2.4.2.12. Доказать, что определяющий гамма функцию интеграл Γ(s)= ∞∫xs−1e−x dx сходится при s > 0 и

0

проверить следующие свойства: а) Г(s + 1) =sГ(s); б) Г(n + 1) = n!

2.4.2.13. Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Сходится ли интеграл

∫1 dx ? Ответ обоснуйте.

0 x

2.4.2.14. Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Сходится ли интеграл

§ 2.5. Приближенное вычисление интегралов

Приближенное вычисление интегралов применяют обычно в тех случаях, когда точное вычисление искомого интеграла сопряжено с трудностями, а для практических целей достаточно знать его приближенное значение, или когда первообразная не является элементарной функцией. Укажем несколько примеров неопределенных интегралов такого вида:

и т.д.

Наиболее распространенными являются следующие формулы численного интегрирования. В приведенных ниже формулах приняты следующие обозначения:

n − число равных отрезков, на которые разбивают отрезок интегрирования [a, b], в формулах прямоугольников и Симпсона n − четное число;

y0, y1, …, yn − значения функции f(x) соответственно в точках деления x0 = a, x1, …, xn = b.

1.Формула прямоугольников:

∫b f (x)dx ≈ 2(bn− a)(y1 + y3 +K+ yn−1 ) .

a

2.Формула трапеций:

Из приведенных формул наиболее точной является формула Симпсона.

Примеры

4

1. Найти приближенно интеграл ∫x2dx , применяя формулы прямоугольников и трапеций при n = 10.

абсциссы точек деления и соответствующие значения функции: