8.Обратная матрица: определение, свойства, ур-е существования.

Пусть задана кв. матрица А.Если сущ-т матрица В, такая что А*В=Е,то гов что матрица В явл обратной по отношению к мат А: В=А^-1, А*А^-1=Е.

Свойства: 1)Обратная и исходная матрицы перестановочны и матрица,обратная обратной, совпадает с исходной:

А*А^-1=А^-1*А=Е.

2)Единственность матрицы:если для данной матрицы обратная мат сущ-т,то она только одна.

Квадратная матрица обратима только тогда, когда является невырожденной согласно теореме Кронекера-Капелли (СЛАУ только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы = рангу обычной матрицы => у каждой подсистемы 1 решение) (с определителем не =0). Определитель – соответствующее квадратной матрице число: |A|. N=1 |A|=a11. N=2 |A|=|a11*a22-a12*a21|. N=3 |A|=a11*a22*a33+a31*a12*a23+a13*a21*a32-a31*a22*a13-a21*a12*a33-a32*a23*a11 |A|=,где М – минор элемента А.

Методы Жордана: выпишем матрицу А и сбоку через черту припишем ней единичную матрицу (A|E)->(E|A^-1). Если на каком-то этапе получается строка нулей, то это означает вырожденность матрицы, следовательно ее необратимость. Проверка: .

Также используется метод Крамера, для которого применяется определитель, но метод Жордана проще.

9.Обращение матрицы методом Жордана.Пусть А-квадратная матрица. Если существует матрица В, такая, что произведение А на В совпадает с единичной матрицей АВ=Е, то говорят, что матрица А обратима, а матрицу В называют обратной. Свойства: ,, если А имеет обратную матрицу, то она единственна. Квадратная матрица обратима только тогда, когда является невырожденной согласно теореме Кронекера-Капелли (СЛАУ только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы = рангу обычной матрицы => у каждой подсистемы 1 решение) (с определителем не =0). Определитель – соответствующее квадратной матрице число: |A|. N=1 |A|=a11. N=2 |A|=|a11*a22-a12*a21|. N=3 |A|=a11*a22*a33+a31*a12*a23+a13*a21*a32-a31*a22*a13-a21*a12*a33-a32*a23*a11 |A|=,где М – минор элемента А.

Методы Жордана: выпишем матрицу А и сбоку через черту припишем ней единичную матрицу (A|E)->(E|A^-1). Если на каком-то этапе получается строка нулей, то это означает вырожденность матрицы, следовательно ее необратимость. Проверка: .

Также используется метод Крамера, для которого применяется определитель, но метод Жордана проще.

10 Обращенный базис слау. Приведение слау к предпочитаемому виду с помощью обращенного базиса.

Дана система т линейных алгебраических уравнений с п неизвест­ными (т < п):

Исследуем ее, вычислив ранги матрицы СЛАУ и расширенной матрицы с помощью миноров. Предположим, что система оказалась совместной, все уравнения линейно зависимы, и пусть, для опреде­ленности, ненулевой минор М_т наивысшего порядка m (базисный минор) порождается подматрицей В, составленной из коэффициен­тов при первых т неизвестных. Матрицу В назовем базисной. Найдем для нее обратную матрицу B^-1:

a₁₁….а_1m u₁₁….u_1m

А= ……… ,B^-1= ……… , M_m=|B|

a_m1….a_mm u_m1….u_mm

Матрицу В^-1 часто называют обращенным базисом. В матричной форме система алгебраических ур-й (1.2.43) записывается следующим образом:

где (слева проставлены в скобках размеры соотв-х матриц):

(т х п) А — матрица коэффициентов;

(n х 1) х — вектор-столбец неизвестных;

(mх1)b — вектор-столбец правых частей ур-й.

Разобьем вектор х на вектор базисных переменных х_B (первые т переменных) и вектор свободных переменных x_R (остальные п-т перем-х).Тогда матрица A соотв-щим образом разделит­ся на подматрицы В (коэффициенты при базисных переменных) и R (коэффициенты при свободных переменных). При таком разделении матричное уравнение (1.2.45) примет вид

Bx_B+Rx_R=b. (1.2.46)

Поскольку базисная матрица В невырожденна,то обратная мат­рица В^-1 существует. Умножим соотношение (1.2.46) слева на В^-1, тогда с учетом того, что B^-1B = Е, получим Откуда выразим базисные неизвестные через свободные неизвестные и правые части СЛАУ:

Матричное соотношение (1.2.47) в развернутой алгебраической форме записывают след образом:

х₁+q_1,m+1*x_m+1+…+q_1n*х_n=h₁

х₂+q_2,m+1*x_m+1+…+q_2n*х_n=h₂

_. . . . . . . . . . . . . . .

х_m+q_m,m+1*x_m+1+…+q_mn*х_n=h_m

Мы пришли к предпочитаемому эквиваленту исходной СЛАУ. Ба­зисными оказались те первые т неизвестных, из коэффициентов при которых был составлен ненулевой минор наивысшего порядка при исследовании системы.Т.о., матрица G системы (1.2.48) и матрица А системы (1.2.1), а также матрицы-столбцы h и b их правых частей связаны со­отношениями: G=B^-1A, h=B^-1b

11._Задача_оптимального производственного планирования и ее математическая модель. Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом. Предположим, что предприятие или цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования и фонд времени работы каждой группы оборудования. Требуется составить план производства, при котором предприятие получит наибольшую прибыль. Принимаются следующие обозначения: i-номер группы оборудования(1-m), j-номер вида изделия, aij-норма времени на обработку единицы j-ого изделия на i-ом оборудовании, bi-фонд времени работы i-ой группы оборудования, cj-прибыль на одно изделие j-ого вида, xj-планируемое количество единиц j-ого изделия, (х1,х2…хn)-искомый план производства. Компоненты производственной программы должны удовлетворять условию, что суммарное время обработки всех изделий на данной группе оборудования не превышает фонда времени работы этой группы оборудования. На обработку x1 единиц первого изделия будет затрачиваться ai1*x1 единиц времени, второго – ai2*x2. Эта сумма не может превышать фонд времени работы i-ой группы оборудования, то есть должна быть меньше или равна bi. Выписывая такие условия для всех mгрупп оборудования, получаем:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … a_1nx_n ≤ b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … a_2nx_n ≤ b₂

. . . . .

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … a_mnx_n ≤ b_m.

Количество изделий не может быть отрицательным, поэтому все х >0. Прибыль будет равна: Z=c1*x1+c2*x2…+cn*xn и она должна быть максимальной. Все это образует математическую модель задачи о рациональном использовании производственных мощностей. Среди всех решений системы линейных неравенств, удовлетворяющих условию неотрицательности, необходимо найти такое решение, при котором линейная форма Z=c1*x1+c2*x2…+cn*xn принимает наибольшее возможное значение. Это – задача линейного программирования.

Исходные параметры могут быть представленыв виде: А – матрица удельных затрат ресурсов. В – вектор объемов ресурсов. С – вектор удельной прибыли.