Добавил:

Sergo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1 курс 2 семестр (книга №2).pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

16.12.2013

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Глава 1

Неопределенный интеграл

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x), если выполняется равенство F'(x) = f(x). Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают символом ∫ f (x)dx . Таким образом,

∫ f (x)dx = F (x)+C , если F'(x) = f(x),

где C − произвольная константа.

Для непрерывной функции f(x) всегда существует первообразная, следовательно, и неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла

∫dF (x)= F (x)+C ; ∫F′(x)dx =F(x)+C; d (∫ f (x)dx)= f (x)dx .

∫[f1 (x)+ f2 (x)]dx = ∫ f1 (x)dx + ∫ f2 (x)dx ;

∫Cf (x)dx = C∫ f (x)dx .

Таблица интегралов
1.	∫xndx =	xn+1	+C , n ≠ −1;	∫	dx	= 2 x +C ; ∫	dx	= −	1	+C .
		n +1			x		2		x
							x

2.∫ dxx = ln x +C .

3.	∫ax dx =	ax	+C , a ≠1; ∫ex dx = ex +C .
		ln a

4.∫cos xdx = sin x +C .

5.∫sin xdx = −cos x +C .

6.∫ cosdx2 x = tgx +C .

7.∫ sindx2 x = −ctgx +C .

8.	∫	dx	= arcsin x	+C ;	∫	dx	= arcsin x +C .
		a2 − x2	a			1− x2

9.∫ a2 dx+ x2 = a1 arctg ax +C ; ∫1+dxx2 = arctgx +C .

10.∫ x2 dx− a2 = 21a ln xx −+ aa +C .

11. ∫	dx	= ln x + x2 ± a2 +C .
	x2 ± a2

Замечание 1. Любая из написанных формул сохраняет силу и при замене переменной x на произвольную непрерывно дифференцируемую функцию u(x). Например,

∫ duu = ln u +C .

Для определения вида функции по заданному виду ее дифференциала применяют различные приемы интегрирования, которые позволяют решить эту задачу для отдельных классов функций. Ниже приведены наиболее важные из них.

Замечание 2. Надо иметь в виду, что в общем случае задача выражения первообразной через элементарные функции не имеет решения. Так, например, не являются элементарными функциями неопределенные интегралы следующих видов:

∫ sin x dx; ∫	cos x dx; ∫	dx	; ∫e−x2 dx; ∫sin x2dx; ∫	ex	dx; ∫ xtgxdx; ∫ sin xdx
x	x	ln x		x
как и все сводящиеся к ним.

§ 1.1. Непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенного интеграла с помощью таблицы интегралов (с учетом Замечания 1) и

правил интегрирования называют непосредственным интегрированием.

Примеры

1.	∫x6dx =					x7	+C .
1.	∫x6dx =						+C .
						7
		dx =					1		2					3			2
2.	∫			∫x−			1				+C =			3			2
2.	∫			∫x−			3 dx = x 3				+C =			3 x			+C .
		3	x						2					2
									3
3.	∫		dx		= ∫			dx			=	1	arctg		x	+C .
3.	∫	4	2		= ∫		2	2	2		=		arctg			+C .
		4	+ x				2	+ x			2			2
																				1
4.	∫(2x3 −3sin x +5									x )dx = ∫2x3dx −3∫sin xdx +5∫x												dx =
4.	∫(2x3 −3sin x +5									x )dx = ∫2x3dx −3∫sin xdx +5∫x											2	dx =
									3
	= 2 x4 +3cos x +5 x 2										+C = x4 +3cos x +								10x x	+C .
		4							3					2					3
									2
5.				+		π								π				π				π	+C .
5.	∫sin x			+		3	dx =		∫sin x +						d x +			3	= −cos x +			3	+C .
						3								3				3				3

6.∫(2x −6)8 dx = ∫(2x −6)8 12 d (2x −6)= 12 ∫(2x −6)8 d (2x −6)=

1 (2x −6)9

+C =

(2x −6)9

+C .

