Односторонние пределы функции*

Левосторонний предел функции. Если отыскивается предел функцииf(x)при условии, чтох, стремясь ка,может принимать только такие значения, которые меньшеа, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функцииf (х)(или левым пределом функции).

Для того чтобы показать, что х стремится ка, оставаясь меньшеа, употребляется запись:, а левосторонний предел функции обозначается символом:.

Правосторонний предел функции. Если отыскивается предел функцииf(x)при условии, чтох, стремясь ка, может принимать только такие значения, которые большеа, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функцииf(x)(или правым пределом функции).

То, что х,стремясь ка, остается большеа, обозначается так:, а правосторонний предел функции обозначается символом:.

Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда.

Определение Функция f(x) называется непрерывной при х = а, если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f(a). То есть:

.

Точки разрыва и их классификация*

Если равенство в какой-либо его части не выполняется, то о точкеговорят, что она является точкой разрыва.

Точка разрыва первого рода

Рис. 2

Определение. Если левосторонний предел функции и ее правосторонний предел существуют, но не равны, между собой, т. е. если то точка а называется точкой разрыва первого рода(см. рис. 2).

Точка разрыва второго рода

а) б)	Определение. Если в точке х = а не существует конечный левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода. На рис. 3, аотсутствует левосторонний предел функции; на рис. 3,б– нет правостороннего предела функции.
Рис. 3

Рис. 4

На рис. 4 представлен график функции, которая не имеет в точке х = ани левостороннего, ни правостороннего предела. Во всех этих случаях говорят, что функция в точкех = атерпит разрыв второго рода (иначе: точках = а— точка разрыва второго рода).

Устранимый разрыв

Определение. Если в точке х = а функция f(x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f(a), то точка х = а называется точкой устранимого» разрыва.

Таким образом, в этом случае . Разрыв «устраняется» тем, что полагают, т. е. принимают, что.

Пример.Пользуясь определением непрерывности функции через предел, докажем, что функциянепрерывна в произвольной точке.

Решение. Выразим приращение функции при произвольном приращении аргумента в некоторой точкех:

Подставим полученные выражения в формулу приращения функции, и после упрощения получим:

.

Найдем предел приращения функции при приращении аргумента, стремящемся к 0:

В итоге получаем, что при любом значении хпредел приращения функции равен нулю, что доказывает ее непрерывность при любом значениих.

Пример.Исследуем на непрерывность прих= 1 следующую функцию:

.

Решение. Так как знаменатель дроби равен нулю при, то функция разрывна при. Установим характер этой точки разрыва. Найдем сначала левосторонний предел функции:

Если , то можно представить,и считать, что, оставаясь положительной, стремится к нулю. Заменяяхна, получим:

так как при величинабесконечно большая,также бесконечно велика,– бесконечно большая величина, обратная ей величинабесконечно мала:, а потому

Теперь определим правосторонний предел функции. Если х →1 + 0, можно положить х = 1 + α (α > 0) и считать, что α, оставаясь положительной, стремится к нулю.

Тогда, заменяя хна 1 + α, получим:

,

т

.)

ак как привеличинабесконечно большая,также бесконечно велика,– величина бесконечно малая, т.е. ее предел будет равен 0.

Итак, у функции существуют и левосторонний предел, равный 2, и правосторонний предел, равный 3, но между собой они не равны. Из этого мы заключаем, что точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода.

Пример.Построим графики и определим, какого рода разрыв имеет функция в данной точке (если точка не указана, определим точки разрыва самостоятельно):

1) ,2)3).

Решение.

1. в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5,а).

2. в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5,в).

3. функция имеет точки разрываи. В обеих точках функция имеет разрыв второго рода (см. рис. 5,б).

а)	б)	в)
Рис. 5