Добавил:

Sergo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1 курс 2 семестр (книга №2).pdf

Скачиваний:

123

Добавлен:

16.12.2013

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Глава 3

Двойной интеграл

§ 3.1. Определение двойного интеграла и его свойства

Подобно тому, как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, аналогичная задача вычисления объема тела приводит к понятию двойного интеграла. Определение последнего мало отличается от определения определенного интеграла для функции одной переменной.

1°. Определение двойного интеграла

Пусть f (x, y) – ограниченная функция двух переменных, заданная на ограниченном множестве G . Разобьем G с помощью некоторого набора кривых линий на части G1,G2 ,K,Gn , называемые ячейками. В

каждой ячейке Gi выберем точку (xi , yi )			и составим сумму
n	, yi	)σi ,
∑ f (xi	, yi	)σi ,	(3.1)
i=1

где G H – площадь ячейки (a < b) . Эта сумма зависит как от выбора разбиения множества G , так и от выбора точек (xi , yi ) в ячейках. Она называется интегральной суммой.

Обозначим само разбиение через G . Пусть di – максимум расстояния между точками ячейки Gi ; число G называется диаметром ячейки. Наибольшее из чисел d1,d2 ,K,dn назовем диаметром разбиения

T	и обозначим d(T ) . На рис. 3.1 показано разбиение прямоугольной области на 4 ячейки; диаметр ячейки
G1	– это расстояние между точками P и Q .
		Q

		G2
		G1
	P	G4
	P	G3

Рис. 3.1

Число d(T ) характеризует "степень мелкости" разбиения T ; чем меньше это число, тем мельче разбиение T . Если разбиения T1,T2 ,K выбираются так, что d(Ti ) → 0 при i → ∞, то будем говорить о

неограниченном измельчении разбиения множества G .

Определение. Если при d(T ) → 0 , т.е. при любом неограниченном измельчении разбиения множества G , интегральная сумма (3.1) стремится к определенному пределу, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по G и обозначается ∫∫ f (x, y)dxdy . В этом случае функция

f (x, y) называется интегрируемой в G .

2°. Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть f (x, y) ≥ 0 в области P ={a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d}. Для любой области G P определим тело

C( f ,G) ={(x, y, z) R3 : (x, y) G,0 ≤ z ≤ f (x, y)}.

С геометрической	точки зрения C( f ,G) – “столбик” с основанием G , ограниченный сверху
поверхностью z = f (x, y)	(рис. 3.2). Объем тела C( f ,G) обозначим V ( f ,G) .
	z
	C (f, G )

				x
				P
			G	P
			G
	y
			Рис. 3.2
Для неотрицательной функции f		интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy от f по области G , равен объему тела
			G
V ( f ,G) , ограниченного снизу областью G , а сверху – поверхностью z = f (x, y) (графиком функции).
3°.	Для каких функций существует двойной интеграл?
Теорема. Пусть функция f (x, y)		определена и непрерывна на ограниченном множествеG , причем

площадь границы этого множества равна нулю. Тогда существует двойной интеграл ∫∫ fdxdy.

Теорема. Пусть G – ограниченное множество, границы G и множества точек разрыва f на G .

существует интеграл ∫∫ fdxdy.

f – ограниченная функция на G , Γ – объединение Предположим, что площадь Γ равна нулю. Тогда

4°.		Свойства двойного интеграла
1)	Если существует интеграл от функции f					≡1 по G, то его значение совпадает с площадью области
интегрирования:				∫∫1dxdy =σ(G),			(3.2)
				∫∫1dxdy =σ(G),			(3.2)
где σ(G) – площадь G .				G
где σ(G) – площадь G .
2)	Справедливо равенство
			∫∫Cfdxdy = C∫∫		fdxdy,		(3.3)
где C const.			G	G
где C const.
3)	Если функции		f1	и f2 интегрируемы по области G , то справедливо равенство
		∫∫( f1 + f2 )dxdy = ∫∫ f1dxdy + ∫∫ f2dxdy.					(3.4)
		G		G	G
4)	Если	f1 и f2 – две функции, интегрируемые вG , и					f1 ≤ f2 , то
					∫∫ f1dxdy ≤ ∫∫ f2dxdy.
					G	G
5)	Если	f ≤ C(const) во всей области G , то
					∫∫ fdxdy ≤ Cσ(G).
					G
6)	Если функция		f	интегрируема в областях G, H и G ∩H , то f интегрируема в G H и
				∫∫	fdxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ fdxdy − ∫∫ fdxdy.
				G H	G	H	G∩H
7)	Если функция		f	ограничена на множестве G нулевой площади, то

∫∫ fdxdy = 0.

