ния данных при выполнении цикла Repeat until возможны нарушения алгоритма. Так если величина x после переопределения теоретически равна xmax , а ее реальное значение представленное в ЭВМ на крайне малую величину больше xmax осуществится выход из цикла и последнее значение x=xmax обработано не будет.

Подобные случаи рассматриваются при написании программы на алгоритмических языках и, как правило, исключаются путем повышения точности представления данных в ЭВМ. При работе с циклами следует четко выполнять правило: допускается выход (по условию) из любого места любого цикла, но вход в любой цикл возможен только через его начало.

1.3.4. Вложенные циклы

В ряде практических расчетов приходится проводить обработку величин, являющихся функциями двух или более независимых аргументов, например F = f(X,Y).

В таких случаях необходимо организовывать циклы в циклах, причём параметры каждого цикла изменяются независимо друг от друга.

На рис.1.7 представлен алгоритм расчета по зависимости F=f(xi,xj), причём i=1,2,3,...,n и j=1,2,3,...,m. Т.е. индекс i изменяется от начального значения 1 до конечного n с шагом 1, а индекс j изменяется от начального значения 1 до конечного m с шагом 1. В обоих случаях используется цикл с подсчетом числа проходов.

В данном алгоритме до выполнения проходов циклов вводятся максимальные значения индексов i и j (это соответственно величины n и m).

13

При организации циклов вначале открывается внешний цикл с параметром цикла i. Сразу же после открытия внешнего цикла выводится текущее значение индекса i и вводится значение аргументов xi. Вывод значения индекса элемента массива позволяет избежать ошибок при вводе большого количества элементов массива.

Затем открывается внутренний (вложенный) цикл с параметром j. Во вложенном цикле производится ввод значения аргумента yj (с предварительным выводом значения индекса j), расчет значений функции F и вывод ее значения.

Рассмотренный алгоритм не является удачным, поскольку для каждого значения xi необходимо вводить весь набор значений yj. Более эффективные алгоритмы работы со вложенными циклами рассматриваются далее.

Если для расчета по функциональной зависимости f, необходимо использовать какие либо коэффициенты, то их значения вводятся до начала циклических вычислений.

На рис.1.8 представлена блок-схема вычислительного процесса с вложенными циклами типа While. По условию задачи величина одного из аргументов x изменяется от значения xmin до значения xmax с шагом ∆x (внешний цикл). Аналогично величина другого аргумента y изменяется от значения ymin до значения ymax с шагом ∆y (вложенный цикл).

При работе с вложенными циклами особое внимание следует обращать на последовательность открытия и закрытия циклов. Порядок входа в циклы - от самого внешнего к самому внутреннему, порядок выхода из циклов - наоборот. Таким образом: тот цикл, который открывается первым - закрывается последним. Другими словами весь вложенный цикл (включая символы, отражающие его открытие и закрытие) должен полностью помещаться внутри внешнего цикла.

Области действия циклов могут только вкладываться друг в друга, но не в коем случае не пересекаться.

1.3.5. Предопределенные вычислительные процессы

При решении многих задач процессы ввода и вывода значений элементов массивов имеют одинаковую структуру и выполняются вне циклов расчета. Для выполнения таких и других часто используемых процессов удобно использовать так называемые предопре-

деленные процессы.

Предопределенные процессы, отражающие часто встречающиеся алгоритмы и программы обработки данных, разрабатываются заранее и им присваиваются индивидуаль-

14

предопределенного процесса.

Рассмотрим использования предопределенных процессов для формирования одномерного массива Y путем обработки од-

номерного массива X содержащего n элементов. Будем использовать предопределенные процессы: INPUT1 для описания

ввода значений элементов одномерного массива и OUTPUT1 для описания вывода

значений элементов одномерного массива. Следует отметить что при предвари-

тельном формальном описании обоих предопределенных процессов используются свои, свойственные только предопределен-

ным процессам имена данных – формальные параметры. Так количество элементов

массива отражается переменной с именем m, а для массива используется имя A

(Рис.1.9).

