13. Различные формулировки задачи линейного программирования, функция цели, допустимые и оптимальные решения. Основная задача лп, ее векторная и матричная формы записи.

Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом. Предположим, что предприятие или цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования и фонд времени работы каждой группы оборудования. Требуется составить план производства, при котором предприятие получит наибольшую прибыль. Принимаются следующие обозначения: i-номер группы оборудования(1-m), j-номер вида изделия, aij-норма времени на обработку единицы j-ого изделия на i-ом оборудовании, bi-фонд времени работы i-ой группы оборудования, cj-прибыль на одно изделие j-ого вида, xj-планируемое количество единиц j-ого изделия, (х1,х2…хn)-искомый план производства. Компоненты производственной программы должны удовлетворять условию, что суммарное время обработки всех изделий на данной группе оборудования не превышает фонда времени работы этой группы оборудования. На обработку x1 единиц первого изделия будет затрачиваться ai1*x1 единиц времени, второго – ai2*x2. Эта сумма не может превышать фонд времени работы i-ой группы оборудования, то есть должна быть меньше или равна bi. Количество изделий не может быть отрицательным, поэтому все х >0. Любое неотрицательное значение системы называют допустимым, а допустимое решение, при котором целевая ф-я (3) принимает наименьшее значение – оптимальным решением задачи ЛП (1)-(3).

Прибыль будет равна: Z=c1*x1+c2*x2…+cn*xn и она должна быть максимальной. Все это образует математическую модель задачи о рациональном использовании производственных мощностей. Задача ЛП – найти решения, которые дают наибольшую прибыль.

А – матрица удельных затрат ресурсов. В – вектор объемов ресурсов. С – вектор удельной прибыли.

Функция прибыли носит название функции цели. Допустимым решением задачи ЛП называется такой набор переменных х, который удовлетворяет условиям и каждая компонента которого неотрицательна. Оптимальное решение достигается при максимизации прибыли.

*** Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить с-му линейных алгебраических уравнений или неравенств и среди всех неотрицательных решений найти то решение, при котором линейная однородная функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Изучение методов исследования и решения математических задач указанного типа составляет содержание раздела математики, кот. Принято называть линейным программированием.

Основную задачу ЛП сформулируем следующим образом: даны система m линейных уравнений с n неизвестными

Основной задачей линейного программиро-вания называется задача отыскания min ли-нейной формы z = c1x1+c2x2+…+cx при неотрицатель-ности входящих в нее переменных и системы ограничений в виде СЛАУ

a_ijx_j ≤ b_i

x_j≥ 0; i=; j=.

Для приведения линейной задачи произ-водственного планирования к основной за-даче линейного программирования необходи-мо:

1. Ф-я z заменяется на “-z”.

2. В левой части сис-мы ограничений СЛАН вводится по одной искусствен-ной переменной в каждое из неравен-ств.

Найти план производства x_j, j=обеспечивающийmin линейной формы

-z = - c_j x_j → min. И ограничения

a_ijx_j + x^’_i = b_i

x_j ≥ 0; x^’_i≥0, i=; j=.

Исходные параметры задачи могут быть представлены в виде технологической матрицы A затрат ресурсов на единицу продукции каждого вида, вектора B объемов ресурсов и вектора C удельной прибыли:C=(c₁, …, c_n).

Матричная форма записи:

14. Геометрическая интерпретация задачи ЛП и симплексного метода. Графическое решение задачи ЛП с 2мя переменными. Допустимые решения х образуют в множестве точек допустимую область, которая является пересечением замкнутых полупространств. Эта область представляет собой многогранник в n-мерном пространстве, гранями которого служат участки гиперплоскостей вида или. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки. Полупространство – выпуклое множество, допустимый многогранник также является им. Замкнутым называется множество, содержащее все свои граничные точки. Угловые точки выпуклого множества – точки, не являющиеся выпуклой комбинацией двух различных точек множества. Выпуклое замкнутое ограниченное множество на плоскости, имеющее конечное число точек, называется выпуклым многоугольником. Многоугольник решений может быть точкой, лучом, отрезком, многоугольником и неограниченной многоугольной областью. Задача ЛП состоит в том, чтобы отыскать такие точки многоугольника, координаты которых обеспечивают целевой функции минимальное\максимальное значений. Гиперплоскость – множество точек х с координатами, удовлетворяющими линейному уравнению. Многогранник – пересечение конечного числа полупространств.

