3. Транспортная задача линейного программирования

Задание

Составить математическую модель транспортной задачи, взяв следующие исходные данные:

Вектор объемов потребления

Вектор объемов производства		38	42	28	41	Матрица транспортных издержек
	60	3	2	4	3
	50	5	3	1	4
	48	4	3	6	1

Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

3.1. Математическая модель транспортной задачи.

Транспортная задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом:

Известны:

• Вектор объемов производства, указывающий количество однородного продукта, сосредоточенное в каждом из трех пунктов производства (хранения):

• Вектор объемов потребления, указывающий количество данного продукта, необходимое каждому из четырех пунктов потребления:

В ( 38, 42, 28, 41 )

• Матрица транспортных издержек С, в которой каждый элемент с_ij означает стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления (производства) в j-ый пункт назначения (потребления):

Требуется:

Составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства, а общие транспортные расходы по доставке продукции были минимальны.

Составим математическую модель транспортной задачи:

Общий объем производства а_i = 60 + 50 + 48 = 158 единиц.

Общий объем потребления b_j = 38 + 42 + 28 + 41 = 149 единиц.

Таким образом, объем производства больше объема потребления а_i > b_j на 9 единиц, следовательно, данная модель транспортной задачи является открытой.

Для того, чтобы перевести ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления b’5 с объемом потребления 9 единиц, причем тарифы на перевозки в данный пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

Математическая модель транспортной задачи будет иметь вид:

1) Найти план перевозок (какое количество продукции из какого пункта производства и в какой пункт потребления необходимо перевезти)

2) минимизирующий общую стоимость всех перевозок

L = = 3х11 + 2х12 +4х13 +3х14 +5х21 +3х22 +х23 +4х24 +4х31 +3х32 +6х33 +х34 → min

3) при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт:

х11 + х12 + х13 + х14 + х’15 = 60

х21 + х22 + х23 + х24 + х’25 = 50

х31 + х32 + х33 + х34 + х’35 = 48

4) и любому потребителю доставляется необходимое количество груза:

х11 + х21 + х31 = 38

х12 + х22 + х32 = 42

х13 + х23 + х33 = 28

х14 + х24 + х34 = 41

х’15 + х’25 + х’35 = 9

5) где по смыслу задачи х11, х12, х13, х14, х’15, х21, х22, х23, х24, х’25, х31, х32, х33, х34, х’35 ≥ 0