44. Задача о построении критического пути в графе и ее решение.

Граф – совокупность точек (вершин) и линий (ребер), соединяющих некоторые пары этих точек. Некоторые ребра снабжаются стрелками, они называются ориентированными ребрами или дугами. Два вершины могут соединяться несколькими ребрами, идущими в одном направлении. Такие ребра называются кратными (параллельными), а граф, содержащий кратные ребра, - мультиграфом. G=(X,U), Х- непустое конечное множество (множество вершин), U – бинарное отношение на нем (множество ребер). Дуги обозначаются: (xi,xj,v) =начало, конец и номер. Ребра: {(xi,xj,v),(xj,xi,v)}. Вершины, соединенные ребром или дугой, называются смежными. Ребра, имеющие общую вершину, также называются смежными.

В некоторых случаях надо найти не кратчайший путь, а наоборот самый длинный. 1. перенумеровать вершины графа так, чтобы вершина а получила обозначение х0, а вершина z – xn (выход графа), 2. присвоить каждой вершине xi метку лямбдаi, так чтобы лямбда0=0, лямбда1=минус бесконечность, 3. найти дугу uij, для которой выполняется неравенство лямбдаj-лямблаi<l(uij). Для вершины xj заменить метку на новую, большую: лямбдаj=лямбдаi+l(uij), 4. процедуру повторять, пока для каждой вершины не станет справедливым неравенство: лямблаj-лямбдаi>=l(uij), 5. найти такую вершину xk, что лямбдаn=лямбдаk+l(ukn), затем вершину xm, для которой лямбдаk=лямбдаm+l(uij) и так далее. После некоторого числа шагов вершина совпадет с x0=а. Этот путь будет критическим.

45. Многокритериальная оптимизация. Метод последовательных уступок Задачи многокритериальной оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием. Требуется найти точку области допустимых решений, которая минимизирует или максимизирует все эти критерии. Можно сформулировать кратко задачу векторной оптимизации: Z=<Z1,Z2…>. х принадлежит Q (области допустимых значений). В идеальном случае в задаче можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных задач. Но такое пересечение часто бывает пустым, поэтому приходится рассматривать «переговорное» множество решений Парето. Вектор называется эффективным, если не существует другого х из области допустимых решений, при котором общая целевая функция больше, чем данная. Множество допустимых решений, для которого невозможно улучшить все частные показатели эффективности, называется областью Парето или областью компромиссов. В общем случае эффективные решения не эквиваленты друг другу, т.е. два решения могут быть оптимальными по Парето, но нельзя сказать, какое из них лучше.

Метод последовательных уступок применяется, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывающей важности. Предположим, что все критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания важности. Находимся максимальное значение целевой функции, первого по важности критерия. Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точности, величина допустимого отклонения (экономически оправданные уступки) первого критерия и отыскивается максимальное значение второго критерия при условие, что значение первого должно отклоняться от максимального не более, чем на величину допустимой уступки. Назначается величина уступки второго критерия. Этот метод не всегда приводит к эффективному решению.

32. Динамическое программирование – это вычислительный метод для решения задач математического программирования путем их разложения на относительно небольшие и, следовательно, менее сложные задачи. Специфика состоит в том, что для отыскания оптимального управления планируемая операция разделяется на ряд последовательных шагов, этапов. Поэтому сам процесс планирования операции становится многошаговым и развивается последовательно от шага к шагу. На каждом этапе определяется экстремум функции только от одной переменной. Процесс разворачивается в обратном порядке: от конца к началу. В основе лежит принципе оптимальности: искать всегда оптимальное продолжение процесса относительно того состояния, которое достигнуто в данный момент. Состояние системы на каждом шаге характеризуется некоторой переменной величиной, названной параметром состояния. Наилучший эффект на данном этапе вместе с уже рассмотренными шагами характеризуется функцией состояния.

