4. Динамическое программирование задача распределения капитальных вложений

Задание

Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., при условии, что выделяемые суммы кратны 100 тысячам, используя следующие исходные данные:

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	37	64	87	105	120	134	145
f2(x2)	0	48	75	98	120	132	144	156
f3(x3)	0	85	100	111	118	124	129	132
f4(x4)	0	47	70	80	86	91	94	98

4.1. Формулировка задачи распределения капитальных вложений

Рассмотрим нелинейную задачу распределения капитальных вложений между предприятиями производственного объединения.

Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере хj (тыс. рублей) (прирост прибыли на данном предприятии) выражается функцией fi(xi), i = 1, 2, 3, 4. Функции fi(xi) заданы в исходных данных задачи, где, например, число 37 означает, что прирост прибыли на 1-ом предприятии при инвестировании в него 100 тыс. рублей составит 37 тыс. рублей. На практике определение данных функции – довольно трудоемкая экономическая задача.

Приходим к задаче:

Требуется найти такое распределение (х1, х2, х3, х4) капитальных вложений между четырьмя предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли:

Z = f1(x1) + f2(x2) + f3(x3) + f4(x4) → max

при ограничении по общей сумме капитальных вложений

х1 + х2 + х3 + х4 = 700

причем будем считать, что все переменные принимают только целые неотрицательные значения, кратные 100:

х1, х2, х3, х4 = 0, или 100 000, или 200 000, или 300 000, или 400 000, или 500 000, или 600 000, или 700 000

где xi – пока еще неизвестный размер инвестиций i-й фирме.

4.2. Решение задачи распределения капитальных вложений методом динамического программирования

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры, когда задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге (этапе) определяется экстремум функции только от одной переменной. Состояние исследуемой системы на каждом шаге характеризуется некоторой переменной величиной, которая называется параметром состояния. Эффект от принятия параметром состояния того или иного значения на данном этапе вместе с уже рассмотренными шагами характеризуется функцией состояния. Решение конкретной задачи методом динамического программирования сводится к выбору параметра состояния, составления функции состояния и рекуррентных соотношений, связывающих функции состояния для двух соседних последовательных этапов, и их применению для выбора оптимального управления.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения полученной задачи распределения капитальных вложений. Последовательно ищется оптимальное распределение для k = 2, 3 и 4 фирм.

Пусть первым двум фирмам выделено  тыс. рублей инвестиции ( - параметр состояния, который может изменяться от 0 до 700). Обозначим через F2 () максимальный прирост прибыли на первых двух предприятиях.

Если из  тыс. рублей 2-ая фирма получит х2 тыс. рублей, то максимальный прирост прибыли на 2-ой фирме можно выразить как f2(x2).

На долю 1-ого предприятия останется  - х2 тыс. рублей, а максимальный прирост прибыли на 1-ом предприятии составит F1 ( - х2).

Тогда максимальный прирост прибыли на двух предприятиях будет равен

F2 () = max {f2(x2) + F1 ( - х2)}

0 ≤ x2 ≤ 700

Используя исходные данные из задания, строим Таблицу № 1.1. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁ (-x₂) = f₁(-x₂) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой.

Таблица № 1.1

-х2		0	100	200	300	400	500	600	700
X2	F1(-x2) f2(x2)	0	37	64	87	105	120	134	145
0	0	0	37	64	87	105	120	134	145
100	48	48*	85*	112*	135	153	168	182	---
200	75	75	112*	139*	162*	180	195	---	---
300	98	98	135	162*	185	203	---	---	---
400	120	120	157	184	207*	---	---	---	---
500	132	132	169	196	---	---	---	---	---
600	144	144	181	---	---	---	---	---	---
700	156	156	---	---	---	---	---	---	---

Звездочкой обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 2-м предприятиям.

В Таблицу № 1.2. в графу F2 () заносим значения максимального прироста прибыли на первых двух предприятиях, а в графе указываем соответствующий каждому значениюF2() размер инвестиций 2-ому предприятию.

Таблица № 1.2.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	48	85	112	139	162	185	207
()	0	100	100	200	200	300	300	400
				100		200

Далее действуем также: находим функции F3 (), F4 (), используя на каждом k-ом шаге основное рекуррентное соотношение:

Fk (ξ)=max {fk(xk) + Fk-1(ξ - xk)}

0 ≤ xk ≤ 700

для k= 2,3,4

Заполняем Таблицу № 2.1., аналогичным способом определяя максимальный прирост прибыли от распределения капитальных вложений между тремя предприятиями (F3 ()).

