6.Системы линейных алгебраических неравенств.

Система т алгебраических неравенств первой степени с п неизвест­ными может быть записана в виде

Совокупность п чисел a₁,а.₂,,...,а_n, взятых в определенном поряд­ке, называется решением системы неравенств (1.2.30), если при под­становке этих чисел на место соответствующих неизвестных неравен­ства не нарушатся. Решение (<x_l5 a₂,..., а_/() системы неравенств назы­вается неотрицательным, если все а > 0. В этом случае,когда система имеет решение,она наз.совместной, в противном случае противоречивой или несовместной. Совместная система наз определенной или неопределенной в зависимости от того, имеет ли она одно или несколько решений. Две СЛАН с одинаковым числом неизвестных наз.эквивалентгыми или равносильными, если они имеют одни и те же решения, либо вообще не имеет решений. СЛАН часто преобразуют в СЛАУ путем введения дополнительных неотрицательных переменных (неизвестных) х_п+1 , x_n+2 ,, х_n+m:

Исследование и решение системы т линейных неравенств с п неизвестными сводится к исследованию и решению соответствующей системы m линейных уравнений с п + т неизвестными. В частности, нахождение неотрица­тельных решений системы линейных неравенств (1.2.30) связано с по­иском неотрицательных решений системы линейных уравнений (1.2.31).Векторная форма записи СЛАУ: a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b

Матричная: A*x=b

7. Теорема о связи между рангом системы векторов-строк и рангом системы векторов-столбцов прямоугольной матрицы. Ранг матрицы как максимальное число ее линейно-независимых параллельных рядов. Ранг системы векторов – максимальное число линейно независимых векторов этой системы. Ранг системы n единичных векторов = порядку = n. Ранг системы векторов не изменяется, если их подвергнуть элементарным преобразованиям: умножению вектора на число, отличное от , прибавление вектора, умноженного на число, к другому вектору, перестановка векторов системы. У матрицы m*n строки n-мерные векторы, а столбцы m-мерные.

Для любой матрицы строчный ранг = столбцовому. Ранг матрицы – максимальное число ее рядов. Квадратная матрица называется невырожденной, если все строки и столбцы линейно независимы. Невырожденная матрица: никак нельзя обратить в 0 все элементы строки или столбца матрицы.

Нахождение ранга сводится к превращению матрицы в единичную, которая линейно независима.

Определитель – соответствующее квадратной матрице число: |A|. N=1 |A|=a11. N=2 |A|=|a11*a22-a12*a21|. N=3 |A|=a11*a22*a33+a31*a12*a23+a13*a21*a32-a31*a22*a13-a21*a12*a33-a32*a23*a11 |A|=,где М – минор элемента А.

___Рангом сис-мы n- мерных векторов – max число линей-независ векторов сис-мы. Ранг сис-мы един векторов = n

Ранг сис-мы векторов не изменится, если она подвергается элементарным преобразованиям: 1) умножение какого-н вектора сис-мы на число, отличное от 0; 2) прибавление к какому-н вектору сис-мы др вектора этой же сис-мы, умноженного на число; 3) перестановка каких-л векторов сис-мы

У матрицы размером m*n можно рассматривать строки как m- мерные векторы, а столбцы как n-мерные векторы.

Ранг сис-мы строк (строчный ранг)=столбцовый ранг.

Рангом матрицы назыв max число линейно-независимых рядов. Квадратная матрица назыв невырожденной или неособенной, если ее ранг и порядок совпадают, т.е. все строки и столбцы линейно-независимы. Невыр-ть матриц означает, что никакими элементарными преобразованиями нельзя обратить в 0 все элементы какой-н строки или столбца.

Чтобы найти ранг, нужно матрицу превратить в единичную.