		G
8)	Свойство аддитивности интеграла. Если область интегрирования G функции f				разбита на две
части G = A B таким образом, что площадь A ∩B равна нулю, а f				интегрируема по A и по B , то
	∫∫ fdxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ fdxdy.
	G	A	B
5°.	Сведение двойного интеграла к повторному
Пусть область G – криволинейная трапеция,			ограниченная слева и справа прямыми x = a и			x = b
(a < b) ,	снизу – графиком функции y = g1 (x) ,	x [a,b] , сверху –		графиком y = g2 (x) ,	x [a,b] .	Тогда

справедлива следующая теорема, сводящая нахождение двойного интеграла к последовательному вычислению двух интегралов от функций одной переменной.

Теорема. Если функция

f (x, y) интегрируема в области G

и при любом фиксированном x

из [a,b]

( x )

существует интеграл

∫ f (x, y)dy , то справедлива формула

g1 ( x )

b g2

( x )

(3.5)

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫

∫ f (x, y)dy dx.

a g1 ( x )

( x )

называется повторным интегралом и часто записывается в

Замечание. Выражение ∫

∫ f (x, y)dy dx

g1 ( x )

b g2 ( x )

виде ∫dx

∫ f (x, y)dy.

a g1 ( x )

Примеры

Вычислить интеграл от функции

f (x, y) =

по области G , ограниченной прямыми x = 2, y = x и

гиперболой xy =1 (рис. 3.3).

Р е ш е н и е . Функция

f (x, y) =

непрерывная в области G , следовательно, интегрируема в этой

области. Проекция области

G на ось Ox есть отрезок [1,2].

При фиксированном значении

из этого

отрезка соответствующая прямая, параллельная оси

Oy ,

пересекает область G по отрезку

≤ y ≤ x.

Поэтому, согласно формуле (3.5),

∫∫

(x, y)dxdy =

∫

dy =

∫

dx =

−

2	2		1		2	3	x4
= ∫x		x −		dx = ∫(x
			x				− x)dx =	4
1					1
y

	x2	2		9
	x2	2		9
−			=		.
−			=		.
	2			4
	2	1		4
		1

xy = 1

Рис. 3.3

2.Вычислить интеграл от функции f (x, y) = x по области G, где G треугольная область с вершинами

A = (1,1),						B = (4,5),								C = (6,2)						(рис. 3.4).
	Р е ш е н и е .													Представим треугольную область G в виде объединения двух множеств G1 и G2.
Уравнения прямых имеют вид:																												4x −1						22 −3x					x +4
																				AB : y					=			4x −1		, BC : y			=	22 −3x				, AC : y =	x +4	.
																				AB : y					=					, BC : y			=					, AC : y =		.
																													3						2		3
	Тогда
∫∫xdxdy =										∫∫			xdxdy = ∫∫xdxdy + ∫∫xdxdy =
G									G1 G2									G1						G2
			4 x−1											22−3x													4 x−1								22 x−3x
	4					3							6			2					4				y=		4 x−1				6		y=		22 x−3x
	4					3							6			2					4				y=						6		y=
= ∫dx						∫x			dy			+ ∫				∫x	dy =				∫(xy)						x+34 dx + ∫					(xy)			x+42		dx =
					x+4											+4									y=								y=
																									y=								y=
	1												4		x						1							5			4				5
						5										5
4	17			x		2	−		17		x					6	51		x −		17	x	2
= ∫		15		x			−		15		x		dx + ∫				5		x −		10	x			dx =
1		15							15							4	5				10
	17							17						4		51					17					6			153			238		187
	17		x	3		−		17		x		2		4		51		x	2	−	17	x	3			6		=	153		+	238	=	187		.
=			x	3		−				x		2		+				x	2	−		x	3					=			+		=			.
	45							30						1		10					30	y				4			10			15			6
	45							30						1		10					30					4			10			15			6
																																	B
																						5											B