При использовании предопределенных процессов в блок-схеме алгоритма (Рис.1.10) используются специальные символы, в которых вместо формальных пара-

метров подставляются фактические параметры – имена данных, используемые в разрабатываемой блок-схеме алгоритма: для указания количества элементов массива – n, а для одномерных массивов имена X и Y.

Предопределенными процессами описываются не только операции ввода или вывода значений данных, но и различные часто встречающиеся расчеты.

1.4. Некоторые приемы, используемые при разработке алгоритмов

Организация ветвлений алгоритмов. При решении многих практических задач организация ветвящихся алгоритмов может осуществляться в различных формах, но всегда необходимо учитывать особенности операторов алгоритмического языка, на котором в последствии будет составлена программа, реализующая алгоритм. Особое внимание следует обращать на формулировку логических условий ветвления.

Часто условия ветвления представляются в форме отличной от строгого синтаксиса операторов алгоритмических языков. Рассмотрим следующий пример.

Провести расчет значения функции y по условию:

15

− b < x ≤ + ∞ - интервал изменения x от b до +∞, но невключающий значение b.

согласно синтаксису алгоритмических языков записи вида a ≤ x ≤ b недопустимы, форму-

Каждый из вариантов блок-схем представленных на рис.1.12 отражает рассмотренный алгоритм. Чаще всего используются варианты а и б. Варианты в и г используются реже, поскольку если условие ветвления выполняется, приходится дважды производить расчет искомой функции. Например, в варианте в независимо от условий всегда производится расчет y=f2(x), но если выполняется условие a≤x and x≤b значение y рассчитывается во второй раз (переопределяется) по зависимости y=f1(x).

При составлении блок-схем следует по возможности использовать компактное оформление ветвлений. Например, требуется установить возможность построения треугольника из трех отрезков, длины которых представлены значениями переменных a, b, c. Известно, что в любом треугольнике сумма длин двух любых сторон всегда больше длины третьей стороны. Варианты оформления оговоренного алгоритма представлены на рис.1.13. Схема a подробно отражает алгоритм, но громоздка. Схемы б и в компактны и удовлетворяют синтаксису алгоритмических языков. Обратите внимание на запись условия ветвления в схемах б и в. В тех случаях, когда требуется одновременное выполнение условий a+b>c, a+c>b, b+c>a используются логические операции and (и) объединяющие отдельные условия, отраженные операциями отношений (схема б). Если требуется выполнение хотя бы одного условия невозможности построения треугольника a+b<c, a+c<b, b+c<a (схема в), используются логические операции or (или).

16

При записи сложного логического условия ветвления следует учитывать последовательность выполнения операций логических и сравнения. В алгоритмических языках при-

Рис.1.13 Варианты оформления ветвления

нято выполнять операции в порядке их следования в логическом выражении слева – направо. Для сокращения времени обработки логического выражения имеет смысл последовательность операций организовать таким образом, что бы сначала располагались операции основного анализа ситуации, а потом дополнительные.

Например, необходимо выделить положительные значения переменной x, квадрат которых больше 0,1 и меньше 1. Так как область положительных значений x больше области 0.1<x2<1, то в первую очередь необходимо отделить положительные значения x, а потом удовлетворяющие условию 0.1<x2<1. Логическое условие для отделения значений x следует записать в виде: x>0 и (0.1<x2 и x2<1).

Обработка исключительных ситуаций. При разработке алгоритмов и программ для ПЭВМ практически всегда используется алгебраический подход. Т.е. при описании вычислений используются не численные значения данных, а их имена (наборы различных

17

общением ”расчет невозможен”.

Вывод значения xi и сообщения о невозможности расчета значения yi при возникновении исключительной ситуации необходим для анализа результатов счета.

Подобным образом обрабатываются и другие исключительные ситуации.

Определение минимаксных значений. Часто в процессе вычислений необходимо определить минимаксные (минимальное и максимальное) значения величин.

