспортная задача по критерию стоимости: постановка и математическая модель, свойства закрытой модели. Преобразование открытой модели в закрытую. Транс.задача формулируется следующим образом. Продукт, сосредоточенный в m пунктах производства в кол-ве a₁, a₂,...,a_m единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо b₁,b₂,..,b_n единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта пр-ва в j-ый пункт потр-ия равна c_ij. Необходимо составить план перевозок, при кот. запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах пр-ва и общие транспортные расходы по доставке были бы минимальны.

Обозначим x_ij кол-во груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю.При балансе произ-ва и потр-я =математическая модель тр. задачи выглядит так: найти план перевозок Х=(х_ij), i=1,2,..,m; j=1,2,..,n, минимизирующий общую стоимость всех перевозок L= ,при условии что из любого пункта вывозится весь продукт:,i=1,2,..,m. И любому потребителю доставляется необходимое количество груза: j=1,2,..,n,.. и по смыслу задачи x₁₁>0,..,x_mn>0.

Если оно не выполнено, то задача не закрыта. Чтобы ее закрыть, нужно ввести фиктивного потребителя.

Преобразование открытой модели в закрытую. Если общий объем производства превышает объем, требуемый всем потребителям, то модель задачи открытая. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления, равным разнице между объемом пр-ва и потр-я.

27. Методы построения первого базисного решения транспортной задачи. Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу «северо-западного угла»:

В транспортной таблице должно быть (m+n-1) занятых клеток

На очередном шаге берем сев-зап клетку и сравниваем числа, соответствующие этой клетке, стоящие в строке и столбце. Минимальное из них записываем в се-зап клетку и вычитаем его из чисел, стоящих в строке и столбце. Если ноль получился в строке, берем строку, если в столбце, то столбец и повторяем то же самое.

Пр По	b1	b2	b3	альфа
a1	с- с ∆
a2
a3
	бетта

с- - фактическая стоимость (псевдо-стоимость)

с – тарифный план

∆ - характеристика (оценочные коэффициенты)

Альфа – платеж в пункте отправления за единицу.

Бета – платеж в пункте назначения.

∆ij=c-ij – cij

c-ij=альфаi + беттаj.

Затем используется метод потенциалов и создается цикл пересчета.

28.Метод потенциалов для решения транспортной задачи. Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу «северо-западного угла»:

В транспортной таблице должно быть (m+n-1) занятых клеток

На очередном шаге берем сев-зап клетку и сравниваем числа, соответствующие этой клетке, стоящие в строке и столбце. Минимальное из них записываем в се-зап клетку и вычитаем его из чисел, стоящих в строке и столбце. Если ноль получился в строке, берем строку, если в столбце, то столбец и повторяем то же самое.

Пр По	b1	b2	b3	альфа
a1	с- с ∆
a2
a3
	бетта

с- - фактическая стоимость (псевдо-стоимость)

с – тарифный план

∆ - характеристика (оценочные коэффициенты)

Альфа – платеж в пункте отправления за единицу.

Бета – платеж в пункте назначения.

∆ij=c-ij – cij

c-ij=альфаi + беттаj.

Затем используется метод потенциалов и создается цикл пересчета.

Для выполнения балансового условия перемещение груза надо выполнять циклически. Цикл – замкнутая ломаная линия, в каждой вершине которой осуществляется поворот на 90 градусов. При построении цикла вершина берется в пустой клетке с максимальной переплатой (∆). Остальные вершины должны быть в базисных клетках. Когда после построения цикла не останется пустых клеток с переплатой (∆<=0), будет найдено оптимальное решение. На каждом шаге метода потенциалов число занятых клеток должно сохраняться. Если минимум достигается в двух базисных клетках со знаком -, то одна выводится из базисных, а другая обнуляется.

Экономический смысл оценок клеток и потенциалов: оценка свободной клетки ∆_ij показывает, на сколько уменьшатся суммарные расходы по перевозке груза, если поставить единицу груза i-ого производителя j-ому потребителю (перераспределив остальные поставки так, чтобы сохранился баланс по строкам и столбцам).

Потенциалы же означают: каждый производитель уплачивает перевозчику одну и ту же цену p_i за вывоз единицы груза; каждый потребитель уплачивает перевозчику одну и ту же цену q_j за получение единицы груза; сумма цен, взимаемых при этом с любой пары «производитель-потребитель»,не превосходит реальной стоимости перевозки единицы груза от данного производителя к данному потребителю. p_i + q_j <= c_ij , i = 1,2,..m, j = 1,2,…,. При этом и производители и потребители не заплатят перевозчику сумму, превышающую реальные транспортные расходы. Таким образом, перевозчик может установить цены так, чтобы максимизировать свою прибыль.

Переменные p_i и q_j при этом могут быть как «+» так и «-»: возможно перевозчик платит определенному производителю за право перевозить его продукцию (или потребителю – за право привозить ему продукцию).

29.Задача_целочисленного программирования, понятие о методе Гомори и методе «ветвей и границ»: основные идеи, описание алгоритмов. Среди методов решения целочисленных задач можно выделить два направления: методы отсечения и комбинаторные методы. Метод отсекающих плоскостей состоит в построении дополнительных ограничений и применении двойственного симплексного метода. Представление о комбинаторных методах дает наиболее известный метод ветвей и границ. Он основан на методе Гомори, который является более тяжелым. Разработан русскими учеными. Основная идея – разбиение множеств допустимых решений на подмножества, которые в свою очередь, разбиваются на подмножества и так далее. При этом среди возникающих подмножеств могут быть такие, которые не содержат допустимых решений или заведомо не содержат оптимальных решений. Если это удается определить на некотором этапе, эти подмножества удаляются из рассмотрения. Решение находится частичным перебором. Решаем графически задачу ЛП, берем любую нецелочисленную компоненту( х1=3\2) и производим ответвление, вводя дополнительные ограничения: х1<=1 и x1>=2. Решаем 2 ветви исходной задачи с такими условиями, находим оптимальные решения этих задач. Производим ветвление более перспективной ветки.