∫ x

2x2 +7dx = 1

∫

2x2 +

7 4xdx = 1

∫ 2x2 +7d (2x2 +7)=

(2x2 +7)3 +C .

(2x2 +7)

+C =

∫

ln2 x

dx =

∫ln2 x

= ∫ln2 xd (ln x)=

ln3 x

+C .

∫

2x −3

dx = ∫

d (x

2 −3x +1)

= ln

−3x +1

+C .

−3x +1

10.

∫

x2dx

= ∫

x2dx

∫

3x2dx

∫

d (x3 )

4 − x6

4 −(x3 )2

22 −(x3 )2

=1 arcsin x3 +C .

3 2

11.∫ xex2 dx = ∫ex2 xdx = 12 ∫ex2 2xdx = 12 ∫ex2 d (x2 )= 12 ex2 +C .

						3
12.	∫	arctg2 x dx = ∫ arctgx	dx	2 = ∫	arctgx d (arctgx)= =	(arctgx)2	+C =	2	arctg3 x +C .
		1+ x	1+ x			3		3
						2

Упражнения

1.1.1.Дайте определение неопределенного интеграла.

1.1.2.Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

1.1.3.Докажите, что d(∫ f (x)dx)= f (x)dx .

1.1.4.Докажите, что ∫dF(x) = F(x) +C , где C − произвольная постоянная.

1.1.5.Докажите формулу

∫(af (x) +bg(x))dx = a∫ f (x)dx +b∫g(x)dx ,

где a , b – произвольные числа, не равные нулю одновременно.

1.1.6.

Дайте определение первообразной функции

f (x)

на

промежутке

X .

Сколько различных

первообразных имеет на нем функция

f (x) ?

Приведите примеры первообразных для функции

f (x) =1/(1+ x2 ) .

1.1.7.

Докажите,

используя

табличное

значение

интеграла

∫xndx

при

n ≠ −1,

что

∫(ax +b)n dx =

1 (ax +b)n

+C , где a , b ,

C − произвольные постоянные,

a ≠ 0 .

a n +1

1.1.8.

Докажите, используя табличное значение интеграла ∫

, что ∫

ax +b

+C , где a ,

b , C

ax +b

− произвольные постоянные, a ≠ 0 .

1.1.9.Докажите, что если F(x) − первообразная для функции f (x) на промежутке X , то все ее первообразные имеют вид F(x) +C , где C − произвольная постоянная. Приведите примеры первообразных для функции f (x) = ax .

1.1.10. Докажите, что		если F(x) − первообразная функции f (x) ,	то выполнено равенство
∫ f (ax +b)dx =	1	F(ax +b) +C , где a , b , C − произвольные постоянные,	a ≠ 0 .
	a

Найти интегралы, применяя непосредственное интегрирование.

1.1.11.	∫(		x +1)(x −					x +1)dx .
1.1.13.		a	x	+	a−x
	∫		1		3		2	dx .
						x

1.1.15.	∫	15x +1				dx .
		2	x + 4
1.1.17.	∫(sin x +cos x)2 dx .

1.1.12.	∫	x − x3ex + x2
		x	3	dx .

1.1.14.	∫	3 + x2 −		3 − x2	dx .
		9 − x4

1.1.16.∫ xsin 2x +3 x cos x dx .

xcos x

1.1.18. ∫		cos 2x			dx .
1.1.18. ∫	sin	2	2	x	dx .
	sin	x cos		x

1.1.19.∫sin2 2x dx .

1.1.21.∫ctg2 xdx .

1.1.23.∫(tgx +ctgx)2 dx .

1.1.25.	∫		1+ 2x2			dx .
1.1.25.	∫	x2		(1+ x2 )		dx .
		x2		(1+ x2 )
1.1.27.	∫			x				dx .
1.1.27.	∫	(1	+ x2 )(1 + x + x2 )					dx .
		(1	+ x2 )(1 + x + x2 )
1.1.29.	∫			4x +5			dx .
1.1.29.	∫	2x		2	6		dx .
		2x		+5x −	6

1.1.31.∫ lnxx dx .