Таблица № 2.1.

-х3		0	100	200	300	400	500	600	700
Х3	F2(-x3) f3(x3)	0	48	85	112	139	162	185	207
0	0	0	48	85	112	139	162	185	207
100	85	85*	133*	170*	197*	224*	247*	270*	---
200	100	100	148	185	212	239	262	---	---
300	111	111	159	196	223	250	---	---	---
400	118	118	166	203	230	---	---	---	---
500	124	124	172	209	---	---	---	---	---
600	129	129	177	---	---	---	---	---	---
700	132	132	---	---	---	---	---	---	---

Звездочкой обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 3-м предприятиям.

В Таблицу № 2.2. в графу F3 () заносим значения максимального прироста прибыли на трех предприятиях, а в графе указываем соответствующий функцииF3() размер инвестиций 3-ему предприятию.

Таблица № 2.2.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	85	133	170	197	224	247	270
()	0	100	100	100	100	100	100	100

В Таблице № 3.1., определяющей максимальный прирост прибыли от распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями F4(), заполняем только одну диагональ для значения  = 700, поскольку данный этап является завершающим, предприятий всего четыре и между ними необходимо распределить именно 700 тыс. рублей.

Таблица № 3.1.

-х4		0	100	200	300	400	500	600	700
Х4	F(-x4) f2(x4)	0	85	133	170	197	224	247	270
0	0								270
100	47							294*	---
200	70						294*	---	---
300	80					277	---	---	---
400	86				256	---	---	---	---
500	91			224	---	---	---	---	---
600	94		179	---	---	---	---	---	---
700	98	98	---	---	---	---	---	---	---

Звездочкой обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций в размере 700 тыс. рублей 4-м предприятиям.

Z max = 294 тыс. рублей,

причем 4-ому предприятию должно быть выделено

х4* = х4 (700) = 200 тыс. рублей

ЛИБО

х4** = х4 (700) = 100 тыс. рублей.

На долю остальных трех предприятий остается в 1-ом случае (х4* = 200) 500 тыс. рублей,

во 2-ом случае (х4** = 100) 600 тыс. рублей.

Из Таблицы № 2.2. видно, что 3-ему предприятию должно быть выделено

в 1-ом случае (х4* = 200): х3* = х3 (700 – х4*) = х3 (500) = 100 тыс. рублей

во 2-ом случае (х4** = 100): х3** = х3 (700 – х4**) = х3 (600) = 100 тыс. рублей.

Таким образом, х3* = 100 тыс. рублей.

Продолжая обратный процесс, находим:

в 1-ом случае (х4* = 200): х2* = х2 (700 – х4* - х3*) = х2 (400) = 200 тыс. рублей

во 2-ом случае (х4** = 100): х2** = х2 (700 – х4** - х3*) = х2 (500) = 300 тыс. рублей

ЛИБО

х2*** = х2 (500) = 200 тыс. рублей = х2*.

На долю 1-ого предприятия останется:

х1* = 700 – х4* - х3* - х2* = 200 тыс. рублей

х1** = 700 – х4** - х3** - х2*** = 300 тыс. рублей

х1*** = 700 – х4** - х3** - х2** = 200 тыс. рублей = х1*

Таким образом, одинаково оптимальными будут являться 3 варианта распределения капитальных вложений.

1-ый вариант

х1* = 200;	Z max = 294
х2* = 200;
х3* = 100;
х4* = 200

2-ой вариант

х1* = 200;	Z max = 294
х2** = 300;
х3* = 100;
х4** = 100

3-ий вариант

х1** = 300;	Z max = 294
х2* = 200;
х3* = 100;
х4** = 100

В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство:

Z max = f1(x1) + f2(x2) + f3(x3) + f4(x4)

1-ый вариант: 64 + 75 + 85 + 70 = 294 тыс. рублей

2-ой вариант: 64 + 98 + 85 + 47 = 294 тыс. рублей

3-ий вариант: 87 + 75 + 85 + 47 = 294 тыс. рублей

Следовательно, полученные решения верны.