Графическим методом решаются задачи ЛП с двумя переменными. Процесс решения проходит в два этапа. На первом этапе строится множество допустимых решений задачи. Допустимым решением называется любой вектор, удовлетворяющий всем ограничениям задачи. Если первый окончился успешно, на втором этапе ищется оптимальное решение. Оптимальное решение – допустимое решение с наибольшей/наименьшей целевой функцией. Рисуем из точки (0,0) градиент (вектор, состоящий из коэффициентов целевой функции). Он показывает направление увеличения функции. Линия уровня перпендикулярна градиенту.

15. Симплексметод ЛП: задача ЛП в предпочитаемой форме, выражение функции цели через свободные неизвестные, вычисление относительных оценочных коеффици-ентов ∆_j и значение целевой функции соответ-ствующих данному базисному допустимому решению. Симплекс-метод – частный случай общей задачи, когда система уравнений имеет предпочитаемый вид (Коэффициенты при базисных переменных (остальные свободные) равны 1. Базисные переменные есть только в одном уравнении).При этом правые части всех уравнений неотрицательны.

Минимизировать L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n (1), при условиях:

x₁ + g_1,m+1x_m+1 + ... + g_1nx_n = h₁,

x₂ + g_2,m+1 x_m+1 + ... + g_2nx_n = h₂, (2)

x_m + g_m,m+1 x_m+1 + ... + g_mnx_n = h_m

и x_j≥0, j = 1,2,...n (3).

Одним из допустимых решений задачи линейного программирования (1)-(3) будет базисное неотрицательное решение системы (2): x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 (4), ему соответствует значение целевой ф-ии равное

L₀=c₁h₁+c₂h₂+...c_mh_m+c_m+1*0+...+c_n*0 = c_i h_i (5).

Надо исследовать, является ли решение (4) оптимальным (т.е. является ли значение (5) наименьшим из всех возможных значений целевой ф-ии (1), отвечающих различным неотрицательным решениям системы (2)).

Учитывая что система уравнений (2) имеет предпочитаемый вид, находим для нее общее решение: x_i=h_i-g_i,m+1x_m+1-...-g_inx_n, i=1,2,...,m (6). Если свободным неизвестным придавать какие-нибудь неотрицательные значения, то будем получать различные решения системы (2), среди которых нас интересуют только неотрицательные. Подставляя их компоненты в линейную форму (1), можно подсчитать соответствующие значения целевой функции. Если переписать выражение (1) в виде:

- L = c₁x₁+c₂x₂+...c_mx_m+ c_m+1x_m+1+...+c_nx_n=0 (7). Для того чтобы исключить базисные неизвестные из (7) , достаточно умножить первое уравнение системы (2) на c₁, второе- на c₂, … , m-e на c_m, сложить полученные произведения и из результата вычесть уравнение (7). Получим L=∆_m+1x_m+1+...+∆_nx_n=L₀ (8), где ∆_j = c₁g_1j + c₂g_2j + ... + c_mg_mj - c_j , j=1,2,...n (9) или

∆_j = z_j - c_j, z_j= c_ig_ij, j=1,2,...n (9a). Целесообразно ввести вектор C (c₁,c₂,...c_m)`, компонентами которого служат коэффициенты при неизвестных в линейной форме (1), они записываются в том порядке, в котором расположены соответствующие базисные неизвестные в системе уравнений. Тогда, z_j можно представить как скалярное произведение

∆_j = CG_j- c_j, j=1,2,...n. А L₀ = CH.

Для проведения указанных вычислений обычно составляют таблицу. Ее называют – первой симплекс таблицей. Из Ур-я (8) получаем выражение целевой ф-ии L через свободные неизвестные:

L=L₀-∆_m+1x_m+1-...-∆_nx_n.

С помощью этого выражения исследуем базисное допустимое решение на оптимальность и выясним, как следует поступить, если оно окажется неоптимальным.