1.1.33.	∫		dx	.
1.1.33.	∫	arcsin3	x	.
		arcsin3	x	1− x2
1.1.35.	∫	x3	dx .
		1− x8

1.1.37.∫ecos x sin xdx .

1.1.39.	∫	− 2		x			dx .
1.1.39.	∫	− 2	1	− x	2		dx .
			1	− x
1.1.41.	∫					1		dx .
1.1.41.	∫	(arcsinІx) (1− xІ)						dx .
		(arcsinІx) (1− xІ)

1.1.43.∫ 1 9x + 4 dx . 2 (x +3)

1.1.20.∫cos2 2x dx .

1.1.22.∫tg2 xdx .

1.1.24. ∫		x4	dx .
	x	2
		+9

1.1.26.∫1−2x2 dx .

1.1.28.∫5 (2x +7)3 dx .

1.1.30.∫ ex + e−x dx . ex − e−x

1.1.32. ∫	cos 2x	dx .
	sin x cos x

1.1.34.∫ arctg1+ x2x dx .

1.1.36.	∫		sin x		dx .
		3	cos2		x
1.1.38.	∫		1	dx .
1.1.38.	∫	x ln x		dx .
		x ln x

1.1.40.∫−6(1− x3 )11 x2dx .

1.1.42. ∫(6x +1) (3xІ+ x +1)dx .

§ 1.2. Замена переменной в определенном интеграле

Если интеграл нельзя найти непосредственно, то в некоторых случаях можно применить метод замены переменной, положив

x = ϕ(t), где ϕ(t) − непрерывно дифференцируемая монотонная функция. Справедлива формула замены переменной:

∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt .

Замечание. Иногда целесообразно применять эту формулу "справа − налево". Несколько наиболее часто встречающихся замен переменных:

а)				m	r
	∫
	∫
		R x, x n ,K, x s dx , где R − рациональная функция своих аргументов. Если k − общий знаменатель

дробей, входящих в показатели степени, то применяют замену переменной x = t k.
б)	∫R(x,		ax2 +bx +c )dx сводится после выделения полного квадрата из квадратного трехчлена ax 2 +

bx + c к трем основным видам, к которым можно применить тригонометрические замены переменной:

1)∫R(x, a2 − x2 )dx − замена переменной x = asint или

x= acost.

2)∫R(x, a2 + x2 )dx − замена переменной x = atgt.

3)∫R(x, x2 − a2 )dx − замена переменной x = asect.

в) ∫R(sin x,cos x)dx сводится к интегралу от рациональной функции заменой переменной	t = tg	x

(или x = 2arctgt), т.к. имеют место формулы	2

2tg

1− tg2

2tg

sin x =

;

cos x =

;

tgx =

1+ tg2

1− tg2

или

sin x =

;

cos x =

1−t2

;

tgx =

; dx =

2dt

1+t2

1−t2

1+t2

Примеры

∫

xdx .

+ 2 x

Непосредственно найти этот интеграл нельзя,

поэтому применим замену переменной t =1+ 2 x ;

откуда x =

(t −1)2

;

dx =

2(t −1)dt .

xdx

t −1

2(t −1)

−

− 2t

∫

= ∫

∫

dt =

∫

dt =

+ 2

∫tdt

∫dt +

∫ t − 2 +

−

∫

−

= (1+ 2

x )2

−

1+ 2 x

1 ln1+ 2

x +C .

∫ 2 + x + 3 x dx .

6 x +1

Общий знаменатель показателей 13 , 16 и 12 равен 6, следовательно, следует применить замену x = t6 , dx = 6t5dt .

∫

2 +

x + 3 x

dx =

∫

2 +t2 +t3

dt =

x +1

t +1

= 6∫ t

2 t

−t

dt =

+ 2

−

+ln(t +

3x3

126 x5

−33 x2 + 4 x −66 x +12ln(6 x +1)+C .

∫

x + 4 dx .