Рис. 3.4

Непосредственно из определения двойного интеграла следует, что если функция

f (x, y) интегрируема

в G

и множество

симметрично относительно оси

Ox ,

то из равенства

f (x, y) = f (x,−y)

(четности

функции f (x, y) относительно переменной y ) следует, что

∫∫ f (x, y)dxdy = 2∫∫ f (x, y)dxdy,

где G1 = G ∩{(x, y) : y ≥ 0}, а из равенства

f (x, y) = − f (x,−y)

(нечетности

f (x, y)

относительно переменной

y )

следует,

что

∫∫ f (x, y)dxdy = 0.

Так, например,

сразу

можно

утверждать, что

интеграл

где G = {(x, y) : x4 + y4 ≤ x2 + y2 }

∫∫ y17 (1+ x2 + y2 )24 dxdy,

равен

нулю.

Аналогичные

равенства

Oy , а

f (x, y)

справедливы,

если

симметрично

относительно оси

функция

четна или нечетна

относительно переменной x .

3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

y2 = 5x +9 и y2 = −3x +1.

Р е ш е н и е . Вершины параболы находятся на оси Ox в точках −

(рис. 3.5). Заданные

параболы образуют область G , площадь которой требуется найти:

σ(G) = ∫∫1dxdy.

Заметим, что область G				симметрична относительно оси Ox , а функция f (x, y) =1 четна, в частности по
переменной y . Следовательно, имеем:
											σ(G) = ∫∫dxdy = 2∫∫dxdy,
														G							G1
где G1 = G ∩{(x, y) : y ≥ 0}. Найдем									точки			пересечения парабол												в области G1 : 5x +9 = −3x +1, отсюда
x = −1, y = 2. Таким образом, область G1 определяется системой неравенств
								G	= (x, y) : 0 ≤ y ≤ 2,										y2 −9				≤ x ≤	1− y2	.
								G	= (x, y) : 0 ≤ y ≤ 2,														≤ x ≤		.
							1													5				3
																				5				3
Тогда
							1−y2
					2
					2
σ(G) = 2∫∫dxdy = 2∫dy ∫3 dx										=
G					0		y2 −9
1
							5
2	32		8				2			32			8		3		2			256
2	32		8				2			32			8		3		2			256
= 2∫		−				y	dy = 2				y	−		y			=					.
= 2∫	15	−	15			y	dy = 2			15	y	−	45	y			=			45		.
0	15		15							15			45				0			45
																						y
																					2	y2 = −3x +1 x
																					2

															G 1




									y2 = 5x +9							-		1
																-		1

Рис. 3.5

Иногда при вычислении двойных интегралов приходится сталкиваться с задачей изменения порядка

b	g2	( x )
расстановки пределов интегрирования в повторном интеграле ∫dx		∫ f (x, y)dy. Для решения такой задачи
a	g1 ( x )

сначала делаем переход от заданного повторного интеграла к двойному:

b	g2	( x )
∫dx		∫ f (x, y)dy = ∫∫ f (x, y)dxdy.
a	g1 ( x )		G

Условия на координаты точек (x, y) множества G получаем исходя из заданного повторного интеграла:

G ={(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} =

{(x, y) : c ≤ y ≤ d,h1 ( y) ≤ x ≤ h1 ( y)}.

Таким образом, получаем цепочку равенств:

b	g2	( x )		d	h2	( y )
∫dx		∫ f (x, y)dy = ∫∫ f (x, y)dxdy =∫dy				∫ f (x, y)dx.
a	g1 ( x )		G	c	h1 ( y )

Обычно средний член этой цепочки (двойной интеграл) только подразумевается (как общее значение равных повторных интегралов), но не записывается.

4.Изменить порядок интегрирования и свести к одному повторному интегралу

	x				4−x2
2	x	f (x, y)dy +	2		4−x2
∫dx	∫	f (x, y)dy +	∫	dx	∫ f (x, y)dy .
0	0		2		0

Р е ш е н и е . Начнем с того, что запишем условия на координаты точек (x, y) из множеств G1 и G2 , по которым берутся повторные интегралы:

Тогда (рис. 3.6.)