дальнейших проходах циклах условие i=1 вы-

ловию xi < xmin и при выполнении этого усло-

вия переменной xmin присваивается значение элемента массива xi.

Если условие i=1 или xi < xmin не выполняется значение переменной xmin остается неизменным и осуществляется переход к следующему проходу цикла.

Достоинством варианта а является то, что используемое в данной схеме сочетание ветвления с присвоением (xmin=xi) легко вставляется в любой циклический вычислительный процесс.

Аналогично осуществляется поиск максимального значения xmax (только условие ветвления меняется наi=1 или xi > xmax).

Вариант б используется реже (смысл его ясен из рисунка). Следует лишь обратить

для вычисления факториала. Факториалом f целого числа n называется величина, получаемая путем последовательного перемножения ряда натуральных чисел от 1 до n:

n

f = ∏ i

i =1

18

Перед циклическим расчетом накапливаемой суммы и накапливаемого произведения им необходимо присвоить начальные значения: для суммы равной нулю, для накапливаемого произведения - единице.

На блок-схемах и в формулах часто используется сочетание двух символов для изображения факториала. Так сочетание символов n! отражает одно численное значение равное факториалу n.

Рассмотрим (Рис.1.17а ) более сложный вычислительный процесс с вложенными циклами и предопределенными процессами. Например, требуется провести расчет суммы n членов ряда имеющего вид:

Врасчетной зависимости используется факториал.

Валгоритме на рис.1.17 используется разработанный ранее предопределенный про-

цесс «INPUT1».

ному алгоритму рассчитанное значение факториала i!.

При расчете накапливаемой суммы и накапливаемого произведения до выполнения циклов необходимо назначить их начальные значения.

Чаще всего (как в рассмотренном алгоритме):

начальное значение накапливаемой суммы должно быть равным нулю;

начальное значение накапливаемого произведения должно быть равным единице. Иногда начальное значение накапливаемой суммы может отличаться от ноля. На-

пример, при расчете значения суммы членов ряда:

19

Можно использовать и несколько более строгое условие окончания итерационного процесса |xm - xm-1|<ε.

При разработке алгоритмов итерационных циклических вычислений следует обращать внимание на сходимость итерационного процесса. Итерационный процесс сходится, если от итерации к итерации величина |xm - xm-1| непрерывно уменьшается.

Если итерационный процесс не сходится, то получить решение невозможно. В этом случае имеет смысл попытаться использовать другой метод (алгоритм) нахождения корня. Более подробно некоторые алгоритмы нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений приведены в 3-ей части данного пособия.

Приемы работы с массивами.

Структуры массивов. Во многих случаях совокупность данных одного типа (целый, вещественный или другой) предпочтительней хранить в упорядоченном виде – в массивах. В соответствии со структурой массива выделяют одномерные и двухмерные массивы. Одномерные массивы математики называют векторами, а двухмерные матрицами. Существуют массивы более сложной структуры, но в данном пособии они не рассматриваются. Место конкретного данного (элемента массива) в массиве указывается:

В одномерном массиве одним индексом (одна координата);

В двухмерном массиве двумя индексами (две координаты).

Имя элемента массива соответствует имени массива, но справа подстрочными индексами указывают координаты элемента в массиве.

Максимальное значение индекса указывает его размер по данной координате. Обычно для индексации элементов массива используют переменные с именами i,

j, а для указания размеров массивов n, m.

Ниже представлены структуры: одномерного массива (Рис.1.21) и двухмерного мас-

21

Для квадратной матрицы (двухмерный массив с одинаковыми размерами по обеим координатам n=m) существует понятие “главная диагональ”, которая объединяет элемен-

ты массива с индексами 1,1; 2,2; 3,3; … i,i;…n,n.

Как правило, массивы задаются совокупностью элементов и для их обработки используют циклы с заданным числом проходов. В этом случае параметром цикла выступает индекс элемента массива, значение которого изменяется от 1 до своего максимального значения с шагом 1.

Обработка массивов с шагом индекса отличным от 1. Если необходимо обраба-