Применим замену переменной x + 4 = t2 , откуда x = t2 − 4 ; dx = 2tdt . Тогда

∫

x + 4 dx

= ∫

2tdt

= 2∫

2dt

= 2∫

t2 −

4 + 4

−

− 4

= 2∫dt +8∫

t − 2

2∫ 1+

2t +8

+C .

− 4

−

t + 2

Так как t =

x + 4 ,

I = 2

x + 4 + 2ln

x + 4 − 2

+C .

x + 4 + 2

	4. ∫		dx	=∫
		2	+ 4x + 3
	x
= ∫	d(x + 2)		=ln x + 2 +
	(x + 2)2 −1

	dx	=∫	dx	=
x2	+ 4x + 4 −1		(x + 2)2
				−1
x2 + 4x + 3 + C .

5. ∫

∫

4x − 4x2 +

x − x2 +

∫

1 ∫

d (x −0,25)

− (x − 0,5)2 +1,5

( 1,5)2 −(x −0,5)2

6. ∫

25 − x2 dx .

Положим x = 5sint, dx = 5costdt;

		dx			=
−		2	− x −	5	=
−	x		− x −	4
				4
=	1 arcsin			x −0,5		+C .
	2				1,5

25 − x

25 −

25sin

t = 5 1

−sin

t = 5cost

на промежутке

;

−

∫

25 − x2 dx

= ∫5cost 5costdt = 25∫cos2 tdt = 25∫

1+cos 2t

dt =

∫dt +

∫cos 2tdt = =

t +

sin 2t +C .

Осталось вернуться к переменной x:

t = arcsin

; sin2t = 2sintcost =

25 − x

25 − x2

. =

Окончательно, ∫

25 − x

2 dx = 25 arcsin x

+ x

25 − x2

+C .

∫

3 +5cos x

2dt

Положим t = tg

, тогда dx =

1 +t2

3 +5cos x = 3 +5

1−t2

8 −2t2

+t2

1+t2

2dt

2 +t

2 + tg

∫

= ∫

+C .

3 +5cos x

(1 +t2 )

2 −t

8 −

−t

2 − tg

∫

1+t

x2 +9

Положим t = x +

x2 +9 , тогда

dt = x

+ x dx; dt =

dx .

dt = 1+

dx ;

2 x

∫

= ∫

= ln t +C = ln x + x2 +9 +C .

x2 +9

u = lnx, dv = R(x)dx;

u = arctgx, dv = R(x)dx; u = R(x), dv = exdx;

u = R(x), dv = sinxdx; u = R(x), dv = cosxdx,

				Упражнения
Найти интегралы, применяя метод замены переменной:						cos(ln x)
1.2.1.	∫ sin		x dx .	1.2.2.	∫	cos(ln x)			dx .
1.2.1.	∫ sin		x dx .	1.2.2.	∫				dx .
	2		x			x
1.2.3.	∫ x2 3		1+3x3 dx .	1.2.4.	∫	3xdx			.
						2 x +3
						3
1.2.5.	∫cos	3	xdx .	1.2.6.	∫	3	4	x		3	dx .
1.2.5.	∫cos		xdx .				4	x		3
						4 1+		x

1.2.7. ∫			x	dx .
	1	+	1+ x

1.2.9.∫cos5 xdx .

1.2.11. ∫tg4 xdx .

1.2.13.	∫		4 − x2 dx .
1.2.15.	∫	x	dx	.
		x	1+ x2

1.2.8. ∫	1	4 x	x	dx .
	1	−	x

1.2.10. ∫sin3 x cos4 xdx .

1.2.12.	∫	dx			.
1.2.12.	∫	sin x cos	3	x	.
		sin x cos		x
1.2.14.	∫	x2dx .
		1− x2
1.2.16.	∫	dx .
		ex +1

1.2.17.	∫cos7 xdx .	1.2.18. ∫sin5 xdx
1.2.19.	Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. Приведите пример.