где

Таким образом,

	G1 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ x},
	G2	= {(x, y) :		2 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤					4 − x2 }.
				G1 G2		= G,
	G = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 4 − y2 }.
2	x				2	4−x2
∫	dx	∫	f (x, y)dy +				∫	f (x, y)dy		=
∫	dx	∫	f (x, y)dy +		∫dx		∫	f (x, y)dy		=
0		0			2		0
						2		4−y2
=	∫∫		f (x, y)dxdy =
=	∫∫		f (x, y)dxdy =			∫dy		∫ f (x, y) dxdy.
G=G		G				0		y
	1		2

			y
	2						y = x
							y = x
	2
							x2 + y2 = 4
				G1		G2				x
										x
	0				2			2
				Рис. 3.6

Перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.

5.Изменив порядок интегрирования, вычислить повторный интеграл

1	1
∫dx∫6 1		− y2 dy.

Ре ш е н и е . Внутренний интеграл не является элементарной функцией. Множество G представляет собой треугольную область и определяется системой неравенств (рис. 3.7):

G ={(x, y) : 0 ≤ x ≤1, x ≤ y ≤1}={(x, y) : 0 ≤ y ≤1,0 ≤ x ≤ y}.

Следовательно,

1	1	6		2		6			2		1	y		6				2
∫dx∫		6	1 − y	2	dy = ∫∫	6		− y	2	dxdy			∫	6	1	− y		2		=
∫dx∫			1 − y		dy = ∫∫		1	− y		dxdy	= ∫dy		∫		1	− y			dx	=
0	x				G						0		0
	1		− y2 ydy = − 3				6	(1 − y2 )7 6			(1 − y2 )7			1			3 .
= ∫6 1			− y2 ydy = − 3				6	(1 − y2 )7 6			(1 − y2 )7					=	3 .
	0				7										0		7
	0														0

	y
1
	G
	y = x
	x
0	1
	1
	Рис. 3.7

Упражнения

Вычислить двойные интегралы:

3.1.1.

∫∫(4x +3y)dxdy,

где G ={(x, y) : 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤1}.

3.1.2.

∫∫(5x + 2)sin(x + y)dxdy, гдеG = (x, y) : 0 ≤ x ≤π,0 ≤ y ≤

3.1.3.

∫∫(15x2 +6 y)dxdy,

где G ={(x, y) : 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ 2}.

где G = {(x, y) : 0 ≤ x ≤1, x2 ≤ y ≤ x}.

3.1.4.

∫∫(x +1)( y −3)2 dxdy,

3.1.5.

∫∫ y2dxdy, где G ограничено линиями x = y2 , y = x − 2.

3.1.6.

∫∫(x + y)dxdy, где G – треугольник, ограниченный прямыми x = 2 y, y = 2x, x + y = 6.

3.1.7.

∫∫(x + 2 y)dxdy, где G ограничено прямыми y = x,

y = 2x, x = 2, x = 3.

3.1.8.

∫∫(x2 + y2 )dxdy,

где G ограничено прямыми y = x,

y = x +1, y =1, y = 3.

3.1.9.

∫∫e

dxdy, где G ограничено параболой y2 = x и прямыми x = 0, y =1.

3.1.10.

∫∫min{x, y}dxdy,

где G ={(x, y) : 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤1}.

Изменить порядок интегрирования и свести к одному повторному интегралу:

2 y

3.1.11. ∫dy ∫

f (x, y)dx +

∫dy ∫

f (x, y).

3.1.12.

f (x, y)dy +

∫dx∫

∫

∫ f (x, y)dy. .

x2 −3

Изменив порядок интегрирования, вычислить повторные интегралы:

3.1.13.

∫dx∫3

4 − y2 dy.

3.1.14.

∫dy∫

sin x

dx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
16.12.20132.03 Mб1231 курс 2 семестр (книга №2).pdf
#
16.12.2013695.59 Кб961 курс 2 семестр (книга №3).pdf
#
16.12.201348.13 Кб27vyshka_var_2008.doc
#
16.12.201365.54 Кб76Билет по высшей математике.doc
#
16.12.2013498.16 Кб32Билет по вышке 2 семестр 2005-2006.jpg
#
16.12.2013385.09 Кб56Билеты по высшей математике ГУУ.jpg