1 курс 2 семестр (книга №3)
.pdf
|
|
|
1 = ∑x2n |
=1+ x2 + x4 |
+K+ x2n +K |
|||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
n=0 |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x ∑x2n = ∑x2n+1 |
=x + x3 |
+ x5 +K+ x2n+1 +K |
|||||
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
n=0 |
n=0 |
|
|
|
|
8. Уравнение вида
y′+ p(x) y = f (x) yn
называется уравнением Бернулли и сводится к линейному заменой z = y1−n или, как и многие уравнения первого
порядка, может быть решено методом Бернулли, т.е. подстановкой y = u v. Уравнение
|
′ |
|
y3 |
|
y |
= y ctg x + sin x |
|||
|
||||
легко приводится к виду
y′−ctg x y = sin1 x y3 ,
т.е. является уравнением Бернулли. Полагаем y = uv . Тогда y′ = u′v +uv′. Подставляем в уравнение и группируем слагаемые, содержащие u . Получаем
′ |
|
′ |
|
u3v3 |
|
|
|
|
−ctg x uv = sin x ; |
|
|||||
u v +uv |
|
|
|
||||
′ |
|
|
′ |
u3v3 |
(4) |
||
u v +u(v |
|
−ctg x v) = sin x . |
|||||
Предполагая, что |
|
|
|
|
|
|
|
получим |
v′−ctg x v = 0 , |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
= ctg x v; |
dv |
|
= ctg x dx; ∫ |
dv |
= ∫ctg x dx; ∫ |
dv |
= ∫ |
cos x |
dx; |
|||||||||||
dx |
v |
v |
v |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
||||||||||
∫ |
dv |
= ∫ |
d(sin |
x) |
; ln |
|
v |
|
= ln |
|
sin x |
|
|
+C; v = sin x. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
v |
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя v = sin x в уравнение (4), с учетом (5) приходим к следующему дифференциальному уравнению
u′sin x = |
u3 sin3 x |
;u′ = u |
3 |
sin x; |
du |
= u |
3 |
sin x; |
du |
= sin xdx; |
||
sin x |
|
|
dx |
|
u3 |
|||||||
∫ du3 = ∫sin xdx;− 1 |
2 |
= −cos x −C1 ;u = |
|
1 |
|
|
. |
|||||
u |
2u |
|
|
|
|
|
|
2 cos x +C |
|
|||
Окончательно получаем, что
y = uv = sin x |
1 |
= |
sin2 x |
|
2cos x +C |
2cos x +C . |
|||
9.При решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка сначала ищется общее уравнение y0 (x) однородного уравнения, затем находится частное решение y(x) неоднородного
уравнения, а общее решение неоднородного уравнения получается как сумма
y(x) = y0 (x) + y(x)
Таким образом, первым шагом в решении уравнения
y′′−2 y′+3y = e−x cos x
является решение соответствующего однородного уравнения
y′′−2 y′+3y = 0 . |
(6) |
Составляем характеристическое уравнение
λ2 −2λ +3 = 0 λ1,2 =1 ± 
2i .
Напомним, что если корни характеристического уравнения комплексны и равны λ1,2 =α ± βi , то общим решением
соответствующего однородного уравнения будет функция
y0 = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx) .
Итак, общим решением уравнения (6) будет функция
y0 = ex (C1 cos 
2x +C2 sin 
2x)
Так как левая часть уравнения равна e−x cos x , то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
y(x) = e−x (Psin x +Q cos x) ,
где P,Q - неизвестные константы. Имеем:
y′(x) = e−x (P cos x −Q sin x) −e−x (P sin x +Q cos x) = = e−x ((P −Q) cos x −(P +Q) sin x));
y′′(x) = −e−x ((P −Q) cos x −(P +Q) sin x) + e−x (−(P −Q) sin x − −(P +Q) cos x)) = e−x (−2P cos x + 2Q sin x)
Подставим полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение, после деления на e−x ≠ 0 получим:
−2P cos x + 2Q sin x −2P cos x + 2Q sin x +3P sin x +3Q cos x
+2Q cos x + 2P sin x +
=cos x.
Приведем подобные слагаемые:
(−4P +5Q) cos x +(5P + 4Q)sin x = cos x.
Откуда получаем равенство коэффициентов при соответствующих тригонометрических функциях:
−4P +5Q =1;
5P + 4Q = 0.
Решая систему, находим, что |
P = − |
4 |
|
,Q = |
5 |
|
. Таким |
|
41 |
41 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
образом, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид
|
−x |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
y(x) = e |
|
− |
|
|
sin x + |
|
|
cos x . |
|
41 |
41 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
Окончательно получаем следующее общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка
y(x) = e |
x |
( C1 sin 2x +C2 cos |
2x) +e |
−x |
− |
4 |
sin x + |
5 |
|
|
|
41 |
41 |
cos x . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Решим задачу Коши
3y′′−2 y′− y = 2x +3; y(0) =1;
y′(0) = 2.
Сначала решаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Составим для него
характеристическое уравнение 3λ2 −2λ −1 = 0, корни которого
равны λ1 =1,λ2 = −13. Тогда общее решение соответствующего линейного однородного уравнения имеет вид
|
|
|
y |
|
(x) = C ex +C |
e |
− |
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
3 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем частное |
решение |
неоднородного |
уравнения , пусть |
||||||||||
y(x) = Ax + B, тогда |
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
||
y (x) = A, y (x) = 0. Подставляя найденные |
|||||||||||||
значения |
в |
|
исходное |
уравнение, |
получаем |
||||||||
−2 A − Ax − B = 2x +3, откуда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− A = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 A − B = 3. |
|
|
|
|
|
|||
Очевидно, |
что |
|
A = −2, B =1. |
Тогда |
частное |
решение |
|||||||
неоднородного уравнения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y(x) = −2x +1.
Таким образом, общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения
y(x) = C1ex +C2e−3x −2x +1.
Для данных начальных условий найдем значения констант C1,C2. . Вычислим
y′(x) = C1ex − 13 C2e−3x −2.
Подставляя в |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
x = 0, y =1, y |
′ |
= 2 |
, приходим к |
|
y(x), y (x) значения |
|
||||||||||||
системе |
|
C |
+C |
|
= 0; |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C1 − |
|
|
C2 |
= 4. |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Откуда C1 = 3,C2 = −3. Итак, |
решением задачи Коши является |
||||||||||||
следующая интегральная кривая |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
y(x) = 3ex −3e |
− |
|
|
|
|
|||||||
|
3 −2x +1. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||