§ 1.3. Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям применяют в тех случаях, когда подынтегральная функция представляется в виде произведения двух функций u и v, из которых хотя бы одна является трансцендентной (тригонометрическая, обратная тригонометрическая, показательная, логарифмическая,). Тогда, записывая подынтегральное выражение как произведение функции u на дифференциал другой функции dv, используем формулу интегрирования по частям

∫udv = uv − ∫vdu .

Интеграл в правой части формулы может оказаться проще, чем исходный. Например, как в следующих случаях:

∫R(x)ln xdx

∫R(x)arctgxdx

∫R(x)ex dx

∫R(x)sin xdx

∫R(x)dx cos xdx

где R(x) − рациональная функция (в частности, многочлен).

Примеры
1. ∫arctgxdx = xarctgx − ∫		x		dx = xarctgx −	1	∫	2xdx	=
1. ∫arctgxdx = xarctgx − ∫	1	+ x	2	dx = xarctgx −	2	∫	2	=
	1	+ x			2		1+ x

u = arctgx

dv = dx

= xarctgx − 1 ∫ d (1+ x22 ) 2 1+ x

du = 1+dxx2

v = ∫dx = x (положим C = 0) = xarctgx − 12 ln(1+ x2 )+C .

2. ∫ln xdx = x ln x − ∫	xdx	= x ln x − ∫dx = x ln x − x +C .
2. ∫ln xdx = x ln x − ∫	x	= x ln x − ∫dx = x ln x − x +C .
	x			dx
u = lnx			du =	dx
u = lnx			du =	x
				x
dv = dx			v = x.

Иногда этот метод приходится применять несколько раз.

∫x2 sin xdx = −x2 cos x + 2∫x cos xdx =

u = x 2

du = 2xdx

u1 = x

du1 = dx

dv = sinxdx

v = −cosx

dv1 = cosxdx

u1 = sinx

= −x2 cos x + 2(xsin

x − ∫sin xdx) = −

x 2cosx + 2xsinx + 2cosx + C.

∫ x3e−

dx = −x2e−

+ 2∫xe−

dx = − x2e−

− 2e−

+C .

u = x 2

du = 2xdx

−

v = ∫xe

dx = −∫e

dv = xe

2 dx

d −

= −e

В некоторых случаях применение этого метода хотя и не избавляет от наличия знака интеграла в преобразованном выражении, но позволяет получить уравнение относительно исходного интеграла.

5. ∫ex sin xdx = ex sin x − ∫ex cos xdx = ex sin x − (ex cos x + ∫ex sin xdx).


u = sinx	du = cosxdx			u1 = cosx	du1 = −sinxdx
dv = exdx	v = ex			dv1 = exdx	v1 = ex.
Поэтому 2∫ex sin xdx = ex sin x − ex cos x +C1 , откуда
∫ex sin xdx =		1	ex (sin x −cos x)+C , где C =			C1	.

	2				2

6. В некоторых случаях интегрирование по частям следует применить к "простому" интегралу, чтобы получить более сложный. Найдем, например, интеграл

∫ (1+dxx2 )2 = I.

Для этого проинтегрируем по частям известный интеграл

∫1+dxx2 = arctgx +C , полагая

u =		1
		+ x2
1

dv = dx

du = −

2xdx

(1+ x2 )2

v = x.

∫

+ 2∫

x2dx

+ 2∫

x2 +1−1

dx ;

+ x

1+ x

+ x2 )

1+ x

(1+ x2 )

∫

+ 2∫

− 2∫

+ x

(1+ x2 )

После простых преобразований окончательно получаем

I = 12 1+xx2 + 12 arctgx +C .

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
16.12.20132.03 Mб1241 курс 2 семестр (книга №2).pdf
#
16.12.2013695.59 Кб971 курс 2 семестр (книга №3).pdf
#
16.12.201348.13 Кб28vyshka_var_2008.doc
#
16.12.201365.54 Кб78Билет по высшей математике.doc
#
16.12.2013498.16 Кб33Билет по вышке 2 семестр 2005-2006.jpg
#
16.12.2013385.09 Кб58Билеты по высшей математике ГУУ.jpg