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Необходимо составить план производства на указанные месяцы с учетом завтрат на производство и хранение изделий. Обозначим: xj – число изделий, производимых в j-ый месяц, yj – величина запаса к началу j-ого месяца, dj – число изделий, которые должны быть отгружены в j-ый месяц, fj(xj, y_j+1) – затраты на хранение и производство изделий в j-ом месяце. Надо найти план производства х, компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса: xj+yj-dj= y_j+1 b и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период: , причем у и х>=0. Объем производимой продукции на этапеj может удовлетворять спрос на всех последующих этапах, но не имеет смысла хранить число изделий, превышающих суммарный спрос. Число производимых в j-ом месяце изделий должно быть больше 0 и меньше числа изделий, которые должны быть отгружены в этом месяце+запас.

Введем параметр состояния (Е-кси) – наличный запас в коне k-ого месяца: Е= y_k+1, а функцию состояния определим как минимальные затраты за первые k месяцев при выполнении условия: . Рекуррентное отношение в данном случае:, где 0<=xk<=dk+E. Далее решение идет как обычно.

40. Во многих игровых задачах неопределенность вызвана не сознательным противодействием противника, а просто недостаточной осведомленностью об условиях, в которых осуществляются действия сторон. Так, например, могут быть заранее неизвестны: погода, покупательный спрос. Такие игры называются играми с природой. Условия игры задаются, как обычно, платежной матрицей, в которой строки – соответствуют стратегии игрока А, а столбцы – В. В ряде случаев рассматривают матрицу рисков R. Элементы матрицы рисков представляют собой разность между выигрышем, который получил бы первый игрок, если бы он знал состояние платежной матрицы, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию А. Для решения игр с природой используется ряд критериев:

1. критерий Лапласа. Если неизвестны состояния природы, то все состояния среды считаются равновероятными. В этом случае стараются обратить в минимум среднее значение выигрыша.

2. критерий Вальда. В качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока, при которой минимальный выигрыш максимален (принцип максимина).

3. критерий Сэвиджа. Выбирается та стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной обстановке.

4. критерий Гурвица. Выбирается стратегия, при которой максимизируется величина: , где лямбда от 0 до 1 (ее выбирают на основании субъективных соображений).

42. Пусть нам дана некоторая совокупность географических пунктов, связанных дорогой. При планировании перевозок часто возникает задача об организации максимального потока грузов с учетом того, что пропускная способность разных дорого не одинакова. Вся эта ситуация может быть представлена в виде сети, то есть ориентированного графа с дугами, имеющими пропускную способность. Граф – совокупность точек (вершин) и линий (ребер), соединяющих некоторые пары этих точек. Некоторые ребра снабжаются стрелками, они называются ориентированными ребрами или дугами. Два вершины могут соединяться несколькими ребрами, идущими в одном направлении. Такие ребра называются кратными (параллельными), а граф, содержащий кратные ребра, - мультиграфом. Будем считать, что количество вещества, прибывающего в вершину, равно количеству вещества, убывающего из нее, и что потом по любой дуге неотрицателен и не превышает пропускной способности дуги. Общее количество вещества, вытекающего из источника, равно общему количеству вещества, притекающего в сток. Приходим к задаче ЛП: максимизировать величину потока пи условиях. Если потом в дуге равен ее пропускной способности – она насыщенная. Если меньше – то ненасыщенная.

Процесс отыскания максимального потока в сети состоит в следующем: 1. строим какой-нибудь поток, 2. ищем какой-нибудь путь, идущий по ненасыщенным дугам, 3. определяем пропускную способность найденного пути как наименьшую из пропускных способностей дуг, 4. вычисляем новые пропускные способности всех дуг данного пути, 5. вычисляем новые пропускные способности всех тех дуг, которые симметричны дугам данного пути, 6. возвращаемся к пункту 2 и продолжаем процесс до тех пор, пока удается построить путь, идущий по ненасыщенным дугам. Если такой путь построить нельзя, то пропущен максимальный поток.